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2013年大连高三数学一模(理)

时间:2013-04-09

2013 年一模测试



学(理科)
第I卷

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,其中第 II 卷第 22 题~ 第 24 题为选考题,其它题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答 题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一.选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.设集合 A ? ? 2, ln x? , B ? ? x , y ? ,若 A ? B ? ? 0? ,则 y 的值为( A.0 2.设复数 z ? A.1 B.1
1? i 1? i



C. e )

D.

1 e

,则 z 为( B. ? 1

C. i ) D.
3 2

D. ? i

3. 计算 sin 47 ? cos17 ? ? cos 47 ?cos 73 ? 的结果为( A.
1 2

B.
1 x
6

3 3

C. )

2 2

4. ( x ? A. -20

) 展开式中的常数项为(

B. 20

C. -15

D.15

5. 三位男同学和三位女同学站成一排,要求任何两位男同学都不相邻,则不同的排法总 数为( A.720 ) ? B.144 C.36
?
2
?
?

D.12 ? 所围成的平面区域的面积为( )

6.曲线 f ( x ) ? sin x , f ( x ) ? cos x 与直线 x ? 0 ,x ? A. ? 02 (sin x ? cos x ) dx
? ?

B. 2 ? D. 2 ?

4 0

(sin x ? cos x ) dx (cos x ? sin x ) dx

C. ? 0

4

cos xdx + ? ?2 sin xdx
4

?
4 0

7. 已知函数 f ( x ) ? A sin(? x ? ? )( x ? R , A ? 0, ? ? 0, | ? |? 的图象(部分)如图所示,则 ? , ? 分别为( A. ? ? ? , ? ?
?
3

?
2

)


?
6

B. ? ? 2 ? , ? ?

?
3

C. ? ? ? , ? ?

D. ? ? 2 ? , ? ?

?
6

第 1 页 共 6 页

) 8 . 已 知 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f ( x ) 满 足 f ( 1? x ) ? f ( 1? x , 且 x ? [ 0 ,1 ] 时 ,

f (x) ? ?

1 |x| x ,则方程 f ( x ) ? ( ) ? 1 在区间 [ ? 3, 3] 零点的个数为( 2 8 7



A.5

B.4

C.3

D.2
???? ??? ?

9.已知 A , B 两点均在焦点为 F 的抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 上,若 | AF | ? | BF | ? 4 ,线 段 A B 的中点到直线 x ?
p 2

的距离为 1,则 p 的值为( D.2 或 6



A.1 B.1 或 3 C.2 10.如图是用模拟方法估
2

开始

M ? 0, N ? 0, i ? 1

计椭圆

x

? y

2

? 1 面积
产生 0~2 之间的两个随机数分别赋值给 x i , y i
2

4

的程序框图, S 表示估计 的结果,则图中空白处应 该填入( ) A. S ? B. S ? C. S ? D. S ?
N 250 N 125 M 250 M 125

xi 4

? yi ? 1
2




M ? M ?1 N ? N ?1

i ? i?1



i ? 2000 是

11. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (3) ? 1 ,
f ( ? 2) ? 3 , f ? ( x ) 为 f ( x ) 的导函数,

输出 S 结束

已知 y ? f ? ( x ) 的图象如图所示,且 f ? ( x ) 有且只有一个零点, 若非负实数 a , b 满足 f (2 a ? b ) ? 1 ,f ( ? a ? 2 b ) ? 3 , 则 取值范围是(
4 4

b?2 a ?1




4

A. [ , 3] B. (0, ] ? [3, ? ? ) C. [ , 5]
5 5 5

D. (0, ] ? [5, ? ? )
5

4

第 2 页 共 6 页

12. 等腰 R t △ ACB , A B ? 2 , ? A C B ?

?
2

. 以直线 AC 为轴旋转一周得到一个圆锥,D

为圆锥底面一点, BD ? CD , CH ? AD 于点 H , M 为 A B 中点,则当三棱锥 ( ) C ? HAM 的体积最大时, CD 的长为 A.
5 3

B.

2 5 3

C.

6 3

D.

2 6 3

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题:(本大题共 4 小 题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷卡的相应位置上) 13.已知△ ABC 三个内角 A 、 B 、 C ,且 sin A : sin B : sin C ? 2 : 3 : 4 , 则 cos C 的值为 .

14.如图,网格纸是边长为 1 的小正方形,在其上用粗线 画出了某多面体的三视图,则该多面体的体 积为 。
y a
2 2

15.已知双曲线 C :

?

x b

2 2

? 1 ( a ? 0, b ? 0) , P 为 x 轴上一动点,经过 P 的直线

y ? 2 x ? m( m ? 0 ) 与 双 曲 线 C 有 且 只 有 一 个 交 点 , 则 双 曲 线 C 的 离 心 率





16. 设 a ? R ,对于 ? x ? 0 ,函数 f ( x ) ? ( ax ? 1)[ln( x ? 1) ? 1] 恒为非负数,则 a 的取 值所组成的集合为 .

