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广东省潮州市2014-2015学年高二下学期期末数学试卷(理科)

时间:2016-07-23


广东省潮州市 2014-2015 学年高二下学期期末数学试卷 (理科)
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 1.复数 z=﹣2+2i,则 的虚部为( A.2i B.﹣2i 考点:复数的基本概念. 专题:数系的扩充和复数. 分析:首先求出 ,根据复数的概念求虚部. 解答: 解:因为复数 z=﹣2+2i,则 =﹣2﹣2i, 所以 的虚部为﹣2; 故选:D. 点评:本题考查了共轭复数的虚部;熟练掌握复数的有关概念是关键. 2.某项测试要过两关,第一关有 3 种测试方案,第二关有 5 种测试方案,某人参加该项测试, 不同的测试方法种数为( ) 5 3 A.3+5 B.3×5 C.3 D.5 考点:计数原理的应用. 专题:计算题;排列组合. 分析:根据题意,某人参加该项测试,第一关有 3 种测试方案,即有 3 种测试方法,第二关有 5 种测试方案,即有 5 种测试方法,由分步计数原理计算可得答案. 解答: 解:根据题意,某人参加该项测试, 第一关有 3 种测试方案,即有 3 种测试方法,第二关有 5 种测试方案,即有 5 种测试方法, 则有 3×5 种不同的测试方法, 故选:B. 点评:本题考查分步计数原理的运用,根据题意求出每一的情况数目,由分步计数原理直接计 算即可,属简单题. 3. A. x dx 的值为(
2

) C.2 D.﹣2

) B.1 C. D.

考点:定积分. 专题:导数的概念及应用. 分析:根据定积分的计算法则计算即可. 解答: 解: x dx= x |
2 3

= ,

故选:A. 点评:本题考查了定积分的计算,关键是求出原函数,属于基础题. 4.函数 f(x)=x ﹣3x 的单调递减区间为( A. (0,+∞) B. (﹣∞,0)
3

) C. (﹣1,1)

D. (1,+∞)

考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析:先求出函数 f(x)的导数,通过解关于导函数的不等式,从而求出函数的递减区间. 2 解答: 解:f′(x)=3x ﹣3, 令 f′(x)<0,解得:﹣1<x<1, 即函数的递减区间为(﹣1,1) 故选:C. 点评:本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用,是一道基础题. 5.用数学归纳法证明 1+ + +…+ A. B. <n(n∈N ,n>1)时,第一步应验证不等式( C. D.
*

)

考点:数学归纳法. 专题:常规题型. 分析:直接利用数学归纳法写出 n=2 时左边的表达式即可. 解答: 解:用数学归纳法证明 (n∈N+,n>1)时,第一步应验证

不等式为:



故选 B. 点评:在数学归纳法中,第一步是论证 n=1 时结论是否成立,此时一定要分析不等式左边的 项,不能多写也不能少写,否则会引起答案的错误. 6.设随机变量 ξ~N(0,1) ,若 P(ξ≥1)=p,则 P(﹣1<ξ<0)=( A.1﹣p B.p C. +p )

D. ﹣P

考点:二项分布与 n 次独立重复试验的模型. 专题:概率与统计. 分析:随机变量 ξ 服从标准正态分布 N(0,1) ,知正态曲线关于 x=0 对称,根据 P(ξ≥1)=p, 得到 P(1>ξ>0)= ﹣p,再根据对称性写出要求概率. 解答: 解:∵随机变量 ξ 服从标准正态分布 N(0,1) , ∴正态曲线关于 x=0 对称, ∵P(ξ≥1)=p,

∴P(1>ξ>0)= ﹣p, ∴P(﹣1<ξ<0)= ﹣p, 故选 D. 点评:本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,本题的主要依据是曲线的对称性, 这种问题可以出现在选择或填空中. 7.函数 f(x)=x+2cosx 在区间上的最大值为( A.2 B.π﹣2 C. ) D.

