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江苏省苏州市高中数学第二章数列2.4等比数列教案新人教A版必修5

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2.4 等比数列 教学目标︰ 1、通过实例,理解等比数列的概念 通过从丰富实例中抽象出等比数列的模 型,使学生认识到这一类型数列也是 现实世界中大量 存在的数列模型;同时经历由发现几个具体数列的等比关系,归纳等比数列的定义的过程。 2、 探索并掌握等比数列的通项公式 通过等差数列的通项公式的推导过程的类比,探索等比数列的通项公式,通过与指数函数的图 象类比,探索等比数列的通项公式的图象特征及与指数函数之间的关系。 3、 通过等比数列与指数函数的关系体会数列是一种特殊的函数。 教学重点:理解等比数列的概念,认识等比数列是反映自然规律的重要的数列模型之一,探索并掌 握等比数列的通项公式。 教学难点:等比数列与其对应函数的关系。 教 学过程: 一、 创设情境,引入新课 在前几节课中,我们学习了等差数列的定义、等差数列的通项公式及等差中项的定义,今天我 们就来学习另外一种特殊的数列,首先看实例 1。 ? 实例分析 1:在《数学 3》(必修)中,我们认识了二进制数。它是一串由“0”和“1”构成 的数。计算机存储数据时就是以二进制数的形式储存的。计算机存储的最基本单位是“位 (bit)”,每一位只能存储一个“0”或一个“1”,所以 1 个位可以存储 0、1 两种不同的信 息.如果有 2 个位,就可以存储 00、01、10、11 四种不同的信息.我们记 n 个位共能储存的 不同信息 an 种,写出{ an }的前 5 项。 【老师】首先请一位同学读题,最后一句话说的是什么含义呢?老师引导学生分析本题的含义,并 画出树状图形象的表示。 【学生】通过观察,分析,理解题意,从而得到{ ? an }的前 5 项为 2,4,8,16,32。 ① 实例分析 2:公元前 5 至前 3 世纪,中国战国时, 《庄子》一书中有“一尺之棰,日取其半, 万世不竭”的关于物质无限可分的观点。你能解释这个论述的含义吗? 【学生】思考、讨论,用现代语言叙述。 【老师】 (用现代语言叙述后)如果把“一尺之棰”看成单位“1”, 那么得到的数列是什么样的呢? -1- 【学生】发现等比关系,写出一个无穷等比数列:1, 1 1 1 1 , , , ,…。 ② 2 4 8 16 【老师】大家知道计算机病毒的传播是非常快的,速度大的惊人,那么让我们看一个这样的实例。 ? 实例分析 3:一种计算机病毒可以查找计算机中的地址薄,通过邮件进行传播。如果把病 毒制造者发送病毒称为第一轮,邮件接收者发送病毒称为第二轮,依此类推。假设每一轮 每一台计算机都感染 20 台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒每一轮感染的计算机 数构成的数列是什么? 【学生】合作讨论,得出什么为第一轮,第二轮。从而得到种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列 是 1,20,20 ,20 ,…。③ 【老师】回忆数列的等差关系和等差数列的定义,观察上面的数列①②③,说说它们有什么共同特 点? 引导学生类比等差关系和等差数列的概念,发现等比关系。我们可以发现: 数列①从第 2 项起,每一项与它前一项的比都等于____; 数列②从第 2 项起,每一项与它前一项的比都等于____; 数列③从第 2 项起,每一项与它前一项的比都等于____; 也就是说这个数列有一个共同的特点:从第 2 项起,每一项与它前 一项的比等于同一个常数。 我们把这样的数列称为等比数列。这就是我们今天要研究的课题,等比数列。 【设计意图】目的是让学生明白等比数列是来源于生活中的例子,观察所给各个数列的共同特点, 进一步归纳出等比数列的定义。 二、探究新课 1、等比数列的定义 探究 1:类比等差数列的定义,大家能否给等比数列下个定义? 【设计意图】学会类比的思想。 【学生】独立思考,类比等差数列的定义。给等比数列下定义。 如果一个数列从第 2 项起,每一项 与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等 比数列。这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母 q 表示。 【老师】用数学符号语言怎样表示等比数列的定义呢?如果我们第 n 项用 a n 表示,那么它的前一 项该怎么表示,那么比怎么表示?这里的 n 的取值范围呢? 【学生】讨论,交流。 2 3 a ? q ( n ? 2) 或 a ? q(n ? 1) a a n n ?1 n ?1 n 【老师】请同学们打开课本,看看课本上是怎样给等比数列下定义的,和刚才那位同学下的定义一 -2- 样吗?有什么不同? 【学生】阅读课本,仔细对比,找出不同。学生发现课本中有 q≠0 这个条件. 思考:等比数列的定义中,可否去掉“q≠0”的条件?为什么?能否将“ an ?q an ?1 成“ an ? ”?为什么? an?1q 【设计意图】引导学生对等比数列内涵再认识和进一步理解。 【学生】讨论,辨析,得到结论,不能去掉“q≠0”的条件,因为如果 q=0,则分子为 0,而每一个分 子都可能出现在分母中,则分母为 0 无意义; 感悟:等比数列中 q≠0, an ? 0 . 【老师】那么是否存在既是等差又是等比的数列呢? 【学生 1】常数列。 【老师】是吗?有不同意见吗? 【学生 2】非零的常数列既是等差又是等比数列。 练习 1:判断下列数列是否为等比数列,若是,请指出公比 q。 (1) 1,2, 8,32,128,… 。 (2) -1,-5,-25,-125,…。 (3) 2,2,2,2,… 。 ---不 是 -- 是 q =5 n ?q 表达式说明在等 比数列中的任意项都不能为 0. a n ?1 ”的条件改写 a --- 是 q =1 --- 是 q = - 0.5 --- 不是 (4) 1,-0.5,0.25,-0.125,… 。 (5) 1, 2,1, 2,1, 2…。 【老师】思考:公比 q 的取值范围是什么呢? 【学生】正数、负数,但是不能为零。 练习 2:求下列各组数中插入怎样的数后是等比数列。 (1)1, ____ , 9 (2)-1,_

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