nbhkdz.com冰点文库

高三数学一轮精品复习学案:第三章三角函数、解三角形(31三角函数)

时间:2011-02-28


状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

版高三数学一轮精品复习学案: 2011 版高三数学一轮精品复习学案:第三章 三角形
3.1 三角函数 .
【高考目标定位】 高考目标定位】
一、任意角和弧度制及任意角的三角函数 1、考纲点击 、 (1)了解任意角的概念; (2)了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化; (3)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义; (4)理解同角三角函数的基本关系式:

三角函数、 三角函数、解

sin 2 x + cos 2 x = 1,
2、热点提示 、

sin x = tan x cos x

(1)三角函数定义的理解和运用,如已知角α的终边上一点求相关问题或三角函数值 的符号的选取等。 (2)同角三角函数间的关系,可单独考查,也可能与其他知识结合起来考查。 (3)考查题型多为选择题或填空题。 二、三角函数的诱导公式 1、考纲点击 、 能利用单位圆中的三角函数线推导出 2、热点提示 、 (1)利用诱导公式求角的三角函数值或求三角函数式的值是高考考查的重点; (2)在三角函数式的化简或证明中,间接考查诱导公式; (3)多以选择题、填空的形式考查。 三、三角函数的图象与性质 1、考纲点击 、 (1)能画出 y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性; (2)理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值

π
2

± α , π ± α 的正弦、余弦、正切的诱导公式。

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

以及与 x 轴的交点等),理解正切函数在区间 ? ? 2、热点提示 、

? π π? , ? 内的单调性。 ? 2 2?

(1)三角函数的图象在每年的高考中都有考查,应熟练掌握各个三角函数的图象; (2)三角函数的周期性、最值、单调性是高考重点考查的内容,应重点掌握; (3)多以选择题、填空题的形式考查,属容易题。 四、函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用 ω φ 的图象及三角函数模型的简单应用 1、考纲点击 、 (1)了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出函数 y=Asin(ωx+φ)的图象,了解 参数 A,ω,φ对函数图象变化的影响; (2)了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单 实际问题。 2、热点提示 、 (1)用“五点作图法”作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象,同时考查三角函数图象的变换 和对称性; (2)函数 y=Asin(ωx+φ)的周期性、奇偶性、单调性、值域与最值是高考考查的重点; (3)三种题型都可能出现,以容易题、中档题为主。 五、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 两角和与差的正弦、 1、考纲点击 、 (1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式; (2)能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式; (3)能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正 弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系。 2、热点提示 、 (1)灵活运用两角和与差的三角函数公式进行化简,恒等变换、求值,是高考经常考 查的内容; (2)二倍角公式的正用、逆用、变形用是高考考查的热点; (3)对 asinx+bcosx 的化简是高考每年必考内容; (4)三种题型均有可能出现,以中档题为主。 六、简单的三角恒等变换
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

1、考纲点击 、 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简 单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆)。 2、热点提示 、 (1)灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等变换,进而考查三角函数的图象 和性质是高考的热点内容; (2)以三角函数为背景、向量为载体考查恒等变形能力以及运用正、余弦定理判定三 角形的形状,求三角的面积等问题是知识交汇点处命题的一个热点问题; (3)多以解答题的形式呈现,属中、低档题。

【考纲知识梳理】 考纲知识梳理】
一、任意角和弧度制及任意角的三角函数 任意角和弧度制及任意角的三角函数 1、任意角 、 (1)角概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角; ②按终边位置不同分为象限角和轴线角。 (2)终边相同的角 终边与角α相同的角可写成α+k·360 (k∈Z)。 (3)象限角及其集合表示 象限角 第一象限角的集合 第二象限角的集合 第三象限角的集合 第四象限角的集合 象限角的集合表示 {α|2kπ<α<2kπ+ {α|2kπ+
o

π
2

,k∈Z}

π
2

<α<2kπ+ π ,k∈Z}

{α|2kπ+ π <α<2kπ+ {α|2kπ+

3π <α<2kπ+2 π ,k∈Z} 2 kπ , k∈Z } 2

3π ,k∈Z} 2

注:终边在 x 轴上的角的集合为{α|α=kπ, k∈Z };终边在 y 轴上的角的集合为{α| α=kπ+

π
2

, k∈Z };终边在坐标轴上的角的集合为{α|α=

2、弧度制 (1)1 弧度的角

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,用符号 rad 表示。 (2)角α的弧度数 如果半径为 r 的圆的圆心角α所对弧的长为 l ,那么角α的弧度数的绝对值是|α|= l /r. (3)角度与弧度的换算 ①1 =π/180rad;②1rad=(180/π) . (4)弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为 l ,圆心角大小为α(rad),半径为 r。又 l =rα,则扇形的面积为 S=
0 0

1 1 l r= r2α 2 2
3、任意角的三角函数 三角函数 定义 正弦 余弦 正切

设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么 y 叫做α的正弦, 记作 sinα x 叫做α的余弦,记作 cosα + + 一全正,二正弦,三正切,四余弦 sin(α+k·2π)=sin α cos(α+k· 2π)=cosα tan(α+k·2π)=tan α y/x 叫做α的正切,记 作 tanα + + -

各象限 符号

Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 口诀

+ + -

终边相同角三角 函数值(k∈Z) (公 式一) 三角函数线

有向线段 MP 为正弦线 有向线段 OM 为余弦线

有向线段 AT 为正切线

注:根据三角函数的定义,y=sinx 在各象限的符号与此象限点的纵坐标符号相同; y=cosx 在各象限的符号与此象限点的横坐标符号相同;y=tanx 在各象限的符号与此象限点 的纵坐标与横坐标商的符号相同。

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

4、同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin α+cos α=1; (2)商数关系:
2 2

sin α = tan α cos α

二、三角函数的诱导公式 1、下列各角的终边与角α的终边的关系 下列各角的终边与角α 角 2kπ (k∈ 2kπ+α(k∈Z) π +α -α

图示

与α角终边的关 相同 系 关于原点对称 关于 x 轴对称



π-α

π
2



π
2



图示

与α角终边的关 关于 y 轴对称 系 关于直线 y=x 对称

2、六组诱导公式 组数 角 (k∈Z) 正弦 余弦 正切 sinα cosα tanα -sinα - cosα tanα -sinα cosα - tanα sinα - cosα - tanα 一 2kπ+α π+α -α π-α 二 三 四 五 六

π
2



π
2



cosα sinα

cosα -sinα

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

函数名不变 口诀 符号看象限

函数名改变 符号看象限

三、三角函数的图象与性质 1、周期函数 (1)周期函数的定义 对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函数。非零常数 T 叫做这个函数的周期。 (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 那么这个最小正数就叫做 f(x) 的最小正周期。 注:如果函数 y=f(x)的周期是 T,则函数 y=f(ωx)周期是

T |ω |

,而不是

T

ω



2、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 正弦函数、余弦函数、 函数 y=sinx y=cosx y=tanx

图象

x∈R 且 定义域 x∈R x∈R

x≠

π
2

+ kπ , k ∈ Z
R 奇

值域 奇偶性 对称 性 对称

{y|-1≤y≤1} 奇 (kπ,0),k∈Z

{y|-1≤y≤1} 偶 (kπ+

π
2

,0),k∈Z



中心

kπ ,0),k∈Z 2

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

对称 x= kπ+ 轴 周期

π
2

,k∈Z

x= kπ,k∈Z 2π

无 π



注:y=sinx 与 y=cosx 的对称轴方程中的 x 都是它们取得最大值或最小值时相应的 x, 对称中心的横坐标都是它们的零点。

四、函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用 ω φ 的图象及三角函数模型的简单应用 1、简谐运动的有关概念 简谐运动图象的解 析式 y=Asin( ω x+ φ ) ( A>0, ω >0 ) x ∈ [0.+∞) ∞ 2、用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图 ω φ 一个周期内的简图 用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如表所示 ωx+φ 0 A T= 振幅 周期 频率 相位 初相



ω

f =

1 ω = T 2π

Ωx+φ

φ

π
2

π

3π 2



x

φ ? ω
0

π
2



ω
A

π ?φ ω
0

3π ?φ 2

ω

2π ? φ ω
0

y=Asin(ωx+ -A φ) 注:在上表的三行中,找五个点时,首先确定第一行的数据,即先使ωx+φ=0, ω φ , π,

3π ,2π然后求出 x 的值。 2

π , 2

3、函数 y=sinx 的图象经变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤 ω φ 的图象的步骤

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

五、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 两角和与差的正弦、 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式

2、二倍角的正弦、余弦、正切公式

.

