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2009年课改区高考数学试题分类汇编 三角函数与平面向量

时间:2010-10-05


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2009 年课改区高考数学试题分类汇编—— 三角函数与平面向量
一、选择题 1.(2009 年广东卷文)已知 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 的对边分别为 a, b, c 若 a ? c ? 6 ? 2
o 且 ?A ? 75 ,则 b ?

A.2 【答案】A

B.4+ 2 3

C.4— 2 3

D. 6 ? 2

【解析】 sin A ? sin 75 ? sin(30 ? 45 ) ? sin 30 cos 45 ? sin 45 cos30 ?
0 0 0 0 0 0 0

2? 6 4

由 a ? c ? 6 ? 2 可知, ?C ? 75 ,所以 ?B ? 30 , sin B ?
0 0

1 2

由正弦定理得 b ?

a ? sin B ? sin A

2? 6 1 ? ? 2 ,故选 A 2? 6 2 4
2

2.(2009 年广东卷文)函数 y ? 2 cos ( x ? A.最小正周期为 ? 的奇函数 C. 最小正周期为 【答案】A 【解析】 因为 y ? 2cos ( x ?
2

?
4

) ? 1是

B. 最小正周期为 ? 的偶函数 D. 最小正周期为

? 的奇函数 2

? 的偶函数 2

?

2? ?? ? ? ? ,所以选 ) ? 1 ? cos ? 2 x ? ? ? sin 2 x 为奇函数, T ? 2 4 2? ?

A. 3.(2009 浙江理)已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能 是 ( ... )

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答案:D 【解析】对于振幅大于 1 时,三角函数的周期为 T ? 要求,它的振幅大于 1,但周期反而大于了 2? . 4. ( 2009 浙江文)已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能 是( ... w.w.w.k.s.5.u.c.o.m )

2? , a

a ? 1,?T ? 2? ,而 D 不符合

D 【命题意图】此题是一个考查三角函数图象的问题,但考查的知识点因含有参数而丰富, 结合图形考查使得所考查的问题形象而富有深度. 【解析】对于振幅大于 1 时,三角函数的周期为 T ? 要求,它的振幅大于 1,但周期反而大于了 2? . 5.(2009 山东卷理)将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 图象的函数解析式是( ).

2? , a

a ? 1,?T ? 2? ,而 D 不符合

? 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得 4

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A. y ? cos 2 x

4 ? ? x 的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 , 得 到 函 数 y ? sin 2( x ? ) 即 【 解 析 】 : 将 函 数 y ? sin 2 4 4 ? y ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x 的 图 象 , 再 向 上 平 移 1 个 单 位 , 所 得 图 象 的 函 数 解 析 式 为 2

B. y ? 2cos 2 x

C. y ? 1 ? sin( 2 x ?

?

)

D. y ? 2sin 2 x

y ? 1 ? cos 2x ? 2cos2 x ,故选 B.
答案:B 【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析 式的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 6.(2009 山东卷文)将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 图象的函数解析式是( A. y ? 2cos x
2

? 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得 4

). B. y ? 2sin x
2

C. y ? 1 ? sin( 2 x ?

?
4

)

D. y ? cos 2 x

x 的图象向左平移 【 解 析 】 : 将 函 数 y ? sin 2

y ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x 的 图 象 , 再 向 上 平 移 1 个 单 位 , 所 得 图 象 的 函 数 解 析 式 为 2

?

? ? 个 单 位 , 得 到 函 数 y ? sin 2( x ? ) 即 4 4

y ? 1 ? cos 2x ? 2cos2 x ,故选 A.
答案:A 【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析 式的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 7.(2009 安徽卷理)已知函数 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0) , y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 2 的两个相邻交点的距离等于 ? ,则 f ( x ) 的单调递增区间是 (A) [k? ? ? , k? ? 5? ], k ? Z 12 12 (C) [k? ? ? , k? ? ? ], k ? Z 3 6 [解析]: f ( x) ? 2sin(? x ? 由 2 k? ? (B) [k? ? 5? , k? ? 11? ], k ? Z 12 12 (D) [k? ? ? , k? ? 2? ], k ? Z 6 3

?
6

) ,由题设 f ( x) 的周期为 T ? ? ,∴ ? ? 2 ,

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

得, k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

, k ? z ,故选 C

8.(2009 安徽卷文)设函数 则导数 的取值范围是

,其中



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A.

B.

C.

D.
? sin ? ? 3 cos ? ? 2sin(? ? ) 3

【解析】 f ?(1) ? sin ? ? x2 ? 3 cos ? ? x

?

x ?1

? ? ?0,
【答案】D

? ? 2 ? ? 5 ? ? ? ? ? sin(? ? ) ? ? ,1? ? f ?(1) ? ? ? 2, 2 ? ,选 D。 3 ? 2 ? ? 12 ?

9.(2009 天津卷文)已知函数 f ( x) ? sin( wx ?

?
4

)( x ? R, w ? 0) 的最小正周期为 ? ,将

y ? f ( x) 的图像向左平移 | ? | 个单位长度,所得图像关于 y 轴对称,则 ? 的一个值是( )
A 【答案】D 【解析】由已知,周期为 ? ? 数, sin[ 2( x ? ? ) ?

? 2

B

3? 8

C

? 4

D

? 8

?
4

2? , w ? 2 ,则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函 w

] ? ? cos 2 x ,故选 D

【考点定位】本试题考查了三角函数的周期性和三角函数的平移公式运用以及诱导公式的 运用。 10.(2009 福建卷理)函数 f ( x) ? sin x cos x 最小值是 A.-1 【答案】:B [解析]∵ f ( x) ? B. ?