考点:利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:导数的概念及应用. 分析:先求出函数 f(x)的导数,得到函数的单调区间,从而求出函数的最大值. 解答: 解:f′(x)=1﹣2sinx, 令 f′(x)>0,解得:x< 令 f′(x)<0,解得: 或 x> , )递减, )= ﹣ , ,

<x< ,

∴函数 f(x)在递增,在( ∴f(x)极大值=f( )= +

,f(x)极小值=f(

又 f(0)=2,f(π)=π﹣2, 故所求最大值为 + .

点评:本题考查了函数的单调性、函数的最值问题,考查导数的应用,是一道基础题. 8.已知函数 f(x)=4x ﹣1,若数列{ A. B. C.
2

}前 n 项和为 Sn,则 S2015 的值为( D.

)

考点:数列的求和. 分析:由 f(x)=4x ﹣1 得到 解答: 解:由 f(x)=4x ﹣1,得 = ,
2 2

,然后利用裂项相消法求得 S2015 的值.

∴S2015= 故选:D.

=



点评:本题考查数列的函数特性,考查了裂项相消法求数列的和,是中档题. 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 9.某种植物的种子发芽率是 0.7,则 3 颗种子中恰好有 2 颗发芽的概率是 0.441. 考点:n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率. 专题:概率与统计. 分析:由条件利用 n 次独立重复实验中恰好发生 k 次的概率计算公式,计算求的结果. 解答: 解:3 颗种子中恰好有 2 颗发芽的概率是 ×0.7 ×0.3=0.441,
2

故答案为:0.441. 点评:本题主要考查 n 次独立重复实验中恰好发生 k 次的概率计算公式,属于基础题. 10.在(1+x) (n∈N )的二项展开式中,若只有 x 系数最大,则 n=10. 考点:二项式定理. 专题:计算题. 分析:求出 x 的系数,据展开式中中间项的二项式系数最大,求出 n 的值 n * r r 解答: 解:∵(1+x) (n∈N )的展开式通项为 Tr+1=Cn x 5 当 r=5 时,Cn 值最大 5 所以 Cn 是展开式中最大的二项式系数 所以 n=10 故答案为 10 点评:解决二项式系数的最值问题常利用结论:二项展开式中中间项的二项式系数最大. 11.如图所示,正方形 OABC 的边长为 1,则对角线 OB 与函数 y=x 围成的阴影部分的面积 为 .
3 5 n * 5

考点:定积分在求面积中的应用. 专题:导数的综合应用. 分析:首先由图形利用定积分表示阴影部分的面积,然后计算定积分. 解答: 解:依题意可知,阴影部分面积为 S= 故答案为: . 点评:本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积;关键是利用定积分正确表示面积. =( )| = ;

12.若随机变量 X~B(10, ) ,则方差 DX=



考点:二项分布与 n 次独立重复试验的模型. 专题:计算题;概率与统计. 分析:由公式可得 DX=np(1﹣p) ,即可得出结论. 解答: 解:由公式可得 DX=np(1﹣p)=10× 故答案为: . = .

点评:本题考查离散型随机变量的方差的求法,公式的应用,考查计算能力. 13. 在△ ABC 中, D 为 BC 的中点, 则 中,G 为△ BCD 的重心,则 = ( +

= ( +

+ ) .

) 将命题类比到空间: 在三棱锥 A﹣BCD

考点:类比推理. 专题:综合题;推理和证明. 分析:由条件根据类比推理,由“△ ABC”类比“四面体 A﹣BCD”,“中点”类比“重心”,从而得 到一个类比的命题. 解答: 解:由“△ ABC”类比“四面体 A﹣BCD”,“中点”类比“重心”有, 由类比可得在四面体 A﹣BCD 中,G 为△ BCD 的重心,则有 故答案为:在四面体 A﹣BCD 中,G 为△ BCD 的重心,则有 = ( = ( + + + + ) , ) .