2 tan
sinα=

α
2 ,

1 ? tan 2
cosα=

α α
2 2

1 + tan 2

α

2

1 + tan 2

3、形如 asinα+bcosα的化简 asinα+bcosα= a + b sin(α+β).其中 cosβ=
2 2

a a +b
2 2

,sinβ=

b a + b2
2

六、简单的三角恒等变换
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

1、用 cosα表示 sin2 、 α sin

α
2

,cos2

α
2

,tan2

α
2

1 ? cos α 2α 2
=

2 α 1 + cos α ; cos2 = 2 2 α 1 ? cos α tan2 = 2 1 + cos α
注: 上述三组公式从左到右起到一个扩角降幂的作用; 从右到左起到一个缩角升幂的作

;

用。 2、用 cosα表示 sin 、 α

α
2

,cos

α
2

,tan

α
2

sin

α
2



1 ? cos α 2 1 + cos α 2 1 ? cos α 1 + cos α

cos

α
2



tan

α
2

= ±

2 α sin α 1 ? cos α tan = = 2 1 + cos α sin α

3、用 sinα,cosα表示 tan

α

【热点难点精析】 热点难点精析】
一、任意角和弧度制及任意角的三角函数 1、三角函数的定义 、 ※相关链接※ 相关链接※ (1)已知角α终边上上点 P 的坐标,则可先求出点 P 到原点的距离 r,然后用三角函 数的定义求解; (2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原 点的距离,然后用三角函数的定义来求相关问题,若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出 角的α值。 注:若角α的终边落在某条直线上,一般要分类讨论。 ※例题解析※ 例题解析※
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

〖例〗已知角α的终边落在直线 3x+4y=0 上,求 sinα,cosα,tanα的值。 思路解析: 思路解析:本题求α的三角函数值,依据三角函数的定义,可在角α的终边上任意一点 P(4t,-3t)(t≠0),求出 r,由定义得出结论。 解答:∵角α的终边在直线 3x+4y=0 上,∴在角α的终边上任取一点 P(4t,-3t)(t≠0), 则 x=4t,y=-3t., r= x + y = (4t ) + ( ?3t ) =5|t|,
2 2 2 2

y ?3t 3 x 4t 4 y ?3t 3 = = ? , cos α = = = , tan α = = =? ; r 5t 5 r 5t 5 x 4t 4 y ?3t 3 x 4t 4 y ?3t 3 当 t<0 时, r=-5t, sinα= = = , α= = cos =? , α = = tan =? 。 r ?5t 5 r ?5t 5 x 4t 4 3 4 3 综 上 可 知 , sin α = ? , cos α = , tan α = ? ; 或 sin α = 5 5 4 3 4 3 , cos α = ? , tan α = ? . 5 5 4
当 t>0 时,r=5t,sinα= 2、象限角、三角函数值符号的判断 、象限角、三角函数值符号的判断 ※相关链接※ 相关链接※ (1)熟记各个三角函数在每个象限内的符号是关键; (2)判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限; (3)对于已知三角函数式的符号判断角所在象限,可先根据三角函数式的符号确定三 角函数值的符号,再判断角所在象限。 ※例题解析※ 例题解析※ 〖例〗(1)如果点 P(sinθ·cosθ,2cosθ)位于第三象限,试判断角θ所在的象限; (2)若θ是第二象限角,则

sin(cos θ ) 的符号是什么? cos(sin 2θ )

思路解析: 思路解析:(1)由点 P 所在的象限,知道 sinθ·cosθ,2cosθ的符号,从而可求 sin θ与 cosθ的符号; (2)由θ是第二象限角,可求 cosθ,sin2θ的范围,进而把 cosθ,sin2 θ看作一个用弧度制的形式表示的角,并判断其所在的象限,从而 sin(cosθ),cos(sin2θ)的 符号可定。 解答: (1)因为点 P(sinθ·cosθ,2cosθ)位于第三象限,所以 sinθ·cosθ<0,2cos θ<0,即 ?

?sin θ > 0 所以θ为第二象限角。 ?cos θ < 0

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

(2)∵2kπ+

π
2

<θ<2kπ+π(k∈Z),∴-1<cosθ<0,4kπ+π<2θ<4kπ+2π,-1≤sin2θ

<0.∴sin(cosθ)<0,cos(sin2θ)>0,∴

sin(cos θ ) sin(cos θ ) <0,∴ 的符号是负号。 cos(sin 2θ ) cos(sin 2θ )

3、已知α所在象限,求 、已知α所在象限, ※相关链接※ 相关链接※

α
n

(n ≥ 2, n ∈ N ) 所在象限

所在象限, (1)由α所在象限,确定 ) ①由α的范围,求出

α
n

所在象限的方法

α
n

的范围;
0

②通过分类讨论把角写成θ+k·360 的形式,然后判断 所在象限, (2)由α所在象限,确定 )

α
n

所在象限。

α 所在象限,也可用如下方法判断: 所在象限,也可用如下方法判断: 2

①画出区域:将坐标系每个象限二等分,得 8 个区域; ②标号:自 x 轴正向逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(如图所示);

③确定区域:找出与角α所在象限标号一致的区域,即为所求。 (3)由α所在象限,确定 ) 所在象限,

α 所在象限,也可用如下方法判断: 所在象限, 可用如下方法判断: 3

①画出区域:将坐标系每个象限三等分,得到 12 个区域; ②标号:自 x 轴正向逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(如图所示):

③确定区域:找出与角α所在象限标号一致的区域,即为所求。 ※例题解析※ 例题解析※
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

〖例〗若α是第二象限角,试分别确定 2α、 思路分析: 思路分析:写出α的范围 → 求出 2α、 终边所在位置。

α
2



α
3

的终边所在位置

α
2
0



α

3

的范围 → 分类讨论求出 2α、

α
2



α
3

解答:∵α是第二象限角,∴900+k·360 <α<180 +k·360 (k∈Z), (1)∵1800+2k·360 <2α<360 +2k·360 (k∈Z), 故 2α是第三或第四象限角,或 2α的终边在 y 轴的非正半轴上。 (2)∵450+k·180 <
0 0 0 0

