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2018届高考理科数学第3章导数 (7)

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第三章 导数及其应用 §3.4 热点专题——导数综合应用的热点问题 热点一 利用导数研究函数性质的综合问题 利用导数研究函数的单调性、极值和最值均是高考命题 的重点内容,在选择题、填空题和解答题中都有涉及.主 要有以下两种考查形式: 高考总复习· 数学理科(RJ) 第三章 导数及其应用 (1) 研究具体函数的单调性、极值或最值,常涉及分类 讨论思想. (2) 由函数的单调性、极值或最值,求解参数的值或取 值范围. 【例1】 (2017· 成都模拟)已知关于x的函数f(x)=ln x+ a(x-1)2(a∈R). (1)求函数f(x)在点P(1,0)处的切线方程; (2)若函数f(x)有极小值,试求a的取值范围; (3)若在区间[1,+∞)上,函数f(x)不出现在直线y=x- 1的上方,试求a的最大值. 高考总复习· 数学理科(RJ) 第三章 导数及其应用 1 【解析】 (1)f′(x)=x +2a(x-1)(x>0), ∴f′(1)=1,又 f(1)=0, ∴f(x)在点 P(1,0)处的切线方程为 y=x-1. 2ax2-2ax+1 (2)f′(x)= (x>0), x 令 g(x)=2ax2-2ax+1(x>0), ①a=0 时,f′(x)=0 无解,f(x)无极小值; ②a<0 时,g(0)=1>0,所以 g(x)=0 有两解 x1,x2,且 x1<0<x2;0 <x<x2 时,g(x)>0,f′(x)>0,x>x2 时,g(x)<0,f′(x)<0,此时 f(x) 无极小值. 高考总复习· 数学理科(RJ) 第三章 导数及其应用 1 ③a>0 时,∵g(0)=1>0,g(x)的对称轴为 x=2,要使函数 f(x)有极小值,则 Δ>0 即 4a2-8a>0. ∴a<0 或 a>2, ∴a>2. 此时 g(x)=0 有两解 x3,x4>0,不妨设 x3≤x4, 则 x3<x<x4 时,g(x)<0,f′(x)<0. x>x4 时,g(x)>0,f′(x)>0,此时 f(x)有极小值 f(x4). 综上所述,a 的取值范围为(2,+∞). (3)由题意,f(x)≤x-1,x≥1, 即 ln x+a(x-1)2≤x-1,x≥1. 下证:ln x≤x-1,x>0, 高考总复习· 数学理科(RJ) 第三章 导数及其应用 记 h(x)=ln x-(x-1)=ln x-x+1,x>0, 1- x 1 则 h′(x)= x -1= x ,x>0, 0<x<1 时,h′(x)>0, x>1 时,h′(x)<0, ∴h(x)≤h(1)=0, 即 ln x≤x-1,x>0. 高考总复习· 数学理科(RJ) 第三章 导数及其应用 ①a≤0 时,f(x)≤ln x≤x-1; 1 ②a>0 时,取 x>1+a, 则 f(x)=ln ? ? ? 1? 1 ? ? ? x+a(x-1)(x-1)>ln 1+a +a 1+a-1?(x-1)> ? ? ? ? ln 1+x-1=x-1,与题意矛盾. 故 a 的最大值为 0. 高考总复习· 数学理科(RJ) 第三章 导数及其应用 【方法规律】 函数性质综合问题的难点是函数单调性 和极值、最值的分类讨论. (1) 单调性讨论策略:单调性的讨论是以导数等于零的 点为分界点,把函数定义域分段,在各段上讨论导数的符 号,在不能确定导数等于零的点的相对位置时,还需要对 导数等于零的点的位置进行讨论. 高考总复习· 数学理科(RJ) 第三章 导数及其应用 (2) 极值讨论

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