1 2

C.

1 2

D.1

1 1 sin 2 x ∴ f ( x) min ? ? .故选 B 2 2

2 2 11.(2009 辽宁卷文)已知 tan ? ? 2 ,则 sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ?

(A) ?

4 3
2

(B)

5 4
2

(C) ?

3 4

(D)

4 5

【解析】 sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ?

sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2cos 2 ? sin 2 ? ? cos 2 ?

= 【答案】D

tan 2 ? ? tan ? ? 2 4 ? 2 ? 2 4 = ? 4 ?1 5 tan 2 ? ? 1

12.(2009 辽宁卷理)已知函数 f ( x ) =Acos( ? x ? ? )的图象如图所示, f ( ) ? ?

?

2

2 ,则 3

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f (0) =
(A) ?

2 3

(B)

2 3

(C)-

1 2

(D)

1 2

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

2π 【解析】由图象可得最小正周期为 3 2π 2π π 7π 于是 f(0)=f( ),注意到 与 关于 对称 3 3 2 12

2 2π π 所以 f( )=-f( )= 3 2 3
【答案】B 13.(2009 辽宁卷理)已知偶函数 f ( x ) 在区间 ? 0, ??) 单调增加,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是 (A)(

1 3

1 2 , ) 3 3

(B) [

1 2 , ) 3 3

(C)(

1 2 , ) 2 3

(D) [

1 2 , ) 2 3

【解析】由于 f(x)是偶函数,故 f(x)=f(|x|) ∴得 f(|2x-1|)<f( 得|2x-1|<

1 3

1 ),再根据 f(x)的单调性 3 1 2 解得 <x< 3 3

【答案】A 14.(2009 宁夏海南卷理)有四个关于三角函数的命题:

p1 : ? x ? R, sin 2 p3 : ? x ? ? 0, ? ? ,
其中假命题的是 (A) p1 , p4

x 1 2 x + cos = 2 2 2

p2 : ? x、y ? R, sin(x-y)=sinx-siny p4 : sinx=cosy ? x+y=

1 ? cos 2 x =sinx 2

? 2

(B) p2 , p4
2

(3) p1 , p3

(4) p2 , p4

解析: p1 : ? x ? R, sin

x 1 2 x + cos = 是假命题; p2 是真命题,如 x=y=0 时成立; p3 是 2 2 2

真命题, ? x ? ? 0, ? ? , sin x ? 0, ? 命题, 如x=

1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin x ? sin x =sinx; p4 是假 2

?
2

,y=2? 时,sinx=cosy,但x+y ?

?
2

。选 A.

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15.(2009 宁夏海南卷文)有四个关于三角函数的命题:

p1 : ? x ? R, sin 2 p3 : ? x ? ? 0, ? ? ,
其中假命题的是 (A) p1 , p4 【答案】A 【解析】因为 sin
2

x 1 2 x + cos = 2 2 2

p2 : ?x, y ? R , sin( x ? y) ? sin x ? sin y p4 : sin x ? cos y ? x ? y ?

1 ? cos 2 x ? sin x 2

?
2

(B) p2 , p4

(3) p1 , p3

(4) p2 , p3

x 2 x + cos =1,故 p1 是假命题;当 x=y 时, p2 成立,故 p2 是真命题; 2 2

1 ? cos 2 x 1 ? (1 ? 2sin 2 x) =|sinx|, 因为 x ? ? 0, ? ? , 所以, |sinx|=sinx, p3 ? 2 2

? 9? ? ,y= 时,有 sin x ? cos y ,但 x ? y ? ,故 p4 假命题,选.A。 4 2 4 ? 16.(2009 天津卷理)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? )( x ? R,? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为 4
正确;当 x= 了得到函数

g ( x) ? cos? x 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象
A 向 左 平 移 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m C 向左平移

? 个 单 位 长 度 8
D 向右平移

B 向 右 平 移

? 个 单 位 长 度 8

? 个单位长度 4

? 个单位长度 4

【考点定位】本小题考查诱导公式、函数图象的变换,基础题。 解析:由题知 ? ? 2 ,所以

f ( x ) ? sin( 2x ?

?

) ? cos[ ? ( 2 x ? )] ? cos(2 x ? ) ? cos 2( x ? ) ,故选择 A。 4 2 4 4 8
2

?

?

?

?

(x,1 ) ,b= 17.(2009 年广东卷文)已知平面向量 a= , 则向量 a ? b (-x, x )
A 平行于 x 轴 C.平行于 y 轴 【答案】
2 【解析】 a ? b ? (0,1 ? x ) ,由 1 ? x ? 0 及向量的性质可知,C 正确.
2

B.平行于第一、三象限的角平分线 D.平行于第二、四象限的角平分线

18.( 2009 广 东 卷 理 ) 一质点受到平面上的三个力 F1 , F2 , F3 (单位:牛顿)的作用而处

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0

于平衡状态.已知 F1 , F2 成 60 角,且 F1 , F2 的大小分别为 2 和 4,则 F3 的大小为

A. 6

B. 2

C. 2 5

D. 2 7

【解析】 F32 ? F12 ? F22 ? 2F1 F2 cos( 1800 ? 600 ) ? 28,所以 F3 ? 2 7 ,选 D. 19.(2009 浙江卷理)设向量 a , b 满足:| a |? 3 ,| b |? 4 , a ? b ? 0 .以 a , b , a ? b 的 模为边长构成三角形,则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为 ( w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A. 3 答案:C 【解析】对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆,此时只有三个交点,对于 圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现 4 个交点的情况,但 5 个以上的交点不能实现. 20. ( 2009 浙 江 卷 文 ) 已 知 向 量 a ? (1, 2), b ? (2, ?3) . 若 向 量 c 满 足 (c ? a ) / /b , B. 4 C. 5 D. 6 )

c ? (a ? b) ,则 c ? (
A. ( , )

) B. ( ?