0

0

α
2

<90 +k·180 (k∈Z),
0

0

0

当 k=2n(n∈Z)时,450+n·360 <

α
2
0

<90 +n·360 (k∈Z),

0

0

当 k=2n+1(n∈Z)时, 2250+n·360 < ∴

α
2

<270 +n·360 (k∈Z),

0

0

α
2

是第一或第三象限角。
0

(3)∵300+k·120 <

α
3

<600+k·120 (k∈Z),
0

0

当 k=3n(k∈Z)时,300+n·360 <

α
3
0

<600+k·360 (k∈Z),

0

当 k=3n+1(k∈Z)时, 1500+n·360 < 当 k=3n+2(k∈Z)时, 2700+n·360 < ∴
0

α α
3 3

<1800+k·360 (k∈Z), <3000+k·360 (k∈Z),
0

0

α
3

是第一或第二或第四象限角。

4、同角三角函数关系的应用 、 〖例〗(12 分)已知 α 是三角形的内角,且 sinα+cosα= 1 .(1)求 tanα的值;(2) 5 把

1 用 tanα表示出来,并求其值。 cos α ? sin 2 α
2

思路分析: 思路分析:(1)由 sinα+cosα= 1 及 sin2α+cos2α=1,可求 sinα, cosα的值; 5 (2)sin2α+cos2α=1,分子、分母同除以 cos2α即可。

1 ? 1o ?sin α + cos α = 解答: 解答:(1)方法一:联立方程 ? 5 ?sin 2 α + cos 2 α = 1 2o ?
由 1o 得 cos a =

1 ? sin a ,将其代入 2o,整理得 25sin 2 a ? 5sin a ? 12 = 0 5

∵α是三角形内角,
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

4 ? ?sin α = 5 4 ? ∴? ∴tanα= ? 3 ?cos α = ? 3 ? 5 ?
方法二:∵sinα+cosα= 1 ,∴(sinα+cosα)2=( 1 )2 5 5 即 1 + 2 sin α cos α = ∴(sinα-cosα)2=

1 24 ,∴ 2 sin α cos α = ? 25 25

49 25 12 ∵ sin α cos α = ? < 0且0 < α < π 25
∴sinα>0,cosα<0,∴sinα- cosα>0, ∴sinα- cosα=

7 , 5

1 ? 4 ? ?sin α + cos α = 5 ?sin α = 5 ? ? 得? 由? ?sin α ? cos α = 7 ?cos α = ? 3 ? 5 ? 5 ? ?
∴tanα= ?

4 3
2 2

sin 2 a + cos 2 a 1 sin a + cos a tan 2 a + 1 cos 2 a (2) = = = cos 2 a ? sin 2 a cos 2 a ? sin 2 a cos 2 a ? sin 2 a 1 ? tan 2 a cos 2 a
∵tanα= ?

4 3
2

? 4? ? ? +1 2 1 tan a + 1 ? 3 ? 25 ? ∴ = = =? 2 2 2 2 7 cos α ? sin α 1 ? tan a ? 4? 1? ?? ? ? 3?
注:(1)对于 sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,已知其中一个式子 的值,其余二式的值可求。转化的公式为(sinα±cosα)2=1±2 sinαcosα;(2)关于 sinα, cosα的齐次式,往往化为关于 tanx 的式子。

二、三角函数的诱导公式 1、三角函数式的化简 、
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

※相关链接※ 相关链接※ (1) α + 2 kπ ( k ∈ Z ) , ?α , π ± α ,

π
2

± α 的三角函数值是化简的主要工具。使用

诱导公式前,要正确分析角的结构特点,然后确定使用的诱导公式; (2)不能直接使用诱导公式的角通过适当的角的变换化为能使用诱导公式的角,如:

5 π π + α = 2π + ( + α ) 等。 2 2
注:若 kπ + α 出现时,要分 k 为奇数和偶数讨论。 (3)诱导公式的应用原则是:负化正,大化小,化到锐角为终了。特殊角能求值则求 值; (4)化简是一种不能指定答案的恒等变形,化简结果要尽可能使项数少、函数的种类 少、次数低、能求出值的要求出值、无根式、无分式等。 ※例题解析※ 例题解析※ 〖例〗化简:

sin(kπ ? α ) cos[(k ? 1)π ? α ] (k ∈ Z ) sin[(k + 1)π + α ]cos(kπ + α )

思路分析: 思路分析:化简时注意观察题设中的角出现了 kπ ,需讨论 k 是奇数还是偶数。 解答: 解答:当 k = 2 n( n ∈ Z ) 时,

原式 =

sin(2nπ ? α ) cos[(2n ? 1)π ? α ] sin(?α )icos(?π ? α ) = sin[(2n + 1)π + α ]cos(2nπ ? α ) sin(π + α ) cos α ? sin α (? cos α ) = = ?1 ? sin α icos α

当 k = 2 n + 1( n ∈ Z ) 时

原式 =

sin[(2n + 1)π ? α ]icos[(2n + 1 ? 1)π ? α ] sin(π ? α )icos α = sin[(2n + 1 + 1)π + α ]icos[(2n + 1)π + α ] sin α icos(π + α ) sin α icos α = = ?1 sin α i(? cos α )

综上,原式=-1 2、三角函数的求值 、 ※相关链接※ 相关链接※ (1)六个诱导公式和同角三角函数的关系是求值的基础; (2)已知一个角的三角函数值,求其他角三角函数值时,要注意对角化简,一般是把 已知和所求同时化简,化为同一个角的三角函数,然后求值。
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

※例题解析※ 例题解析※ 〖例〗已知 cos(

π

sin 3 (π ? α ) + cos(α + π ) π 的值。 + α ) = 2sin(α ? ) ,求 5π 7π 2 2 5cos( ? α ) + 3sin( ? α ) 2 2

思路解析: 思路解析:化简已知条件 → 化简所求三角函数式,用已知表示 → 代入已知求解 解 答 :

π ∴? sin α = ?2 sin( ? α ), ∴ sin α = 2 cos α ,即 tan α = 2. 2 3 sin (π ? α ) + cos(α + π ) sin 3 α ? cos α ∴ = π π 5π 7π 5cos( ? α ) + 3sin( ? α ) 5cos(2π + ? α ) + 3sin(4π ? ? α ) 2 2 2 2 3 3 2 sin α ? cos α sin α ? cos α sin α i tan α ? 1 = = π π 5 tan α ? 3 5cos( ? α ) ? 3sin( + α ) 5sin α ? 3cos α 2 2 2 2 2 sin α ? 1 2sin α ? 1 2sin 2 α ? (sin 2 α + cos 2 α ) = = = 10 ? 3 7 7(sin 2 α + cos 2 α )
= sin 2 α ? cos 2 α tan 2 α ? 1 4 ?1 3 = = = 2 2 2 7(sin α + cos α ) 7(tan α + 1) 7 × (4 + 1) 35

∵ cos( + α ) = 2sin(α ? ) 2 2

π

π



3、诱导公式在三角形中的应用 、 〖例 1〗在ΔABC 中,若 sin(2π-A)= ? 2 sin(π-β), 3 cosA= ? 2 cos(π-β)求Δ 〗 ABC 的三内角。 思路分析: 本题首先利用诱导公式把所给两个等式化简, 然后利用 sin α + cos α = 1 , 思路分析:
2 2

求出 cosA 的值,再利用 A+B+C=π进行计算。 解答: 解答:由已知得 ?

?sin A = 2 sin B ? ? 3 cos A = 2 cos B ?

