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武钢三中等武汉市部分重点中学2014-2015学年度下学期期中联考高二数学试卷(理科)

时间:2016-08-08


武汉市部分重点中学 2014-2015 学年度下学期期中联考

高二数学试卷(理科)
命题学校:武钢三中 三华 考试时间:2015 年 4 月 28 日上午 7:30-9:30 试卷满分:150 分 命题教师:周国栋 审题教师:邹

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟.

第 I 卷 选择题 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)
5 1. i ? 2 的共轭复数是
A. i-2 B. i+2 C.-i-2 D. 2-i

2.A、B、C、D 分别是复数

z1 , z2 , z3 ? z1 ? z2 , z4 ? z1 ? z2 在复平面内对应的点,O 是原点,若

z1 ? z2

,则Δ COD 一定是 B. 等边三角形
3

A.等腰三角形

C. 直角三角形

D.等腰直角三角形

3.直线 y=2x 与曲线 y ? x 围成的封闭图形的面积是 A. 1 B. 2 C. 2 2 D. 4

4.设 x, y, z ? (0, ??) ,则 A.都不大于 2

x?

1 1 1 ,y? ,z? y z x
C.至少有一个不大于 2 D. 至少有一个不小于 2

B.都不小于 2

5.演绎推理“因为
3

f '( x0 ) ? 0 时, x0 是 f(x)的极值点.而对于函数 f ( x) ? x3 , f '(0) ? 0 .所以

0 是函数 f ( x) ? x 的极值点. ”所得结论错误的原因是 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.大前提和小前提都错误

5 ? tan 8? b ? ? 15 a cos ? b sin 5 5 6. 设 a,b 是非零实数, 且满足 , 若类比两角和的正切公式, 则a = 5

a sin

?

? b cos

?

A. 4

B.

15

C. 2

D.

3

f ( x) ?
7.函数 A. ?1 ? b ? 2

1 3 x ? bx 2 ? (b ? 2) x ? 3 3 在 R 上不是增函数,则实数 b 的取值范围是
B. b ? ?1或b ? 2 C. ?1 ? b ? 2 D. b ? ?1或b ? 2

8.下列定积分计算正确的有

? (1)
(3)

?

2 0

x ? 1 cos 2 d x ? ? 2 4 2
e d x ? e2 ? e?4 ? 2
x

? (2)

2

1

2x ? x2 d x ?

?
2

?

2

?4

? (4)
C.3 个

2

1

2 x ? 1d x ?

5 5 ? 3 3
D.4 个

A.1 个

B.2 个

9. 已知函数 y ? ? xf '( x) 的图象如图(其中 f '( x) 是函数 f(x)的导函数) ,下面四个图象中

y ? f ( x) 的图象可能是

f (x) ? f ( ?x), f '( x ) ?f( x )
10.设函数 y ? f ( x)( x ? R) 的导函数为 f '( x) ,且 式成立的是 ,则下列不等

A. f (0) ? e f (1) ? e f (2)
2

?1

B. e f (1) ? f (0) ? e f (2)
2

?1

C. e f (2) ? e f (1) ? f (0)
2

?1

D. e f (2) ? f (0) ? e f (1)
2

?1

S ? 1?
11. 设

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? ... ? 1 ? ? 2 2 1 2 2 3 3 4 2014 20152 , 则不大于

S 的最大整数等于 A.2016 B. 2015 C. 2014 D. 2013

f ( x) ? ln(1 ? x), g ( x) ?
12.设函数

ax ( x ? 0) 1? x , 若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,则 a 的取值范围是

A. a ? 2

B. a ? 2

C. a ? 1

D. a ? 1

第 II 卷 非选择题 二、填空题(本小题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.一物体 A 以速度 v ? 3t ? 2 (t 的单位:s,v 的单位:m/s)在一直线上运动,在此直
2