点评:本题考查了从平面类比到空间,属于基本类比推理.利用类比推理可以得到结论、证明 类比结论时证明过程与其类比对象的证明过程类似或直接转化为类比对象的结论,属于基础 题. 14.学校分配甲、乙、丙三人到 7 个不同的社区参加社会实践活动,每个社区最多分配 2 人, 则有 336 种不同的分配方案(用数字作答) 考点:计数原理的应用. 专题:计算题;排列组合. 分析:根据题意,分 2 种情况讨论:第一类,这 7 个社区中恰有三个社区各有一人参与社会实 践活动,第二类,这 7 个社区中某个社区有两人,另一个社区有一人参与社会实践活动;分别 求出每种情况下的情况数目,由分类计数原理计算可得答案. 解答: 解:根据题意,分 2 种情况讨论: 3 第一类,这 7 个社区中恰有三个社区各有一人参与社会实践活动,相应的分配方案有 A7 =210 种; 第二类,这 7 个社区中某个社区有两人,另一个社区有一人参与社会实践活动,相应的分配 2 1 2 方案有 C3 C1 A7 =126 种, 因此,共有分配方案 210+126=336 种.

故答案为:336. 点评:本题考查排列、组合的运用,解题时要结合题意,分析将 3 人分到 7 个社区的情况进行 分类讨论. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答要写出证明过程或演算步骤) 15.复数 z=(3m﹣2)+(m﹣8)i,m∈R, (1)m 为何值时,z 是纯虚数? (2)若 C =15(m∈N ) ,求 m 的值,并指出此时复数 z 在复平面上对应的点位于第几象限.
*

考点:复数的代数表示法及其几何意义;复数的基本概念. 专题:数系的扩充和复数. 分析: (1)利用复数是纯虚数得到实部为 0,并且虚部不为 0,求出 m; (2)利用等式 C =15(m∈N ) ,求出 m,得到复数,根据实部、虚部的符号判断位置.
*

解答: 解: (1)3m﹣2=0 且 m﹣8≠0 时,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 即 m= ,z 是纯虚数.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (2)由 C =15(m∈N ) ,得
*

=15,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

解得 m=6 或 m=﹣5﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 因为 m∈N*,故 m=﹣5 舍去,即 m=6,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 此时复数 z=16﹣2i 在复平面上对应的点位于第四象限﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 点评: 本题考查了复数的基本概念以及复数的几何意义; 熟练掌握复数的有关概念是解答的根 本. 16.设函数 f(x)=﹣x +2x ﹣x(x∈R) . (1)求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程; (2)求函数 f(x)的极值. 考点:利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的概念及应用. 分析: (1)先求出函数 f(x)的导数,求出 f(2) ,f′(2)的值,从而求出切线方程; (2)先 求出函数的导数,得到函数的单调区间,从而求出函数的极值. 3 2 解答: 解: (1)因为 f(x)=﹣x +2x ﹣x, 2 所以 f′(x)=﹣3x +4x﹣1,且 f(2)=﹣2, 所以 f′(2)=﹣5, 所以 曲线 f(x)在点(2,﹣2)处的切线方程是 y+2=﹣5(x﹣2) , 整理得:5x+y﹣8=0. 2 (2)由(1)知 f′(x)=﹣3x +4x﹣1=﹣(3x﹣1) (x﹣1) , 令 f′(x)=0,解得:x= 或 x=1, 所以 f′(x) ,f(x)变化情况如下表:
3 2

x f′(x) f(x)

(﹣∞,﹣ ) ﹣ ↘ 0 ﹣ + ↗

( ,1) 0 0 ﹣ ↘ .

1

(1,+∞)

因此,函数 f(x)的极大值为 0,极小值为﹣

点评:本题考查了曲线的切线方程,考查函数的单调性、极值问题,考查导数的应用,是一道 中档题. 17.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销, 得到如下数据: 单价 x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量 y(件) 90 84 83 80 75 68 (Ⅰ)求回归直线方程 =bx+a,其中 b=﹣20,a= ﹣b ; (Ⅱ)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(I)中的关系,且该产品的成本是 4 元/件, 为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入﹣成本) 考点:回归分析的初步应用;线性回归方程. 专题:计算题. 分析: (I)计算平均数,利用 b=﹣20,a= ﹣b ,即可求得回归直线方程; (II)设工厂获得的利润为 L 元,利用利润=销售收入﹣成本,建立函数,利用配方法可求工 厂获得的利润最大. 解答: 解: (I) ∵b=﹣20,a= ﹣b , ∴a=80+20×8.5=250 ∴回归直线方程 =﹣20x+250; (II)设工厂获得的利润为 L 元,则 L=x(﹣20x+250)﹣4(﹣20x+250)=﹣ 20 ∴该产品的单价应定为 元,工厂获得的利润最大. , =

点评:本题主要考查回归分析,考查二次函数,考查运算能力、应用意识,属于中档题.