,化简得 2 cos 2 A = 1, 即 cos A = ±

2 2

(1) cos A = 当

2 3 π π 7 时,cos B = , A、 是三角形内角, 又 B ∴A= , B= , C= π 2 2 4 6 12 2 3 3π π , cos B = ? ,又 A、B 是三角形内角,∴A= ,B= , 2 2 4 6

(2)当 cos A = ? 不合题意。 综上知,A=

π
4

,B=

π
6

,C=

7 π 12

中常用的变形结论有: 注:在ΔABC 中常用的变形结论有:
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

∵A+B+C=π,2A+2B+2C=2π, ∴sin(A+B)=sin(π-C)=sinC; cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC; tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC; sin(2A+2B)=sin(2π-2C)=-sin2C; cos(2A+2B)= cos(2π-2C)=cos2C; tan(2A+2B)=tan(2π-2C)=-tan2C;



A B π C C + )=sin( ? )=cos ; 2 2 2 2 2 A B π C C cos( + )=cos( ? )=sin . 2 2 2 2 2
sin( 以上结论应在熟练应用的基础上加强记忆。 〖例 2〗是否存在α∈( ? 〗 β),

π
2



π
2

),β∈(0,π),使等式 sin(3π-α)= 2 cos(

π
2

-

3 cos(-α)= ? 2 cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说

明理由。 思路分析: 思路分析:要想求出α,β的值,必须知道α,β的某一个三角函数值,因此,解决本 题的关键是由两个等式消去α或β的同名三角函数值。

π ? ?sin(3π ? α ) = 2 cos( ? β ) 2 解答:假设存在α,β使得等式成立,即有 ? 解答: ? 3 cos(?α ) = ? 2 cos(π + β ) ?
化简得 ?

?sin α = 2 sin β ? ? 3 cos(?α ) = 2 cos β ?

, 继续化简可得 sin 2 α + 3cos 2 α = 2 , cos 2 α = ∴

1 。 2

又α∈ ? (

π π π π π 3 , ) ∴α= 或α= ? 。 将α= 代入 3 cos(α ) = 2 cos β 得 cosβ= . 2 2 4 4 4 2 π
6
,代入 sin α =

又β∈(0,π),∴β=

2 sin β 可知符合。 3 π .又β∈(0,π),∴β= 代入 2 6

将α= ?

π
4

代入 3 cos(α ) =

2 cos β 得 cosβ=

sin α = 2 sin β 可知不符合。

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

综上可知,存在α=

π
4

,β=

π
6

满足条件。

注:已知角α的三角函数值求角α的一般步骤是: (1)由三角函数值的符号确定角α所丰的象限; (2)据角α所在的象限求出角α的最小正角; (3)最后利用终边相同的角写出角α的一般表达式。

三、三角函数的图象与性质 1、与三角函数有关的函数的定义域 、 ※相关链接※ 相关链接※ (1)与三角函数有关的函数的定义域 ①与三角函数有关的函数的定义域仍然是使函数解析式有意义的自变量的取值范围; ②求此类函数的定义域最终归结为用三角函数线或三角函数的图象解三角不等式。 (2)用三角函数线解 sinx>a(cosx>a)的方法 ①找出使 sinx=a(cosx=a)的两个 x 值的终边所丰位置; ②根据变化趋势,确定不等式的解集。 (3)用三角函数的图象解 sinx>a(cosx>a,tanx>a)的方法 ①作直线 y=a,在三角函数的图象了找出一个周期内(不一定是[0,2π])在直线 y=a 上方的图象; ②确定 sinx=a(cosx=a,tanx=a)的 x 值,写出解集。 注:关于正切函数的不等式 tanx>a(tanx<a),常用图象求解。 ※例题解析※ 例题解析※ 〖例〗求下列函数的定义域: (1)求 y = lg ( sin x ? cos x ) 的定义域; (2)求函数 y = lg ( 2 sin x ? 1) + 1 ? 2 cos x 的定义域。 思路分析: 思路分析:(1)第(1)小题实际就是求使 sinx>cosx 的 x 的集合,可用图象或三角函 数线解决;(2)第(2)小题实际就是求使 ? 函数线解决。 解答: 解答:(1)要使函数有意义,必须使 sinx-cosx>0
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

? 2sin x ? 1 > 0 成立的 x 的值,可用图象或三角 ?1 ? 2 cos x ≥ 0

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

方法一:利用图象。在同一坐标系中画出[0,2π]上 y=sinx 和 y=cosx 的图象,如图所

示: 在[0,2π]内,满足 sinx=cosx 的 x 为

π
4



5π ,再结合正弦、余弦函数的周期是 2π, 4

所以定义域为 ? x |

? ?

π
4

+ 2k π < x <

5π ? + 2kπ , k ∈ Z ? 4 ?

方法二、利用三角函数线,如图, 余弦线,要使 sinx>cosx,即 MN>OM,则

,MN 为正弦线,OM 为

π 5π <x< (在[0,2π ]内) 。∴定义域为 4 4

5π ? π ? + 2k π , k ∈ Z ? ? x | + 2k π < x < 4 ? 4 ?

π π )>0,将 x- 视为一个整体,由正弦函数 y=sinx 的图象和 4 4 π π 5π 性 质 可 知 2k π < x< π +2k π , 解 得 2k π + <x< +2k π ,k ∈ Z. ∴ 定 义 域 为 4 4 4
方法三:sinx-cosx= 2 sin(x-

5π ? π ? + 2k π , k ∈ Z ? ? x | + 2k π < x < 4 ? 4 ?

1 ? ?sin x > 2 2sin x ? 1 > 0 ? ? ,即 ? ,解得 (2)要使函数有意义,必须有 ? ?1 ? 2 cos x ≥ 0 ?cos x ≤ 1 ? ? 2 5 ?π ? 6 + 2 kπ < x < 6 π + 2 kπ π 5π ? k ∈ Z ,∴ + 2kπ ≤ x < + 2kπ (k ∈ Z ) 故所求函数的定义 ? π 5 3 6 ? + 2 kπ ≤ x ≤ π + 2 k π ?3 3 ?

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

域为 ?

5π ?π ? + 2 kπ , + 2k π ? ( k ∈ Z ) 6 ?3 ?

2、三角函数单调区间的求法 、 ※相关链接※ 相关链接※ (1)准确记忆三角函数的单调区间是求复合三角函数单调区间的基础; (2)形如 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间,基本思路是把ωx+φ看作一 个 整 体 , 由 ?

π
2

+ 2k π ≤ ω x + φ ≤

π
2

+ 2 kπ ( k ∈ Z ) 求 得 函 数 的 增 区 间 , 由

π
2

+ 2 kπ ≤ ω x + φ ≤

3π + 2kπ ( k ∈ Z ) 求得函数的减区间。 2

(3) 形如 y=Asin(-ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数, 可先利用诱导公式把 x 的系数变为正数, 得到 y=-Asin(ωx-φ),由 ?

π
2

+ 2k π ≤ ω x ? φ ≤

π
2

+ 2kπ ( k ∈ Z ) 得到函数的减区间,由

π
2

+ 2 kπ ≤ ω x ? φ ≤

3π + 2kπ ( k ∈ Z ) 得到函数的增区间。 2

对于函数 y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)产单调区间的求法与 y=Asin(ωx+φ)的单 注: 调区间的求法相同。 ※例题解析※ 例题解析※ 〖例〗(1)求函数 y = sin( (2)求 y = 3 tan(

π
3

? 2 x ), x ∈ [ ?π , π ] 的单调递减区间;

π

x ? ) 的周期及单调区间。 6 4

思路解析: 思路解析:题目所给解析式中 x 的系数都为负,把 x 的系数变为正数,解相应不等式求 单调区间。 解答: 由 ( 解答: 1) y = sin( 得

π

5π + kπ , k ∈ Z , 又 x ∈ [- π , π ], ∴ - π ≤ x ≤ 12 12 7 π 5π 11 π , ? π ≤ x ≤ π .∴函数 y = sin( ? 2 x ), x∈[-π,π]的单调递减区 ? π ,? ≤ x ≤ 12 12 12 12 3 7 π 5 11 间为[-π, ? π ],[ ? , π ],[ π ,π]。 12 12 12 12 ? + kπ ≤ x ≤
( 2 ) 函 数 y = 3 tan(

π

由 ? 2 x ), 得 y = ? sin(2 x ? ) , ? + 2kπ ≤ 2 x ? ≤ + 2kπ 3 3 2 3 2

π

π

π

π

π

x ? ) 的 周 期 T= 6 4

π x = 4π 。 由 y = 3 tan( ? ) 得 1 6 4 ? 4 π
+ kπ <
x π π ? < + kπ 4 6 2


x π y = ?3 tan( ? ), 4 6



?