线上物体 A 出发的同时,物体 B 在物体 A 的正前方 8m 处以 v=8t(t 的单位:s, v 的单位: m/s)的速度与 A 同向运动,设 n s 后两物体相遇,则 n 的值为________. 14.复数

z ? (a2 ? 2a ? 3) ? ( a ? 2 ?1)i

不是纯虚数,则实数 a 的取值范围是________.

x f ( x0 ) ? f '( x0 ) ,则称 x0 是 f(x) 的一个 15.已知函数 f(x)及其导数 f '( x) ,若存在 0 ,使得
“巧值点” ,下列函数中,有“巧值点”的函数是________.(写出所有正确的序号)
?x

① f ( x) ? x ,② f ( x) ? e ,③ f ( x) ? ln x ,④ f ( x) ? tan x ,⑤
2

f ( x) ? x ?

1 x

16. 观察下列算式:

13 ? 1, 23 ? 3 ? 5,33 ? 7 ? 9 ? 11, 43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 , 。 。 。
3

。 。 。 。 。 。

。 。 。

若某数 m 按上述规律展开后,发现等式右边含有“2015”这个数,则 m=_______. 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)
2 2 (1) 已知关于 x 的实系数方程 x ? mx ? n ? 0 , 若 1 ? 2i 是方程 x ? mx ? n ? 0 的一个复数

根,求出 m、n 的值.

z ? C , z ? 3i,
(2)已知 实数 a 的取值范围.

z 2 3 ? i 均为实数,且复数 ( z ? ai) 在复平面内对应的点在第一象限,求

18. (本小题满分 12 分)

1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 ? ,1 ? ? ? 1,1 ? ? ? ... ? ? ,1 ? ? ? ... ? ? 2,... 2 2 3 2 3 7 2 2 3 15 由下列不等式:
你能得到怎样一个不等式?并加以证明.

19. (本小题满分 12 分) 某健身产品企业第一批产品 A 上市销售, 40 天内全部售完.该企业对第一批产品 A 上市后的市 场销售进行调研,情况反馈大概如图(1) 、 (2)所示.其中市场的日销售量(单位:万件) 与上市时间(天)的关系近似满足图(1)中的抛物线;每件产品 A 的销售利润(元/件)与 上市时间(天)的关系近似满足图(2)的折线. (Ⅰ)写出市场的日销售量 f(t)与第一批产品 A 上市时间 t 的关系式; (Ⅱ)第一批产品 A 上市后的第几天,这家企业日销售利润最大,最大利润是多少?

20. (本小题满分 12 分)

f ( x) ? ln x ?
已知函数 (1) 若函数 f(x)在 (2) 若函数 f(x)在

2a ,a?R x

?1, ?? ? 上是增函数,求实数 a 的取值范围; ?1, e? 上的最小值为 2,
求实数 a 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? 3x ? x ? m, g ( x) ? ln x .
2

(1)若函数 f(x)与 g(x)的图像在

x ? x0 处的切线平行,求 x0 的值;

(2)当曲线 y ? f ( x)与y ? g ( x) 有公切线时,求实数 m 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e , g ( x) ? m ? x, m ? R .
x

(1)记 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求 h(x)的极值; (2)当 m=0 时,试比较 e
f ( x ?2)

与 ? g ( x) 的大小。

高二理科答案
一、选择题 题号 1 2 答案 A C 二、填空题 13. 4 三、解答题
17. 解: (1)?(1? 2i) ? m(1? 2i) ? n ? ?1? m ? n ? 2 2i ? m 2i=0
2

3 B

4 D

5 A

6 D

7 D

8 B

9 B
16. 45

10 B

11 C

12 C

14. a ? ?1

15. ①③⑤

??1 ? m ? n ? 0 ?m ? ?2 ? ?? 解得 ? . ?2 2 ? m 2 ? 0 ?n ? 3 ?
(2)设 z ? x ? yi(x、y ? R)

...............5 分

? z ? 3i ? x ? ( y ? 3)i
?