7 7 9 3

7 7 ,? ) 3 9

C. ( , )

7 7 3 9

D. ( ?

7 7 ,? ) 9 3

【命题意图】 此题主要考查了平面向量的坐标运算, 通过平面向量的平行和垂直关系的考查, 很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用. 【解析】不妨设 C ? (m, n) ,则 a ? c ? ?1? m ,2 ? n ?, a ? b ? (3, ?1) ,对于 c ? a // b ,则 有 ?3(1 ? m) ? 2(2 ? n) ;又 c ? a ? b ,则有 3m ? n ? 0 ,则有 m ? ? , n ? ? 21.(2009 山东卷理)设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC ? BA ? 2BP ,则( A. PA ? PB ? 0 B. PC ? PA ? 0 C. PB ? PC ? 0 D. PA ? PB ? PC ? 0

?

?

?

?

7 9

7 3


【解析】:因为 BC ? BA ? 2BP ,所以点 P 为线段 AC 的中点,所以应该选 B。 答案:B。 【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则, 可以借助图形解答。 22. ( 2009 宁 夏 海 南 卷 理 ) 已 知 O , N , P 在 ?ABC 所 在 平 面 内 , 且

OA ? OB ? OC , NA ? NB ? NC ? 0 ,且 PA ? PB ? PB ?PC ?PC ? PA ,则点 O,
N,P 依次是 ?ABC 的 (A)重心 外心 垂心 (C)外心 重心 垂心 (B)重心 外心 内心 (D)外心 重心 内心
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(注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角型的垂心) 解析:

由 OA ? OB ? OC 知, O为?ABC的外心; 由NA ? NB ? NC ? 0知,O为?ABC的重心
;

PA ? PB ? PB ? PC, ? PA ? PC ? PB ? 0, ? CA ? PB ? 0,? CA ? PB, 同理,AP ? BC ,? P为?ABC的垂心,选C.
23.(2009 辽宁卷文)平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ,a=(2,0), | b |=1,则 | a+2b | = (A) 3 (B)2 3
2

?

?

0

(C)4 (D)12
2 2

【解析】由已知|a|=2,|a+2b| =a +4a·b+4b =4+4×2×1×cos60°+4=12 ∴ a ? 2b ? 2 3 【答案】B 24.(2009 宁夏海南卷文)已知 a ? ? ?3,2? , b ? ? ?1,0? ,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 垂直,则实 数 ? 的值为 (A) ?

1 7

(B)

1 7

(C) ?

1 6

(D)

1 6

【答案】A 【解析】向量 ? a ? b =(-3 ? -1,2 ? ), a ? 2b =(-1,2),因为两个向量垂直,故 有(-3 ? -1,2 ? )×(-1,2)=0,即 3 ? +1+4 ? =0,解得: ? = ?
? ? ?

1 ,故选.A。 7

25.(2009 福建卷文)设 a , b , c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满 足 a 与 b 不共线,
? ? ?

a ? c

?

∣ a ∣=∣ c ∣,则∣ b ? c ∣的值一定等于
?

?

?

?

?

A.以 a , b 为邻边的平行四边形的面积 C. a , b 为两边的三角形面积 积
? ?

?

B. 以 b , c 为两边的三角形面积 D. 以 b , c 为邻边的平行四边形的面
? ?

?

?

解析 假设 a 与 b 的夹角为 ? , ∣ b ? c ∣=︱ b ︱· ︱ c ︱· ∣cos< b ,c >∣=︱ b ︱· ︱
?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

a ︱?∣cos(90 0 ? ? )∣=︱ b ︱· b 为邻边的平行四边形的面积, ︱ a ︱?sin ? ,即为以 a ,

?

?

?

?

故选 A。 二、填空题
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1.( 2009 广 东 卷 理 )若平面向量 a , b 满足 a ? b ? 1 , a ? b 平行于 x 轴, b ? (2,?1) , 则a ? . B

【解析】 a ? b ? (1,0) 或 (?1,0) ,则 a ? (1,0) ? (2,?1) ? (?1,1) 或 a ? (?1,0) ? (2,?1) ? (?3,1) .
o

A

P 第 7 题图

C

2.(2009 江苏卷)已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30 , | a |? 2,| b |? 3 ,则向量 a 和向量 b 的 数量积 a ? b = 。 【解析】 考查数量积的运算。

a ?b ? 2? 3 ?

3 ?3 2
o

3.(2009 安徽卷理)给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 120 . 如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动. 若 OC ? xOA ? yOB, 其中 x, y ? R ,则 x ? y 的最大值是________. [解析]设 ?AOC ? ?

1 ? cos ? ? x ? y ? ? OC ? OA ? xOA ? OA ? yOB ? OA , ? ? 2 ,即 ? ? ? ?cos(1200 ? ? ) ? ? 1 x ? y ?OC ? OB ? xOA ? OB ? yOB ? OB, ? ? 2
∴ x ? y ? 2[cos ? ? cos(120 ? ? )] ? cos ? ? 3 sin ? ? 2sin(? ?
0

?
6

)?2

4.(2009 安徽卷文)在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点, 或 = + ,其中 , R ,则 + = _________。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【解析】设 BC ? b 、 BA ? a 则 AF ?