π
2

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

4 8 π x ? π + 4kπ < x < π + 4kπ , k ∈ Z , ∴ 函 数 y = 3 tan( ? ) 的 单 调 递 减 区 间 为 3 3 6 4

8 ? 4 ? ? ? π + 4 kπ , π + 4 kπ ? k ∈ Z 。 3 ? 3 ?
3、三角函数的值域与最值 、 〖例 1〗已知函数 f ( x ) = 2a sin(2 x ? 〗 最小值为-5,求 a 和 b 的值。 思路解析: 思路解析:求出 2 x ?

π

? π? ) + b 的定义域为 ?0, ? ,函数的最大值为 1, 3 ? 2?

π
3

的范围 → a>0 时,利用最值求 a、b → a<0,利用最值求 a、b

解答:∵0≤x≤

π
2

,∴ ?

π
3

≤ 2x ?

π

2 3 π ≤ π ,∴ ? ≤ sin(2 x ? ) ≤ 1 , 若 a>0 ,则 3 3 2 3

?a = 12 ? 6 3 ?a = ?12 + 6 3 ?2a + b = 1 ? 2 a + b = ?5 ? ? ? ? , 解得 ? ; a<0,则 ? 若 , 解得 ? 。 ? ?? 3a + b = ?5 ?? 3a + b = 1 ?b = ?23 + 12 3 ?b = 19 ? 12 3 ? ? ? ?
综上可知, a = 12 ? 6 3 , b = ?23 + 12 3 或 a = ?12 + 6 3 , b = 19 ? 12 3 注:解决此类问题,首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出 y=Asin(ωx+ φ)或 y=Acos(ωx+φ)的最值,再由方程的思想解决问题。 〖例 2〗求函数 y = 〗

3 ? cos x 的值域 2 ? cos x

思路解析: 思路解析:(1)因 x∈R 时,cos∈[-1,1],可利用分离参数法求解; (2)利用 cosx 的有界性,把 cosx 用 y 表示出来解。 解答: 方法一: 函数的定义域为 R, y=1+ 解答: 有最大值 3,此时 ymin = 1 + 的值域为[

1 ,∵-1≤cosx≤1,∴当 cosx=-1 时, 2-cosx 2 ? cos x

1 4 = ;当 cosx=1 时,2-cosx 有最小值 1,此时 ymax = 2 ,∴函数 3 3

4 ,2]。 3 2y ? 3 2y ?3 3 ? cos x 解出 cosx 得 cos x = 。 ∵-1≤cosx≤1,∴ ?1 ≤ ≤ 1, 2 ? cos x y ?1 y ?1

方法二: y = 由

即|

2y ?3 |≤ 1 ,也即 | 2 y ? 3 |≤| y ? 1| ( y ≠ 1), 两边同时平方得 (2 y ? 3) 2 ≤ ( y ? 1)2 ( y ≠ 1) , y ?1 4 4 ≤ y ≤ 2 ,∴函数的值域为[ ,2] 3 3

即 3 y 2 ? 10 y + 8 ≤ 0( y ≠ 1), ∴(y-2)(3y-4)≤0,∴ 注:求三角函数的值域主要有三条途径:

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

(1) sinx 或 cosx 用所求变量 y 来表示, sinx=f(y),再由|sinx|≤1 得到一个关于 y 的 将 如 不等式|f(y)|≤1,从而求得 y 的取值范围; (2) y 用 sinx 或 cosx 来表示, 将 或配方或换元或利用函数的单调性或基本不等式来确 定 y 的取值范围; (3)利用数形结合或不等式法求解。 在解答过程中,注意化归思想的应用以及应用过程中的等价转化。 四、函数 y = A sin(ω x + ? ) 的图象及三角函数模型的简单应用 1、函数 y = A sin(ω x + ? ) 的图象 、 ※相关链接※ 相关链接※ (1)“五点作图法” ) 五点作图法” 一般令 wx + φ = 0, ①当画函数 y = A sin(ω x + ? ) 在 x∈R 上的图象时, 即可得到所画图象的特殊点坐标,其中横坐标成等差数列,公差为

π

3 , π , π , 2π , 2 2

T ; 4

②当画函数 y = A sin(ω x + ? ) 在某个指定区间上的图象时,一般先求出 ω x + ? 的范 围,然后在这个范围内,选取特殊点,连同区间的两个端点一起列表。 (2)图象变换法 ) ⅰ、平移变换 ①沿 x 轴平移,按“左加右减”法则; ②沿 y 轴平移,按“上加下减”法则。 ⅱ、伸缩变换 ①沿 x 轴伸缩时,横坐标 x 伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的 变); ②沿 y 轴伸缩时,纵坐标 y 伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来的 A 倍(横坐标 x 不 变)。 注:在实际画图象时,我们一般用“五点作图”法,而不使用图象变换法。 ※例题解析※ 例题解析※

1

ω

倍(纵坐标 y 不

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

2 2 〖例〗已知函数 f ( x) = cos x ? 2sin x cos x ? sin x 。

(1)在给定的坐标系中,作出函数 f ( x ) 在区间 [ 0, π ] 上的图象 (2)求函数 f ( x ) 在区间 [ ?

π
2

, 0] 上的最大值和最小值。

思路解析: 思路解析:(1)把 f ( x ) 化简为 f ( x ) =Acos(ωx+φ)的形式,然后列表,画图象;(2) 先求出ωx+φ在 [ ?

π
2

, 0] 上的范围,然后根据单调性求解。

2 2 解答: 解答:(1) f ( x) = cos x ? 2sin x cos x ? sin x =cos2x-sin2x= 2 cos(2x+

π
4

).

列表: 2x+ x

π
4

π
4
0 1

π π
2

π

8
0

3 π 8

3 π 2 5 π 8
0



9 π 4
π 1

7 π 8

f ( x)
图象如图:

? 2

2

(2)∵-

π
2

≤x≤0,∴ ? π ≤2x+

最小值, f ( x ) min=-1,当 2x+ [-

π

3 4

π
4



π
4

,∴当 2x+

π
4

= ? π ,即 x=-

π
2

4

=0,即 x= ?

