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高考数学复习点拨:集合学习中数学语言的转换

时间:2011-01-18


集合学习中数学语言的转换
四川 毛仕理

在集合中,其数学语言常见形式主要有三种: 一是自然语言,通过日常语 言来描述集合问题中的 数学对象;二是符号语言,通过约定的数学符号来表达 集合问题中的数学对象; 三是图形语言, 通过图形来表示集合问题中的数学对象; 集合的概念有运算中包含着丰富的数学语言.例如集合的交集,它的三种语言分 别是:[来源:学_科_网 Z_X_X_K] 文字语言:由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合. 符号语言:A∩B={x|x∈A,且 x∈B} 图形语言:(图中阴影部分)

这三种语言使用起来是等效的,学会它们之间的相互转化,会给学习带来很 大的方便.解决问题时,要 灵活准确地进行语言转换. 例1 图中 U 是全集,A、B 是 U 的两个子集,用阴影表示(
U

A)∩( UB).

解析:先将符号语言( ∪B),再将符号语言
U

U

A)∩( UB)转 换成与此等价的另一种符号语言 U(A

(A∪B)转换成图形语言(如下图中阴影部分)

例 2 已知平面内的△ABC 及点 P,求{P|P A=P B}∩{ P|P A=P C}[来 源:学。科。网] 解析: 将符号语言{ P|PA=PB}∩{ P|PA=PC}转化成文字语言就是到△ABC 三顶点距离相等的点所组成的集合.故{ P|PA=PB}∩{ P|PA=PC}={△ABC 的 外心}. 例 3 设 U 为全集,集合 M、N、P 都是其子集,则下图中的阴影部分表示的 集合为( )

A.M ∩(N∪P) C.P ∩[ (
U

B.M ∩[P ∩(

U

N)]

M)∩( UN)

D.(M∩N)∪(M∩P)[来源:Zxxk.Com]

解析:对于阴影部分的元 素 x∈P 且 x∈M,但 x ? N,故它表示的集合应为 M ∩[P∩(
U

N)],选 B

例 4 设 f(x)=(x-2k)2,x∈Ik,Ik 表示区间(2k-1,2k +1],对于自 然数 k,求集合 Mk={a|使方程 f(x)=ax 在 Ik 上有两个不相等的实根} 解析:将 Mk={a|使方程 f(x)=ax 在 Ik 上有两个不相等的实根}用符号 语言表示的集合问题转化为与之等价命题:(文字语言)[来源:学科网 ZXXK] “求使 y=ax 与 y=(x-2k)2,x∈(2k-1,2k+1)有两个不同交点时 a 的取值范围.”[来源:学科网]

运用数形结合的思想,可得 a 的取值范围是 0<a≤ 即 Mk={a|0<a≤

1 2k + 1

1 = 2k + 1 例 5 某班级共有 48 人 ,其中爱好体育的 25 名, 爱好文艺的 24 名,体育和文 艺都爱好的 9 名,试求体 育和文艺 都不爱好的有几名?[来源:学科网] 解析: 先将文字语言转换成符号语言, 设爱好体育 的同学组成的集合为 A, 爱好文艺的同学组成的集合为 B.整个班级的同学组成的集合是 U.则体育和文艺都爱好的同学组成的集合是 A

∩B,体育和文艺都不爱好 的同学组成的集合是( 换成图形语言: 通过图形得到集合(
U

U

A)∩( UB)再将符号语言转

A)∩( UB)的元素是 8
U

最后把符号语言转化成文字语言,即(

A)∩( UB)

转化为:体育和文艺都不爱好的同学有 8 名.


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