1 1 b ? a , AE ? b ? a , AC ? b ? a 2 2 2 4 代入条件得 ? ? u ? ? ? ? u ? 3 3

【答案】4/3
5.(2009 辽宁卷文)在平面直角坐标系 xoy 中,四边形 ABCD 的边 AB∥DC,AD∥BC,已知点

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A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则 D 点的坐标为___________. 【解析】平行四边形 ABCD 中, OB ? OD ? OA ? OC ∴ OD ? OA ? OC ? OB =(-2,0)+(8,6)-(6,8)=(0,-2) 即 D 点坐标为(0,-2) 【答案】(0,-2) 6. (2009 江苏卷) 函数 y ? A sin(? x ? ? )( A, ? , ? 为常数,A ? 0, ? ? 0 ) 在闭区间 [?? , 0] 上的图象如图所示,则 ? = .

【解析】 考查三角函数的周期知识。

3 2 T ? ? , T ? ? ,所以 ? ? 3 , 2 3

7.(2009 宁夏海南卷理)已知函数 y=sin( ? x+ ? )( ? >0, - ? ? ? < ? )的图像如图所 示,则 ? =________________

T?
解析:由图可知,

5? 4 ?4 ? ,?? ? , 把 ? 2? ,1? 代入y=sin ? x ? ? ? 有: 2 5 ?5 ?

9? ?8 ? 1=sin ? ? ? ? ? ,?? ? 10 ?5 ?

答案:

9? 10

8. ( 2009 宁 夏 海 南 卷 文 ) 已 知 函 数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 的 图 像 如 图 所 示 , 则

? 7? f? ? 12

? ?? ?



w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】0

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【解析】由图象知最小正周期 T= (x)=0,即 2 sin(3 ?

2 5? ? 2? 2? ? ? )= ( = ,故 ? =3,又 x= 时,f 3 4 4 3 ? 4

?
4

? ? )=0,可得 ? ?

?
4

,所以, f ?

? 7? ? 12

7? ? ? ? ? 2 sin( 3 ? 12 ? 4 ) =0。 ?

9.(2009 年上海卷理)函数 y ? 2cos 2 x ? sin 2 x 的最小值是_____________________ . 【答案】 1 ? 2 【解析】 f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ?

2 sin(2 x ? ) ? 1 ,所以最小值为: 1 ? 2 4

?

10.(2009 年上海卷理)在极坐标系中,由三条直线 ? ? 0 ,? ? 围成图形的面积是________. 【答案】

?

3

, ? cos? ? ? sin ? ? 1

3? 3 4

【解析】化为普通方程,分别为:y=0,y= 3 x,x+y=1,画出三条直线的图象如右图,

可求得 A(

3 ?1 3 ? 3 1 3 ? 3 3? 3 , ),B(1,0),三角形 AOB 的面积为: ? 1 ? = 4 2 2 2 2

时 ,不等式 sin 11.(2009 年上海卷理)当 0 ? x ? 1
_______________. 【答案】k≤1 【 解 析 】 作 出 y1 ? sin

?x
2

? kx 成立,则实数 k 的取值范围是

?x
2

与 y 2 ? kx 的 图 象 , 要 使 不 等 式

sin

?x
2

? kx 成立,由图可知须 k≤1。

12.(2009 年上海卷理)已知函数 f ( x) ? sin x ? tan x .项数为 27 的等差数列 ?an ? 满足

? ? ?? 且公差 d ? 0 .若 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a27 ) ? 0 , 则当 k =____________ an ? ? ? , ? , ? 2 2?
是, f (ak ) ? 0 . 【答案】14 【解析】函数 f ( x) ? sin x ? tan x 在 ( ?

? ?

, ) 是增函数,显然又为奇函数,函数图象关于 2 2

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原点对称,因为 a1 ? a27 ? a2 ? a26 ? ? ? ? ? 2a14 , 所以 f (a1 ) ? f (a27 ) ? f (a2 ) ? f (a26 ) ? ??? ? f (a14 ) ? 0 , 所以当 k ? 14 时, f (ak ) ? 0 . 13.(2009 上海卷文)函数 f ( x) ? 2cos2 x ? sin 2 x 的最小值是 【答案】 1 ? 2 【解析】 f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? 。

2 sin(2 x ? ) ? 1 ,所以最小值为: 1 ? 2 4

?

14. ( 2009 上海卷文)已知函数 f ( x) ? sin x ? tan x 。项数为 27 的等差数列 {an } 满足

? ? ?? an ? ? ? , ? , 且 公 差 d ? 0 , 若 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ... ? f (a27 ) ? 0 , 则 当 k= ? 2 2?
时, f (ak ) ? 0. 。 【答案】14 【解析】函数 f ( x) ? sin x ? tan x 在 ( ?

? ?

, ) 是增函数,显然又为奇函数,函数图象关于 2 2

原点对称,因为 a1 ? a27 ? a2 ? a26 ? ? ? ? ? 2a14 , 所以 f (a1 ) ? f (a27 ) ? f (a2 ) ? f (a26 ) ? ??? ? f (a14 ) ? 0 ,所以当 k ? 14 时, f (ak ) ? 0 . 15.(2009 辽宁卷文)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 的图象如图所示, 则? =

4π 【解析】由图象可得最小正周期为 3 2π 4π ∴T= = ω 3 【答案】 ? ω=

3 2

3 2

三、解答题 1.(2009 年广东卷文)(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin ? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值
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?
2

)

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(2)若 5 cos(? ? ? ) ? 3 5 cos? , 0 ? ? ?