π
8

3 4

π
2

时, f ( x ) 有

时, f ( x ) 有最大值, f ( x ) max= 2 ,即 f ( x ) 在

,0]上的最小值为-1,最大值为 2 。 2、函数 y = A sin(ω x + ? ) +b 的解析式 、

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

※相关链接※ 相关链接※ 确定 y = A sin(ω x + ? ) +b 的解析式的步骤: (1)求 A,b 确定函数的最大值 M 和最小值 m,则 A= (2)求ω,确定函数的周期 T,则 ω = (3)求 ? ,常用方法有: ⅰ、代入法:把图象上的一个已知点代入(此时,A、ω、b 已知)或代入图象与直线 y=b 的交点求解。(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上); ⅱ、五点法:确定 ? 值时,往往以寻找“五点法”中的第一零点( ? 口。具体如下: 第一点(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ω x + φ = 0 ;第二点(即图象的“峰点”) 为ωx +φ =

2π ; T

M ?m M +m ,b= 。 2 2

? ,0)作为突破 ω

π
2

;第三点(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ω x + φ = π ;第四点(即图象的

“谷点”)为 ω x + φ =

3 π ;第五点为 ω x + φ = 2π 2

注:当不能确定周期 T 时,往往根据图象与 y 轴的交点,先求 φ . ※例题解析※ 例题解析※ 〖 例 〗 已 知 函 数 f(x)=Asin( ω x+ φ )+b(ω >0,|φ |<

π
2

)的 图 象 的 一 部 分 如 图 所 示 :

(1)求 f(x)的表达式; (2)试写出 f(x)的对称轴方程。 思路解析: 思路解析:(1)函数的最大值为 3,最小值为-1,周期 T=π,从而 A,b,ω可求,再 代入(

π
6

,3),可求φ值。(2)根据 y=sinx 的对称轴方程得到所求的对称轴方程。

解 答 : ( 1 ) 由 图 象 可 知 , 函 数 的 最 大 值 M=3 , 最 小 值 m=-1 , 则

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

A=

3 ? ( ?1) 3 + ( ?1) 2 π 2π 2π = 2, b = = 1 , 又 T= 2( π ? ) = π , ∴ ω = = =2 ,∴ 2 2 3 6 T π

f(x)=2sin(2x+φ)+1,将 x= =

π

π
6

+2kπ,k∈Z,∴φ= (2)由 2x+

π
6

6

,y=3 代入上式得 sin(

π

,∴f(x)=2sin(2x+

π
6

3

+φ)=1,∴

π

3

+φ=

π

2

+2kπ,k∈Z,即φ

)+1.

π π
6
=

x=

π

2

+kπ得 x=

π

1 π kπ, k∈Z,∴f(x)=2sin(2x+ )+1 的对称轴方程为 6 2 6
+

1 kπ, k∈Z。 6 2
+ 3、函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的综合应用 、 ω 的图象与性质的综合应用 ※相关链接※ 相关链接※ (1)已知函数的图象变换求解析式 ) ①左右平移变换:把函数 y=Asin(ωx+φ)的图象向左(右)平移 k 个单位,得到的图象

解析式为 y=Asin[ω(x±k)+φ]. ②伸缩变换:把函数 y=Asin(ωx+φ)的图象上各点的横坐标变为原来的 M 倍,纵坐标不 变,得到的函数的图象解析式为 y=Asin[ω(

x )+φ]。 M

(2)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的对称问题 ) ω 的图象的对称问题 ①函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线 x=xk(其中ωxk+φ=kπ+ 形,也就是说过波峰或波谷处且与 x 轴垂直的直线为其对称轴。 ②函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于点(xj,0)(其中ωxj+φ=kπ,k∈Z)成中心对称图形, 也就是说函数图象与 x 轴的交点(平衡位置点)是其对称中心。 ※例题解析※ 例题解析※ 〖例〗已知函数 f(x)= 3 sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π, ω>0)为偶函数,且函数 y=f(x) 图象的两相邻对称轴间的距离为 (1)求 f(

π
2

,k∈Z)成轴对称图

π π )的值;(2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位后,再将得到的图象 8 6

π 。 2

上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递 减区间。 思路解析: 思路解析:(1)化简 f(x) → 由奇偶性和周期性求ω和 φ → 求 f( 图象 → 得到 g(x)的解析式 → 求 g(x)的单调减区间。

π );(2)变换 f(x)的 8

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

解答: 解答:(1)f(x)=

3 sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=2[

3 1 sin(ωx+φ)cos(ωx+φ)]=2sin(ω 2 2

x+φx+φ-

π π
6

).因为 f(x)为偶函数,所以对 x∈R,f(-x)=f(x)恒成立,因此,sin(-ωx+φ),即-sinωxcos(φ-

π
6

)=sin(ω

π
6

6

)+cosωxsin(φ-

π
6

)=sinωxcos(φ-

π
6

)+cosωxsin(φ-

π
6

),整理得 sinω

xcos(φ-

π
6

)=0,因为ω>0.且 x∈R,所以 cos(φ-

π
6

)=0,又因为 0<φ<π,故 φ-

π
6

=

π
2

,所以

f(x)=2sin( ω x+ f(

π
2

)-2cos ω x. 由 题 意 得



π
8

)=2cos

π
4

ω

= 2i

π
2

, 所 以 ω =2 , 故 f(x)=2cos2x, 因 此

= 2.

(2)将 f(x)的图象向右平移

π
6

个单位后,得到 f(x-

π
6

)的图象,再将所得图象上各点的

横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 4 倍 , 纵 坐 标 不 为 , 得 到 f( f(

x π x π x π - )=2cos[2( - )]=2cos( ? ), 4 6 4 6 2 3 x π 当 2kπ≤ ? ≤2kπ+π(k∈Z), 2 3 2 8 即 4 kπ+ π ≤x≤4 kπ+ π (k∈Z)时,g(x)单调递减。 3 3 2 8 因此 g(x)的单调递减区间为[4 kπ+ π ,4 kπ+ π ](k∈Z)。 3 3
4、函数 y=Asin(ωx+φ)+b 模型的简单应用 、 ω

x π ) 的 图 象 。 所 以 g(x)= 4 6

〖例〗如图为一个缆车示意图,该缆车半径为 4.8m,圆上最低点与地面距离为 0.8m,60 秒转动一圈,图中 OA 与地面垂直,以 OA 与地面垂直,以 OA 为始边,逆时针转动 θ 角到 OB,设 B 点与地面距离是 h . (1)求 h 与 θ 间的函数关系式; (2)设从 OA 开始转动,经过 t 秒后到达 OB,h 与之间的函数关系式,并求缆车到达 最高点时用的最少时间是多少? 思路分析: (1)以圆心O为原点建立平面直角坐标系,利用三角函数的定义求出点B 思路分析: 的纵坐标,则 h 与 θ 之间的关系可求. (2)把 θ 用 t 表示出来代入 h 与 θ 的函数关系即可. 解答: 解答:(1)以圆心O为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

则以Ox 为始边, OB为终边的角为 θ ∴h=5.6+4.8sin( θ -

π
2

,故点B的坐标为 (4.8cos( θ -

π
2

),4.8sin( θ -

π
2

)) ,

π
2

).

(2)点A在圆上转动的角度是 h=5.6+4.8sin(

π
30

,故 t 秒转过的弧度数为

π
30

t,∴ t-

π
30

t-

π
2

).t∈[0,+∞).到达最高点时,h=10.4m,由 sin(

π
30

t-

π
2

)=1 得

π

π
2

π
2

30



,∴t=30, ∴缆车到达最高点时,用的时间最少为 30 秒. 注:①面对实际问题时,能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技能.这个过程并不

神秘,比如本例题,在读题时把问题提供的” 条件”逐条地“翻译”成“数学语言”,这个过程 就是数学建模的过程,在高考中,将实际问题转化为与三角函数有关的问题的常见形式有: 求出三角函数的解析式;画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题。 ②将实际问题转化为三角函数有关问题应注意以下几点: 审题:把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”; 描点画图,建立数学模型; 求出三角函数解析式; 利用函数的性质进行解题。

五、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 两角和与差的正弦、 与差的正弦 1、三角函数式的化简、求值 、三角函数式的化简、 ※相关链接※ 相关链接※ (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则 ①一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分, 从而正确使用公式;
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

②二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化 弦”; ③三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们打到变形的方向,常见的有“遇到 分式要通分”等。 (2)根式的化简常常需要升幂去根号,在化简中注意角的范围以确定三角函数值的正 负号; (3)对于给角求值问题,往往所给角都是非特殊角,解决这类问题的基本思路有: ①化为特殊角的三角函数值; ②化为正、负相消的项,消去求值; ③化分子、分母出现公约数进行约分求值。 ※例题解析※ 例题解析※

(1 + sin θ + cos θ ) ? sin ?
〖例〗(1)化简 〗(

θ

? 2 + 2 cos θ

θ? ? cos ? 2 2? (0 < θ < π )

(2)求值

1 + cos 200 ? 1 ? ? sin100 ? ? tan 50 ? 0 0 2sin 20 ? tan 5 ?