? y ? ?3

z x ? 3i 1 1 ? ? ( x ? 3i)(3 ? i) ? [(3x ? 3) ? ( x ? 9)]i 3 ? i 3 ? i 10 10 ?x ? 9 ?z ? 9 ? 3i ? ( z ? ai) 2 ? 81 ? (a ? 3) 2 ? 18(a ? 3)i=72+6a ? a 2 ? 18(a ? 3)i

..........10 分 18. 解 : 根 据 给 出 的 几 个 不 等 式 可 以 猜 想 第 n 个 不 等 式 , 即 一 般 不 等 式 为 :

?72+6a ? a 2 ? 0 ?由已知 ? 解得3 ? a ? 12. ?18(a ? 3) ? 0

1 1 1 n 1? ? ??? n ? 2 3 2 ? 1 2 ( n ? N * ).
用数学归纳法证明如下: (1)当 n ? 1 时,

............4 分

1?

1 2 ,猜想成立;

1 1 1 k 1? ? ?? ? k ? , 2 3 2 ?1 2 (2)假设当 n ? k (k ? N , k ? 1) 时猜想成立,即
*

则当 n ? k ?1时,

1?
?

1 1 1 1 1 ? ? ? ?k ?k ?k ? ? 2 3 2? 1 2 2 ? 1

? ?1 k

1 2?

1

k 1 1 1 k 2k k ?1 ? k? k ? ? ? k ?1 ? ? k ?1 ? . 2 2 2 ?1 2 ?1 2 2 2

即当 n ? k ?1时,猜想也成立. 由(1) 、 (2)得对任意的 n ? N ,不等式都成立.
*

................12 分

f (t ) ? ?
19.解: (1)

3 (t ? 20) 2 ? 60 (0 ? t ? 40, t ? N) 20

..................3 分

? 3 ? (t ? 20) 2 ? t ? 120t (0 ? t ? 30, t ? N) ? ? 10 ? (t ) ? ? ?60 ? ? 3 (t ? 20) 2 ? 60 ? (30 ? t ? 40, t ? N) ? ? ? ? ? ? 20 (2)
①当 0 ? t ? 30 时,令

..................5 分

? ?(t ) ? ?

9 2 80 t ? 24t ? 0 t? 10 3 得

t ? (0,


80 80 80 ) t ? ( ,30) t ? ? N* ? 3 时, ? ?(t ) ? 0 ,当 3 3 时, ? (t ) ? 0 ,但
...............10 分

又当 t ? 26 时, ? (26) ? 2839.2 ,当 t ? 27 时, ? (27) ? 2843.1. ②当 30 ? t ? 40 时, ? (t ) ? ? (30) ? 2700 故第 27 天销售利润最大,最大利润是 2843.1. 万元。 20. 解: (1)? f ( x) ? ln x ?

..............12 分

2a x

? f ?( x) ?

1 2a ? x x2

因为 f ( x) 在 ?1, ??) 上是增函数, 所以? f ?( x) ? 令 g ( x) ?

1 2a x ? 2 ? 0 在 ?1, ??) 上恒成立,即 a ? 在 ?1, ??) 上恒成立. x x 2

x ,则 a ? ? g ( x)?min , x ??1, ??? . 2 x 1 1 因为 g ( x) ? 在 ?1, ??) 上是增函数,所以 ? g ( x) ?min ? g (1) ? ,所以 a ? . 2 2 2

所以实数 a 的取值范围是 ? ??, ? . 2

? ?

1? ?

.................4 分

(2)由(1)得? f ?( x) ?

x ? 2a , x ? ?1, e ? . x2

①若 2a ? 1 ,则 x ? 2a ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 在 ?1,e? 上恒成立,此时 f ( x) 在 ?1,e? 上是增函数.

?? f ( x)?min ? f (1) ? 2a ? 2 ,解得 a ? 1 (舍去).
②若 1 ? 2a ? e ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 2a . 当 1 ? x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (1, 2a) 上是减函数; 当 2a ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (2a, e) 上是增函数.