三. 解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 已知各项均为正数的数列 ? a n ? 满足 a1 ? 1 , a n ?1 + a n ?a n ?1 ? a n ? 0 . (Ⅰ)求证:数列 ?
? 1 ? ? 是等差数列,并求数列 ? a n ? 的通项公式; ? an ?

(Ⅱ)求数列 ?

? 2n ? ? 前 n 项和 S n . ? an ?
第 3 页 共 6 页

18.(本小题满分 12 分) 某工厂用甲、 乙两种不同工艺生产一大批同一种零件, 零件尺寸均在 ? 21, 7, 22.3 ?(单 位 : cm ) 之 间 的 零 件 , 把 零 件 尺 寸 在 [ 21 . 9 , 22 . 1 ) 的 记 为 一 等 品 , 尺 寸 在
[ 21 . 8 , 21 . 9 ) ? [ 22 . 1 , 22 . 2 ) 的记为二等品,尺寸在 [ 21 . 7 , 21 . 8 ) ? [ 22 . 2 , 22 . 3 ] 的记为三

等品,现从甲、乙工艺生产的零件中各随机抽取 100 件产品,所得零件尺寸的频率分 布直方图如图所示:
频率 组距
频率 组距
4

3 2 1 O 21.7 21.8 21.9 22.0 22.1 22.2 22.3

3 2 1 0.5

甲工艺

尺寸/cm

O

21.7 21.8 21.9 22.0 22.1 22.2 22.3

乙工艺

尺寸/cm

(Ⅰ)根据上述数据完成下列 2 ? 2 列联表,根据此数据你认为选择不同的工艺与生产出 一等品是否有关? 甲工艺 一等品 非一等品 合计 附:
? =
2

乙工艺

合计

n ? n11 n 22 - n12 n 21 ? n1+ n 2 + n + 1 n + 2

2



P ??

2

? k?

0.05 3.841

0.01 6.635

k

(Ⅱ)以上述各种产品的频率作为各种产品发生的概率,若一等品、二等品、三等品的 单件利润分别为 30 元、20 元、15 元,你认为以后该工厂应该选择哪种工艺生产该种零 件?请说明理由.

第 4 页 共 6 页

19.(本小题满分 12 分) 如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面边长为 2,侧棱长为 2 , D 为 A1C 1 中点. (Ⅰ)求证; BC 1 ∥平面 A B1 D ; (Ⅱ)求二面角 A1-AB1-D 的大小.
D

20. (本小题满分 12 分) 设离心率 e ?
1 2

的椭圆 M :

x a

2 2

?

y b

2 2

P 右焦点分别为 F1、 F2 , 是 x 轴 ? 1( a ? b ? 0) 的左、

正半轴上一点,以 P F1 为直径的圆经过椭圆 M 短轴端点,且该圆和直线 x ? 相切,过点 P 的直线与椭圆 M 相交于相异两点 A 、 C . (Ⅰ)求椭圆 M 的方程;

3y ? 3 ? 0

(Ⅱ) 若相异两点 A、 B 关于 x 轴对称, 直线 BC 交 x 轴与点 Q , QA QC 的取值范围. 求 ?

?? ?? ? ? ? ?

21.(本小题满分 12 分) 已知 m ? R ,函数 f ( x ) ? mx 2 ? 2 e x . (Ⅰ)当 m ? 2 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ) f ( x ) 有两极值点 a , b ( a ? b ) , 若 (ⅰ) m 的取值范围; 求 (ⅱ) 求证:? e ? f ( a ) ? ? 2 .

第 5 页 共 6 页

请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做 答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
? 如图,已知圆上的 ? C ? B D ,过 C 点的圆的 A 切线与 B A 的延长线交于 E 点. (Ⅰ)证明: ? ACE ? ? BCD ; (Ⅱ)若 B E ? 9, C D ? 1 ,求 BC 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xO y 中,曲线 C 1 的参数方程为 ?
? x ? 2 ? 2 cos ? ? y ? 2 sin ? ? x ? 2 cos ? ? y ? 2 ? 2 sin ?

( ? 为参数) ,曲线 C 2

的参数方程为 ? 上.

( ? 为参数) P 是 C 2 上的点, , 线段 OP 的中点在 C 1

(Ⅰ)求 C 1 和 C 2 的公共弦长; (Ⅱ)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,求点 P 的一个极坐标.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x ) ? 2 x ? 1 ? ax ? 5 (a 是常数,a∈R) (Ⅰ)当 a=1 时求不等式 f ( x ) ? 0 的解集. (Ⅱ)如果函数 y ? f ( x ) 恰有两个不同的零点,求 a 的取值范围.

第 6 页 共 6 页


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