思路解析: 思路解析:(1)从把角 θ 变为

θ
2

入手,合理使用公式;

(2)应用公式把非 10 角转化为 10 的角,切化弦。 解答: 解答:(1)原式=

(2 sin

θ
2

cos

θ

+ 2 cos 2 )(sin ? cos ) cos (sin 2 ? cos 2 ) ? cos icos 2 2 2 2 = 2 2 2 = 2 2 θ θ θ cos cos 4 cos 2 2 2 2

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

因为 0< θ <π,所以 0 < 所以原式=-cosθ

θ
2

<

π
2

, 所以 cos

θ
2

>0

2 cos 2 10 cos 5 sin 5 ? sin10 ( ? ) 2 × 2 sin10 cos10 sin 5 cos 5 (2)原式 cos10 cos 2 5 ? sin 2 5 cos10 cos10 = ? sin10 i = ? sin10 i 1 2sin10 sin 5 cos 5 2sin10 sin10 2 =

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

=

cos10 cos10 ? 2sin 20 cos10 ? 2sin(30 ? 10 ) ? 2 cos10 = = 2sin10 2 sin10 2sin10

1 3 cos10 ? 2( cos10 ? sin10 ) 3 sin10 3 2 2 = = = 2sin10 2 sin10 2
2、三角函数的给值求值问题 、 ※相关链接※ 相关链接※ 三角函数的给值求值问题 解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示。 (1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示两个“已知角”的和或差的形式; (2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系, 然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”。 (3)常见的配角技巧

a 2 a = (a + β ) ? β a = 2? a=

a = β ? (β ? a) 1 ?( a + β ) + ( a ? β ) ? ? 2? 1 β = ?( a + β ) + ( a ? β ) ? ? 2? π π ?π ? + a = ? ? ? a? 4 2 ?4 ?

※例题解析※ 例题解析※ 已知 0 < β < 〖例〗 值。 思 路 解 析 : 比 较 题 设 中 的 角 与 待 求 式 中 的 角 , 不 难 发 现

π

3 π 3 3 5 求 < α < π , cos( ? α ) = ,sin( π + β ) = , sin(α + β ) 的 4 4 4 5 4 13

(

3π π π π π + β ) ? ( ? α ) = + (α + β ) 或 将 cos( ? α ) 变 化 为 sin( + α ) , 再 由 4 4 2 4 4

π ? 3π ? ( +α) + ? + β ? = π + (α + β ) 求解。 4 ? 4 ?
解 答 : 方 法 一 : ∵

π
4

<α <

3π 3π π π π , ∴? < ?α < ? , ? < ? α < 0. 又 4 4 4 2 4

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

π 4 ?π ? 3 ∵ cos ? ? α ? = ,∴ sin( ? α ) = ? 4 5 ?4 ? 5
∵ sin( 3π 5 + β) = 4 13



又 ∵0 < β <

π
4

,∴

3π 3π < + β < π. 又 4 4

π 3π π ∴ sin(α + β ) = ? cos[ + (α + β )] = ? cos[( + β ) ? ( ? α )] 2 4 4 3π π 3π π = ? cos( + β ) cos( ? α ) ? sin( + β )sin( ? α ) 4 4 4 4 12 3 5 4 36 20 56 = ?( ? ) × ? × ( ? ) = + = 13 5 13 5 65 65 65
方法二: cos(

π

π 3 ? α ) = sin(α + ) = 4 4 5

π 4 < π ,∴ cos(α + ) = ? 2 4 4 5 3π 5 3π 3π ∵ sin( + β ) = , < + β < π, 4 13 4 4 3π 12 ∴ cos( + β ) = ? . 4 13 π 3π ∴ sin(α + β ) = ? sin(α + + β + ) 4 4 π π 3π 3π = ?[sin(α + ) cos( β + ) + sin( β + ) cos α + ] 4 4 4 4 56 = 65


π

<α +

π

3、三角函数的给值求角问题 、 ※相关链接※ 相关链接※ (1)通过先求角的某个三角函数值来求角,在选取函数时,遵照以下原则: ①已知正切函数值,选正切函数; ②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数。若角的范围是 ? 0, 若角的范围是 ( 0, π ) ,选余弦较好;若角的范围为 ( ? (2)解给值求角问题的一般步骤为: ①求角的某一个三角函数值; ②确定角的范围; ③根据角的范围写出所求的角。

? ?

π? ? ,选正、余弦皆可; 2?

π π , ) ,选正弦较好。 2 2

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

※例题解析※ 例题解析※ 〖例 1〗如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角α,β,它们的 〗 终边分别与单位圆交于 A、B 的横坐标分别为 (1)求 tan(α+β)的值; (2)求的α+2β值。 思路解析:由已知得 cosα,cosβ → 求 tanα,tanβ → 求 tan(α+β) → 求 tan(α+2β) 思路解析:

2 2 5 、 10 5

→ 求α+2β的范围 → 求α+2β的值。
解答: 解答:由已知条件得:

2 2 5 7 2 , cos β = .∵α , β 为锐角,∴sinα = 1 ? cos 2 α = , 10 5 10 5 1 sin β = 1 ? cos 2 β = .因此 tan α = 7, tan β = . 5 2 1 7+ tan α + tan β 2 = ?3; (1) tan(α + β ) = = 1 ? tan α ? tan β 1 ? 7 × 1 2 1 2× 2 tan β 2 = 4, (2) ∵ tan 2β = = 2 1 ? tan β 1 ? ( 1 ) 2 3 2 4 7+ 3 = ?1.∵α , β 为锐角,∴ 0 < α + 2β < 3π ,∴α + 2β = 3π . ∴ tan(α + 2β ) = 4 2 4 1? 7 × 3 cos α =
〖例 2〗 〗

已知0 < α <

π
2

,0 < β <

π
2

, 且3sin β = sin(2α + β ), 4 tan

α
2

= 1 ? tan 2

α
2

, 求α + β的值.

思路解析: 思路解析:

由 的关系可求出α的正切值,再据已知β 与2α + β 构造出α + β , 从而可求出α + β的一个 2 三角函数值, 再据α、β的范围求α + β的范围从而确定角α + β。

α

解答: 解答:∵ 4 tan

α
2

= 1 ? tan 2

α
2

, 且1 ? tan 2

α
2

≠ 0.