? ,求 cos ? 的值 2

【解析】(1) Q a ? b ,? a g b ? sin ? ? 2cos? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ? 又∵ sin ? ? cos ? ? 1 ,
2 2 2 ∴ 4cos ? ? cos ? ? 1,即 cos ?
2

v

v

v v

1 4 2 ,∴ sin ? ? 5 5



? 2 5 5 , cos ? ? ? ? (0, ) ? sin ? ?
2 5 5

(2) ∵ 5cos(? ? ? ) ? 5(cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ? 5 cos ? ? 2 5 sin ? ? 3 5 cos ?

?cos ? ? sin ? ,?cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? ,即 cos 2 ? ?
又 0 ?? ?

1 2

? 2 , ∴ cos ? ? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 2

2.(2009 浙江理)(本题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 满足 cos

A 2 5 , ? 2 5
(I)求 ?ABC 的面积; (II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.

AB ? AC ? 3 .
解析: (I) 因为 cos

A 3 4 A 2 5 ? cos A ? 2 cos 2 ? 1 ? ,sin A ? ,又由 AB ? AC ? 3 , , ? 2 5 5 2 5 1 bc sin A ? 2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2

得 bc cos A ? 3, ? bc ? 5 ,? S?ABC ?

( II ) 对 于 bc ? 5 , 又 b ? c ? 6 , ? b ? 5, c ? 1 或 b ? 1, c ? 5 , 由 余 弦 定 理 得

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 20 ,? a ? 2 5 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
3.(2009 浙江文)(本题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 满足 cos

A 2 5 , ? 2 5
(I)求 ?ABC 的面积;
2

AB ? AC ? 3 .

(II)若 c ? 1 ,求 a 的值.

解析:(Ⅰ) cos A ? 2 cos

A 2 5 2 3 ?1 ? 2 ? ( ) ? 1 ? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 5 5
2

又 A ? (0, ? ) , sin A ? 1 ? cos A ? 所以 bc ? 5 ,所以 ?ABC 的面积为:

4 3 ,而 AB . AC ? AB . AC . cos A ? bc ? 3 , 5 5

1 1 4 bc sin A ? ? 5 ? ? 2 2 2 5

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bc ? 5 ,而 c ? 1 ,所以 b ? 5

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所以 a ? b 2 ? c 2 ? 2bccos A ?

25 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 5

4.(2009 江苏卷)(本小题满分 14 分) 设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 | b ? c | 的最大值; (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b . 【解析】 本小题主要考查向量的基本概念,同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角 的正弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力。满分 14 分。

5.(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=cos(2x+ (1) 求函数 f(x)的最大值和最小正周期. (2) 设 A,B,C 为 ? ABC 的三个内角,若 cosB= 解 f(x)=cos(2x+ :

? 2 )+sin x. 3

1 c 1 , f ( ) ? ? ,且 C 为锐角,求 sinA. 3 2 4
( 1 )

? ? ? 1 ? cos 2 x 1 3 2 )+sin x.= cos 2 x cos ? sin 2 x sin ? ? ? sin 2 x 3 3 3 2 2 2
1? 3 ,最小正周期 ? . 2
所以 sinC ?

所以函数 f(x)的最大值为

(2) f ( ) =

c 2

1 1 3 ? sin C = - , 4 2 2

3 , 2

因为 C 为锐角 ,

所以

C?

?
3

, cosB=

又因为在 ? ABC 中,

1 , 3

所以

sin B ?

2 3, 3

所以

sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?

2 1 1 3 2 2? 3 2? ? ? ? . 3 2 3 2 6

【命题立意】:本题主要考查三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式、三角函数的
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性质以及三角形中的三角关系. 6.(2009 山
2







)(











12



)







f(x)=2 sin x cos (3) 求 ? .的值;

?
2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 处取最小值.

(4) 在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ? 解: (1) f ( x) ? 2sin x ?

2, f ( A) ?

3 ,求角 C.. 2

1 ? cos ? ? cos x sin ? ? sin x 2

? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin( x ? ? )
因为函数 f(x) 在 x ? ? 处取最小值,所以 sin(? ? ? ) ? ?1 , 由诱导公式知 sin ? ? 1 , 因为

0 ? ? ? ? ,所以 ? ?
(2)因为 f ( A) ?

?
2

.所以 f ( x) ? sin( x ?

?
2

) ? cos x

? 3 3 ,所以 cos A ? ,因为角 A 为 ? ABC 的内角,所以 A ? .又因为 6 2 2
a b b sin A 1 2 ? ,也就是 sin B ? , ? 2? ? sin A sin B a 2 2

a ? 1, b ? 2, 所以由正弦定理,得
因为 b ? a ,所以 B ?

3? . 4 4 ? ? ? 7? 3? ? 3? ? ? . 当 B ? 时, C ? ? ? ? ? ;当 B ? 时, C ? ? ? ? 4 6 4 12 4 6 4 12

?

或B ?

【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数 的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合. 7.( 2009 广 东 卷 理 ) (本小题满分12分) 已知向量 a ? (sin? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ?

?
2

).

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 10 2

解:( 1 )∵ a 与 b 互相垂直,则 a ? b ? sin? ? 2 co s ? ? 0 ,即 sin? ? 2 cos? ,代 入

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1



sin ? ? ?

