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初高中衔接之因式分解的常用方法

时间:2014-01-18


因式分解的常用方法
【方法总结】 一、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因 式分解中常用的公式,例如: 2 2 2 2 (1)(a+b)(a-b) = a -b ---------a -b =(a+b)(a-b); 2 2 2 2 2 2 (2) (a±b) = a ±2ab+b ——— a ±2ab+b =(a±b) ; 2 2 3 3 3 3 2 2 (3) (a+b)(a -ab+b ) =a +b ------ a +b =(a+b)(a -ab+b ); 2 2 3 3 3 3 2 2 (4) (a-b)(a +ab+b ) = a -b ------a -b =(a-b)(a +ab+b ). 三、分组分解法. (一)分组后能直接提公因式 例 1、分解因式: am ? an ? bm ? bn

例 2、分解因式: 2ax ? 10ay ? 5by ? bx 练习:分解因式 1、 a ? ab ? ac ? bc
2

2、 xy ? x ? y ? 1

(二)分组后能直接运用公式 例 3、分解因式: x ? y ? ax ? ay
2 2

例 4、分解因式: a ? 2ab ? b ? c
2 2
2 2

2

练习:分解因式(1) x ? x ? 9 y ? 3 y

(2) x ? y ? z ? 2 yz
2 2 2

四、十字相乘法. (一)二次项系数为 1 的二次三项式 直接利用公式—— x ? ( p ? q) x ? pq ? ( x ? p)( x ? q) 进行分解。 特点: (1)二次项系数是 1; (2)常数项是两个数的乘积; (3)一次项系数是常数项的两因数的和。
2

例 5、分解因式: x ? 5 x ? 6
2

1

例 6、分解因式: x ? 7 x ? 6
2

练习 分解因式(1) x ? 14 x ? 24
2

(2) a ? 15a ? 36
2

(3) x ? 4 x ? 5
2

(二)二次项系数不为 1 的二次三项式—— ax ? bx ? c
2

例 7、分解因式: 3x ? 11x ? 10
2

练习 分解因式: (1) 5x ? 7 x ? 6
2

(2) 3x ? 7 x ? 2
2

(3) 10 x ? 17 x ? 3
2

(4) ? 6 y ? 11 y ? 10
2

(三)二次项系数为 1 的齐次多项式 例 8、分解因式: a ? 8ab ? 128b
2 2

练习 分解因式(1) x ? 3xy ? 2 y (2) m ? 6mn ? 8n (3) a ? ab ? 6b
2 2

2

2

2

2

(四)二次项系数不为 1 的齐次多项式 例 9、 2 x ? 7 xy ? 6 y
2 2

例 10、 x y ? 3xy ? 2
2 2

练习 分解因式: (1) 15 x ? 7 xy ? 4 y
2

2

(2) a x ? 6ax ? 8
2 2

思考:分解因式: abcx ? (a b ? c ) x ? abc
2 2 2 2

2

五、换元法。 例 11、分解因式 2005 x ? (2005 ? 1) x ? 2005
2 2

练习 分解因式(1) ( x ? xy ? y ) ? 4 xy( x ? y )
2 2 2 2 2

(2) ( x ? 3x ? 2)( 4 x ? 8 x ? 3) ? 90
2 2

(3) (a ? 1) ? (a ? 5) ? 4(a ? 3)
2 2 2 2 2

2

六、添项、拆项、配方法 例 12、分解因式(1) x 3 ? 3x 2 ? 4 (2) x 9 ? x 6 ? x 3 ? 3

练习 分解因式 (1) x 3 ? 9 x ? 8

(2) x 4 ? x 2 ? 2ax ? 1 ? a 2

(3) x ? y ? ( x ? y )
4 4

4

(4)2a 2 b 2 ? 2a 2 c 2 ? 2b 2 c 2 ? a 4 ? b 4 ? c 4

3

【巩固练习】 1: (1) x ? x y ? xy ? y
3 2 2 3

(2) ax 2 ? bx 2 ? bx ? ax ? a ? b

(3) x ? 6 xy ? 9 y ? 16 a ? 8a ? 1 (4) a ? 6ab ? 12b ? 9b ? 4a
2 2 2

2

2

(5) a ? 2a ? a ? 9
4 3 2

(6) 4a x ? 4a y ? b x ? b y
2 2 2 2

(7)x ? 2 xy ? xz ? yz ? y
2

2

(8)a ? 2a ? b ? 2b ? 2ab ? 1
2 2

(9) y( y ? 2) ? (m ? 1)(m ? 1)

(10) (a ? c)(a ? c) ? b(b ? 2a)

(11) (12) a (b ? c) ? b (a ? c) ? c (a ? b) ? 2abc a ? b ? c ? 3abc
2 2 2

3

3

3

2、 (1) 8x ? 7 x ? 1
6 3

(2) 12 x ? 11xy ? 15 y
2

2

(3) ( x ? y ) ? 3( x ? y ) ? 10
2

(4) (a ? b) ? 4a ? 4b ? 3
2

x y ? 5x y ? 6 x (5)
2 2 2 2 2

2

(6) m ? 4mn ? 4n ? 3m ? 6n ? 2
2 2

(7) x ? 4 xy ? 4 y ? 2 x ? 4 y ? 3 (8) 5(a ? b) ? 23(a ? b ) ? 10(a ? b)
2 2 2

2

12( x ? y) ? 11( x ? y ) ? 2( x ? y) (9)4 x ? 4 xy ? 6 x ? 3 y ? y ? 10(10)
2 2 2 2 2

2

4


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