?? f ( x)?min ? f (2a) ? ln 2a ? 1 ? 2 ,解得 a ?

e . 2

③若 2a ? e ,则 x ? 2a ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 在 ?1,e? 上恒成立,此时 f ( x) 在 ?1,e? 上是减函数,

?? f ( x)?min ? f (e) ? 1 ?
综上所述: a ?

2a e ? 2 ,解得 a ? (舍去). e 2
..................12 分

e . 2

? f ?( x) ? 6 x ? 1, g ?( x) ?
21. 解: (1)

1 x,

由已知

f ?( x0 ) ? g ?( x0 ) ,即
1 2.

6 x0 ? 1 ?

1 1 1 x ? x ?? x0 ,解得 0 2 或 0 3 (舍去)



x0 ?

..................4 分

(2)设两曲线的公切线为 l ,切点分别为

A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,



k AB

3x12 - x1 ? m ? ln x2 1 ? 6 x1 ? 1 ? ? f ?( x1 ) ? g ?( x2 ) ,故 x1 ? x2 x2 ,化简消去 x2 得

m ? 3x12 ? ln(6x1 ?1) ?1 ,
于是公切线的存在问题转化为上面方程有解的问题, 令 h( x) ? 3x ? ln(6 x ?1) ?1 ,则
2

h?( x) ? 6 x ?

6 6(2 x ? 1)(3x ? 1) 1 ? x? 6x ?1 6x ?1 6) (其中 ,

x?
由此

1 1 1 ? h( x)?min ? h( ) ? ? ? ln 2 2 时, 2 4 ,

1 m ? ? ? ln 2 4 所以 时,曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 有公切线.
22.解: (1)由已知

................12 分 ..............2 分

h?( x) ? ex (? x ? m) ? ex ? (?1) ? ?ex ? x ? (m ?1)?

令 h ( x) ? 0 得 x ? m ?1.由下表

?

x
h?( x)


? ??, m ?1?
+

m ?1
0 , h( x) 无极小值.

(m ?1, ??)
............5 分

h( x)极大值 =h(m ?1) ? em?1 (?m ?1 ? m) ? em?1
f ( x ?2)

(2)当 m ? 0 时, e ①当 x ? 0 时,显然 e ②当 x ? 0 时,

? ee , ? g ( x) ? x.
? ? g ( x) .
x ?2

x?2

f ( x ?2)

ln e f ( x ? 2) ? ln ee

? e x ?2 , ln ? ? g ( x) ? ? ln x.

? ( x) ? e x ?2 ? ln x, 则? ?( x) ? e x ?2 ?
记函数 又 ? (1) ? 0, ? (2) ? 0 知,

1 x ,可知 ??( x) 在 (0, ??) 上单调递增.

?

?

??( x) 在 (0, ??) 上有唯一实数根 x0 ,且 1 ? x0 ? 2 ,

? ?( x0 ) ? e x ?2 ?
0

则 当

1 ? 0. x0



..........9 分

x ? (0, x0 ) 时, ??( x) ? 0 , ? ( x) 单调递减;当 x ? ( x0 , ??), ??( x) ? 0 , ? ( x) 单调递增,

所以

?( x) ? ?( x0 ) ? e

x0 ?2

? ln x0 ,结合⑴式,

e x0 ?2 ?

1 x0 ,知 x0 ? 2 ? ? ln x0 .

x02 ? 2 x0 ? 1 ( x0 ? 1)2 1 ? ( x) ? ? ( x0 ) ? ? x0 ? 2 ? ? ?0 x0 x0 x0 故 .
则 ? ( x) ? e 综上: e
x ?2

? ln x ? 0, 即 e x?2 ? ln x, 所以 ee
? ? g ( x) .

x ?2

? x.
..........12 分

f ( x ?2)

(2)也可以通过证明

ex?2 ? x ?1, x ? 1 ? ln x 求证


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