2 5 5 , cos? ? ? 5 5





? ? ?( 0 , , )∴
2

sin ? ?

2 5 5 , cos? ? . 5 5
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2





0?? ?

?
2



0 ?? ?

?
2





?

?
2

? ? ?? ?

?
2





cos(? ? ? ) ? 1 ? sin 2 (? ? ? ) ?

3 10 10





c

? ? cos[? ? (? ? ?o )] ? c ? c

? ? ?) ?s s ?o s ?o ? ?) ?

2 .i 2

is

s

n

n

(

8.(2009 安徽卷理)(本小题满分 12 分) 在 ? ABC 中, sin(C ? A) ? 1 , (I)求 sinA 的值; (II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积. 本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识,考查运算求解能力。本小 题满分 12 分 解: (Ⅰ) 由C ? A ? sinB=

1 . 3

? ? B ? B 2 B B ?B , , 且 C ?A ? ? ∴A? ? , ∴ sin A ? sin( ? ) ? (cos ? sin ) , 2 4 2 4 2 2 2 2
C

2 ∴ sin A ?

1 1 3 (1 ? sin B) ? ,又 sin A ? 0 ,∴ sin A ? 2 3 3

(Ⅱ)如图,由正弦定理得

AC BC ? sin B sin A

A

B

AC sin A ∴ BC ? ? sin B

6? 1 3

3 3 ? 3 2 ,又 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B

?

3 2 2 6 1 6 ? ? ? ? 3 3 3 3 3 1 1 6 AC ? BC ? sin C ? ? 6 ? 3 2 ? ?3 2 2 2 3

∴ S?ABC ?

9.(2009 安徽卷文)(本小题满分 12 分)

在 ABC 中,C-A=



sinB= 。

(I)求 sinA 的值;

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(II)设 AC=

,求

ABC 的面积。

【思路】(1)依据三角函数恒等变形可得关于 sin A 的式子,这之中要运用到倍角公式; (2)应用正弦定理可得出边长,进而用面积公式可求出 S . ? ? B 【解析】(1)∵ c ? A ? 且c ? A ? ? ? B ∴ A ? ? 2 4 2 ∴ sin A ? sin(

?
4

?

B 2 B B )? (cos ? sin ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 2 2 2

1 B B 1 1 ∴ sin2 A ? (cos ? sin )2 ? (1 ? sin B) ? 2 2 2 2 3

又 sin A ? 0 ∴ cos A ?

3 3

AC ? sin A AC BC ? (2)如图,由正弦定理得 BC ? ∴ BC ? ? sin B sin B sin A

6? 1 3

3 3 ?3 2

又sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A ? sin B ? 3 2 2 1 6 ? ?? ? 3 3 3 3
1 1 6 AC ? BC ? sin C ? ? 6 ? 3 2 ? ? 3 2 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 2 3

∴ S ABC ?

10.(2009 天津卷文)(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, BC ? 5, AC ? 3, sin C ? 2 sin A (Ⅰ)求 AB 的值。 (Ⅱ)求 sin( 2 A ?

?
4

) 的值。

【答案】

2 10
中,根据正弦定理,

【 解 析 】 ( 1 ) 解 : 在 ?ABC

AB BC ? ,于是 sin C sin A

AB ? s i n C

BC ? 2 BC ? 2 5 s i nA

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 (2)解:在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 cos A ? 2 AB ? AC
于是 sin A ? 1 ? cos2 A =

5 , 5
4 3 , cos 2 A ? cos 2 A ? sin 2 A ? 5 5

从而 sin 2 A ? 2 sin A cos A ?

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? ? ? 2 sin(2 A ? ) ? sin 2 A cos ? cos 2 A sin ? 4 4 4 10
【考点定位】本题主要考查正弦定理,余弦定理同角的三角函数的关系式,二倍角的正 弦和余弦,两角差的正弦等基础知识,考查基本运算能力。 11.(2009 福建卷理)(本小题满分 13 分) 如图,某市拟在长为 8km 的道路 OP 的一侧修建一条运动 赛道,赛道的前一部分为曲线段 OSM,该曲线段为函数 y=Asin ? x(A>0,

? >0) x ? [0,4]的图象,且图象的最高点为

S(3,2 3 );赛道的后一部分为折线段 MNP,为保证参赛 运动员的安全,限定 ? MNP=120 (I)求 A ,
o

? 的值和 M,P 两点间的距离;

(II)应如何设计,才能使折线段赛道 MNP 最长? 12.本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识,考查运算求解能力以及 应用数学知识分析和解决实际问题的能力,考查化归与转化思想、数形结合思想, 解法一 T 2? ? ? (Ⅰ)依题意,有 A ? 2 3 , ? 3 ,又 T ? ,? ? ? 。? y ? 2 3 sin x 4 ? 6 6 当 x ? 4 是,? y ? 2 3 sin
? M (4, 3) 又 p(8, 3)

2? ?3 3

? MP ? 42 ? 32 ? 5

(Ⅱ)在△MNP 中∠MNP=120°,MP=5, 设∠PMN= ? ,则 0°< ? <60° 由正弦定理得
? NP ? MP NP MN ? ? 0 sin ? sin(60 0 ? ? ) sin 120

10 3 10 3 sin(600 ? ? ) sin ? , ? MN ? 3 3 10 3 10 3 10 3 1 3 sin ? ? sin(600 ? ? ) ? ( sin ? ? cos ? ) 3 3 3 2 3

故 NP ? MN ?
?