18.在数列{an}中,a1=2,an+1=

,n=1,2,3,…

(1)计算 a2,a3,a4 的值,根据计算结果,猜想{an}的通项公式; (2)用数字归纳法证明你的猜想.

考点:数学归纳法;归纳推理. 专题:点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)根据题设条件,可求 a2,a3,a4 的值,猜想{an}的通项公式. (2)利用数学归纳法的证明步骤对这个猜想加以证明. 解答: 解: (1)由已知可得,a2= ,a3= 猜想 an= . =2,猜想成立. . ,a4= .

(2)证明:①当 n=1 时,左边 a1=2,右边 ②假设当 n=k(k∈N )时猜想成立,即 aK=
*

则 n=k+1 时,ak+1=

=

=

=

所以当 n=k+1 时,猜想也成立. 根据①和②,可知猜想对于任何 k∈N 都成立. 点评:本题考查数列的递推公式,用数学归纳法证明等式成立.证明当 n=k+1 时命题也成立, 是解题的难点. 19.一个盒子中装有 5 张卡片,每张卡片上写有一个数字,数字分别是 1、2、3、4、5,现从 盒子中随机抽取卡片. (Ⅰ)若从盒子中有放回的取 3 次卡片,每次抽取一张,求恰有两次取到的卡片上数字为偶 数的概率; (Ⅱ)若从盒子中依次抽取卡片,每次抽取一张,取出的卡片不放回,当取到一张记有偶数 的卡片即停止抽取,否则继续抽取卡片,求抽取次数 X 的分布列和期望. 考点:等可能事件的概率;离散型随机变量及其分布列. 专题:计算题. 分析: (1)有放回地抽取 3 次卡片,每次抽取一张,恰有两次取到的卡片上数字为偶数,这 个实验每次取到的卡片上数字为偶数的概率为 ,所以这是一个独立重复试验,根据独立重复 试验的公式得到要求的概率. (2)从盒子中依次抽取卡片,每次抽取一张,取出的卡片不放回,当取到一张记有偶数的卡 片即停止抽取,由题意知抽取的次数可能的取值是 1、2、3、4,当 X=1 时,根据古典概型公 式做出概率. 解答: 解: (Ⅰ)由题意知本题是独立重复试验, 设 A 表示事件“有放回地抽取 3 次卡片,每次抽取一张,恰有两次取到的卡片上数字为偶数”, 由已知,每次取到的卡片上数字为偶数的概率为 , 则 .
*

(Ⅱ)依题意,X 的可能取值为 1,2,3,4.

, , , , 所以 X 的分布列

. 点评:求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科 2015 届高考必出的一个问题,题目做 起来不难,运算量也不大,只要注意解题格式就问题不大. 20.设函数 f(x)=x +aln(x+1) . (1)若 a=﹣12,写出函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在上,函数 f(x)在 x=0 处取得最大值,求实数 a 的取值范围. 考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)将 a=﹣12 代入函数的表达式,求出函数 f(x)的导数,从而求出函数的单调区间; (2)先求出函数 f(x)的导数,根据函数的单调性将问题转化为 2x +2x+a≥0 在上单调递增 不合题意, 当△ >0 时,设 x1,x2(x1<x2)是方程 2x +2x+a=0 的两个根,… 根据题意有 x1<0<x2 且 f(0)>f(1) , ∴解得 a<﹣log2e,… ∴实数 a 的取值范围为(﹣∞,﹣log2e) .… 点评:本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用,函数恒成立问题,是一道中档题.
2 2 2


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