10 3 sin(? ? 600 ) 3

0°< ? <60°,? 当 ? =30°时,折线段赛道 MNP 最长 亦即,将∠PMN 设计为 30°时,折线段道 MNP 最长 解法二: (Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)在△MNP 中,∠MNP=120°,MP=5, 由余弦定理得 MN 2 ? NP 2 ? 2MN NP cos ∠MNP= MP 2
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即 MN 2 ? NP 2 ? MN NP ? 25 故 (MN ? NP)2 ? 25 ? MN NP ? (
MN ? NP 2 ) 2

10 3 3 从而 (MN ? NP)2 ? 25 ,即 MN ? NP ? 3 4

当且仅当 MN ? NP 时,折线段道 MNP 最长 注:本题第(Ⅱ)问答案及其呈现方式均不唯一,除了解法一、 解法二给出的两种设计方式, 还可以设计为:① N ( 分线上等 13.(2009 辽宁卷文)(本小题满分 12 分) 如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量 船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 , 30 ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角 均为 60 ,AC=0.1km。试探究图中 B,D 间距离与另外哪两点距离相等,然后求 B,D 的距 离(计算结果精确到 0.01km ,
0 0 0

12 ? 3 9 ? 4 3 12 ? 3 9 ?4 3 , ) , ) ;② N ( ;③点 N 在线段 MP 的垂直平 2 6 2 6

2 ? 1.414 , 6 ? 2.449 )

(18)解:

?DAC =30°, ?ADC =60°- ?DAC = 在 ?ACD 中,
30°, 所以 CD=AC=0.1 又 ?BCD =180°-60°-60°=60°, 故 CB 是 ?CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA 在 ?ABC 中, 5分

AB AC ? , sin?BCA sin?ABC

即 AB=

AC sin 60? 3 2 ? 6 ? sin15? 20 3 2? 6 ? 0.33km 20

因此, BD ?

故 B、D 的距离约为 0.33km。 12 分 14.(2009 辽宁卷理)(本小题满分 12 分) 如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量 船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 , 30 ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角 均为 60 ,AC=0.1km。试探究图中 B,D 间距离与另外哪两点间距离相等,然后求 B,D 的距
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0 0 0

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离(计算结果精确到 0.01km, 2 ? 1.414, 6 ? 2.449)

(14)解: 在△ABC 中,∠DAC=30°, ∠ADC=60°-∠DAC=30, 所以 CD=AC=0.1 又∠BCD=180°-60°-60°=60°, 故 CB 是 △ CAD 底 边 AD 的 中 垂 线 , 所 以

BD=BA,
AB

……5 分
AC

在△ABC 中, sin ?BCA ? sin ?ABC ,
ACsin60 ? ? 3 2? 6 , 20

即 AB= sin 15?

因此,BD=

3 2? 6 ? 0.33km 。 20

故 B,D 的距离约为 0.33km。

……12 分

15.(2009 宁夏海南卷理)(本小题满分 12 分) 为了测量两山顶 M,N 间的距离,飞机沿水平方向在 A,B 两点进行测量,A,B,M,N 在同 一个铅垂平面内(如示意图),飞机能够测量的数据有俯角和 A,B 间的距离,请设计一个 方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);②用文字和公式写出 计算 M,N 间的距离的步骤。

?1 , ?1

(15) 解: 方案一:①需要测量的数据有:A 点到 M,N 点的俯角;B 点到 M, ……….3 分

N 的俯角 ?2 , ?2 ;A,B 的距离 d (如图所示) . ②第一步:计算 AM . 由正弦定理 AM ?

d sin ? 2 sin(?1 ? ? 2 )



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第二步:计算 AN . 由正弦定理 AN ?

d sin ? 2 sin( ? 2 ? ?1 )



第三步:计算 MN. 由余弦定理 MN ? 方案二:①需要测量的数据有:

AM 2 ? AN 2 ? 2 AM ? AN cos(?1 ? ?1 ) .

A 点到 M,N 点的俯角 ?1 , ?1 ;B 点到 M,N 点的府角 ? 2 , ? 2 ;A,B 的距离 d (如 图所示). ②第一步:计算 BM . 由正弦定理 BM ?

d sin ?1 sin(?1 ? ? 2 )




第二步:计算 BN . 由正弦定理 BN ?

d sin ?1 sin( ?2 ? ?1 )

第三步:计算 MN . 由余弦定理 MN ? 16.(2009 陕西卷文)(本小题满分 12 分)

BM 2 ? BN 2 ? 2 BM ? BN cos( ? 2 ? ? 2 )

已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 图象上一个最低点为 M (

?
2

)的周期为 ? ,且

2? , ?2) . 3

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式;(Ⅱ)当 x ? [0, 解析:(1)由最低点为 M (

?
12

] ,求 f ( x) 的最值.

2? 2? 2? , ?2)得A ? 2 由 T ? ? 得? ? ? ?2 3 T ? 2? 4? 4? , ?2) 在图像上得 2sin( ? ? ) ? ?2 即 sin( ? ? ) ? ?1 由点 M ( 3 3 3 4? ? 11? ? ? ? 2 k? ? 故 ? ? 2 k? ? (k ? Z ) 所以 3 2 6
又 ? ? (0,

?

2

) ,所以 ? ?

?

(Ⅱ)因为 x ? [0, 所以当 2x+

?
12

6

所以 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?

], 2 x ?

?

?

当2x+

?
6

?

?

6 3

?

?
6

?[ , ] 6 6 3

? ?

6

)

时,即 x=0 时,f(x)取得最小值 1;

, 即x ?

?
12

时,f ( x)取得最大值 3 ;

17.(2009 宁夏海南卷文)(本小题满分 12 分) 如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点进行测量,已知

AB ? 50m , BC ? 120m ,于 A 处测得水深 AD ? 80m ,于 B 处测得水深 BE ? 200m ,于
C 处测得水深 CF ? 110m ,求∠DEF 的余弦值。

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(17) 解: 作 DM // AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

DF ? MF 2 ? DM 2 ? 302 ?1702 ? 10 198 , DE ? DN 2 ? EN 2 ? 502 ?1202 ? 130 ,
EF ? ( BE ? FC ) 2 ? BC 2 ? 902 ? 1202 ? 150 . ......6 分
在 ?DEF 中,由余弦定理,

cos ?DEF ?


DE 2 ? EF 2 ? DF 2 1302 ? 1502 ? 102 ? 298 16 ? ? . 2 DE ? EF 2 ?130 ?150 65

......12

18.(2009 天津卷理)(本小题满分 12 分) 在⊿ABC 中,BC= 5 ,AC=3,sinC=2sinA (I) 求 AB 的值: (II) 求 sin ? 2 A ?

? ?

??

? 的值 4?

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两 角差的正弦等基础知识,考查基本运算能力。满分 12 分。 AB BC ? (Ⅰ)解:在△ABC 中,根据正弦定理, sinC sin A 于是 AB=
sinC BC ? 2BC ? 2 5 sin A

(Ⅱ)解:在△ABC 中,根据余弦定理,得 cosA=

AB2 ? AC2 ? BD2 2 5 ? 2 AB ? AC 5

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于是 sinA= 1 ? cos2 A ? 从而 sin2A=2sinAcosA= 所以 sin(2A-

5 5

4 3 2 2 ,cos2A=cos A-sin A= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 5 5

? ? ? 2 )=sin2Acos -cos2Asin = 4 4 4 10 19.(2009 福建卷文)(本小题满分 12 分)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

2 ?? sin ? ? 0, 求 ? 的值; (I)若 cos cos, ? ? sin 4 4

已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), 其中 ? ? 0 , | ? |?

?

?

(Ⅱ)在(I)的条件下,若函数 f ( x ) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于

? ,求 3

函数 f ( x ) 的解析式;并求最小正实数 m ,使得函数 f ( x ) 的图像象左平移 m 个单位所对应 的函数是偶函数。 解法一: (I)由 cos 即 cos(

?
4

cos ? ? sin

?

3? ? ? sin ? ? 0 得 cos cos ? ? sin sin ? ? 0 4 4 4

4

? ? ) ? 0 又 | ? |?

?

2

,?? ?

?

(Ⅱ)由(I)得, f ( x) ? sin(? x ? 依题意, 又T ?

?
4

4

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

)

2?

T ? ? 2 3

, 故 ? ? 3,? f ( x) ? sin(3x ? ) ? 4

?

函数 f ( x ) 的图像向左平移 m 个单位后所对应的函数为

?? ? g ( x) ? sin ?3( x ? m) ? ? 4? ?
g ( x) 是偶函数当且仅当 3m ?
即m ?

?
4

? k? ?

?
2

(k ? Z )

k? ? ? (k ? Z ) 3 12

从而,最小正实数 m ? 解法二: (I)同解法一

? 12

(Ⅱ)由(I)得, f ( x) ? sin(? x ? 依题意,

?
4

)

T ? ? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 3
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又T ?

2?

?

,故 ? ? 3,? f ( x) ? sin(3 x ?

?
4

)

函数 f ( x ) 的图像向左平移 m 个单位后所对应的函数为 g ( x) ? sin ?3( x ? m) ?

? ?

??
4? ?

g ( x) 是偶函数当且仅当 g (? x) ? g ( x) 对 x ? R 恒成立
亦即 sin( ?3 x ? 3m ?

?

) ? sin(3 x ? 3m ? ) 对 x ? R 恒成立。 4 4

?

? sin(?3x) cos(3m ? ) ? cos(?3x) sin(3m ? ) 4 4

?

?

? sin 3x cos(3m ? ) ? cos 3 x sin(3m ? ) 4 4
即 2sin 3 x cos(3m ?

?

?

?

? cos(3m ? ) ? 0 4
故 3m ?

?

4

) ? 0 对 x ? R 恒成立。

?

?m ?

k? ? ? (k ? Z ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3 12

4

? k? ?

?
2

(k ? Z )

从而,最小正实数 m ?

? 12

20.(2009 上海卷文)(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小 题满分 8 分 . 已知Δ ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量 m ? (a, b) ,

n?( s i B n

, , s A ip n ? () b ? 2, a ? 2) .

(1) 若 m // n ,求证:Δ ABC 为等腰三角形; (2) 若 m ⊥ p ,边长 c = 2,角 C = 证明:(1) Q m // n,? a sin A ? b sin B,

? ,求Δ ABC 的面积 . 3

u v v

a b ? b? ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, a ? b w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2R 2R ? ?ABC 为等腰三角形 u v u v 解(2)由题意可知 m // p ? 0,即a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0
即a?

? a ? b ? ab
由余弦定理可知, 4 ? a ? b ? ab ? (a ? b) ? 3ab
2 2 2

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即(ab)2 ? 3ab ? 4 ? 0
? ab ? 4(舍去ab ? ?1) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
?S ? 1 1 ? ab sin C ? ? 4 ? sin ? 3 2 2 3

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