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

∴ tan α =

2 =1 α 2 1 ? tan 2 2 又 ∵ 3sin β = sin(2α + β ),∴ 3sin[(α + β ) ? α ] = sin[(α + β ) + α ],

2 tan

α

即3sin(α + β ) cos α ? 3cos(α + β ) sin α = sin(α + β ) cos α + cos(α + β ) sin α , ∴ 2sin(α + β ) cos α = 4 cos(α + β ) sin α ,
∵0 < α <

π
2

,0 < β <

π
2

,∴ 0 < α + β < π ,∴ sin(α + β ) ≠ 0, cos α ≠ 0. 2 sin(α + β ) cos α = 4, cos(α + β ) sin α ?1 ?2

∴ cos(α + β ) sin α ≠ 0,∴ 即

tan(α + β ) = 2.∴ tan(α + β ) = 2 tan α = 1 tan α

又∵ 0 < α <

π

2

,0 < β <

π

由 ?1和 ? 2知α + β =

π
4

2

,∴ 0 < α + β < π

注:已知三角函数值求角,一般分两步: ①“恰当”地根据角的范围选择一个三角函数值; ②根据角的范围与三角函数值确定该角的值。 4、三角函数的综合应用 〖例〗已知α、β为锐角,向量 a = (cos α ,sin β ), b = (cos β ,sin β ), c = ( , ? ). (1) 若 a ? b =

1 2

1 2

2 3 ?1 ,a?c = , ,求角 2 β ? α 的值; 2 4

(2) 若 a = b + c ,求 tanα的值。 思路解析:(1)由 a ? b = 思路解析: 三角函数值,进而求出角; (2)由 a = b + c 可求出关于α、β的三角恒等式,利用方程的思想解决问题。 解答:( ) 解答:(1)∵ a ? b = (cos α , sin α ) ? (cos β , sin β ) = cos α cos β + sin α sin β :(

2 3 ?1 ,及 a、 c 的坐标,可求出关于α、β的 b、 ,a?c = 2 4

= cos(α ? β ) =

2 ………………………………………………………………………① 2

1 1 a ? c = (cos α ,sin α ) ? ( , ? ) 2 2
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

1 1 3 ?1 cos α ? sin α = ………………………………………………………………② 2 2 4
又∵ 0 < α <

π
2

,0 < β <

π
2

,∴?

π
2

<α ?β < 6

π
2

.

由①得 α ? β = ±

π
4

,由②得 α =

π

5π 2 。从而 2 β ? α = π 12 3 1 ? ? ?cos β = cos α ? 2 ...............1 ? (2)由a = b + c可得 ? ? sinβ = sinα + 1 .................2? ? ? 2 1 3 (1? ) 2 + (2? ) 2 得 sin α ? cos α = ,∴ 2sin α cos α = 2 4 2sin α cos α 2 tan α 3 = = , 又 ∵ 2sin α cos α = 2 2 sin α + cos α tan α + 1 4 2 ∴ 3 tan α ? 8 tan α + 3 = 0
由α、β为锐角,∴β=

∴ 又α 为锐角, tan α > 0,∴ tan α

8 ± 82 ? 4 × 3 × 3 8 ± 28 4 ± 7 = = 6 6 3

注:(1)已知三角函数值求角,一定要注意角的范围; (2)求解三角函数有关的问题,有时构造等式,用方程的思想解决更简单、实用。

六、简单的三角恒等变换 1、可转化为 y=asinx+bcosx+k 的函数 、 ※相关链接※ 相关链接※ 若函数 f(x) 的解析式通通过三角恒等变换可转化为 y=asinx+bcosx+k 的形式, 则函数 f(x) 的解析式可化为 f(x)= a + b sin(x+ ? )+k(其中 cos ? =
2 2

a a +b
2 2

,sin ? =

b a + b2
2

)的形

式。 注: 解析式与三角函数有关的函数若求函数的周期、 单调区间、 对称轴、 值域等问题时, 一般要转化为 y=Asin(ωx+ ? )+k 的形式。 ※例题解析※ 例题解析※ 〖例〗已知函数 f (t ) =

1? t ? 17π ? , g ( x) = cos x ? f (sin x) + sin x ? f (cos x), x ∈ ? π , 1+ t ? 12 ? ?

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

(1)将函数 g(x)化简成 Asin(ωx+ ? )+B(A>0,ω>0, ? [ 0, 2π ) 的形式; (2)求函数 g(x)的值域。 思路解析: 思路解析:(1)利用平方关系 的变形将根式化为有理式;

(2)利用三角函数的单调性及借助于三角函数的图象确定值域。 解答: 解答:

(1) g ( x) = cos x ?

1 ? sin x 1 ? cos x (1 ? sin x) 2 (1 ? cos x) 2 + sin x ? = cos x ? + sin x ? 1 + sin x 1 + cos x cos 2 x sin 2 x 1 ? sin x 1 ? cos x = cos x ? + sin x ? . cos x sin x

? 17π ? ∵ x ∈ ?π , ,∴ cos x = ? cos x, sin x = ? sin x, ? 12 ? ? 1 ? sin x 1 ? cos x π ∴ g ( x) cos x ? + sin x ? = sin x + cos x ? 2 = 2 sin( x + ) ? 2. ? cos x ? sin x 4
17π 5π π 5π π 5π 5π ,得 < x+ ≤ .令? = x + , 则 <?≤ , 12 4 4 3 4 4 3 3π 5π ? 5π 3π ? ∵ sin ? 在 ? , ? 上为减函数,在[ , ]上为增函数, 2 3 ? 4 2 ? (2)由π < x ≤

又 sin

5π 5π 3π π 5π ? 17π ? ,∴ sin (当x ∈ ? π , 时), < sin ≤ sin( x + ) < sin 3 4 2 4 4 ? 12 ? ?

π π 2 即 ? 1 ≤ sin( x + ) < ? ,∴? 2 ? 2 ≤ 2 sin( x + ) ? 2 < ?3. 4 2 4 故g ( x)的值域为 ? ? 2 ? 2, 3 。 ? ?

)

2、三角函数的证明 、 ※相关链接※ 相关链接※ (1)证明三角恒等式的方法 观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异),从解决某一差异入手(同时消除其他 差异),确定人该等式的哪边证明(也可两边同时化简),当从解决差异方面不易入手时, 可采用转换命题法或用分析法等。 (2)证明三角条件等式的方法 首先观察条件与结论的差异,从解决这一差异入手,确定从结论开始,通过变换,将已 知表达式代入得出结论,或通过变换已知条件得出引进结论,如果这两种方法都证不出来,
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

可采用分析法;如果已知条件含参数,可采用消去参数法;如果已知条件是连比的式子,可 采用换元法等。 ※例题解析※ 例题解析※
2 〖例〗(1)求证: tan x +

1 2(3 + cos 4 x ) = ; 2 tan x 1 ? cos 4 x

(2)已知sinβ =msin(2α +β )(m ≠ 1),求证:tan(α +β )=

1+ m tan α 1? m

思路解析: 思路解析:(1)观察本题(1)左、右两边式子间的差异,若选择“从左证到右”,则 “切化弦”的方法可用;若选择“从右证到左”,则倍角公式应是必用公式; (2)本题(2)一个条件等式的证明,应仔细观察条件与结论的差异,从解决差异入手, 结论中为α+β与α的函数,而已知是β与 2α+β的函数,将β、2α+β用α+β、α表示 解决本题的正确方向。 解答:( )方法一: 解答:(1)方法一: :(

1 1 ? sin 2 2 x sin 2 x cos 2 x sin 4 x + cos 4 x (sin 2 x + cos 2 x)2 ? 2sin 2 x cos 2 x 2 左边 = + = = = 2 2 2 2 1 2 1 2 cos x sin x sin x cos x sin 2 x sin 2 x 4 4 1 1 ? sin 2 2 x 4 + 4 cos 2 2 x 4 + 2(1 + cos 4 x) 2(3 + cos 4 x) 2 = = = = = 右边 1 1 ? cos 4 x 1 ? cos 4 x 1 ? cos 4 x (1 ? cos 4 x) 8 1 2(3 + cos 4 x) ∴ tan 2 x+ = 2 tan x 1 ? cos 4 x

方法二:

2(2 + 1 + cos 4 x) 2(2 + 2 cos 2 2 x) 2(1 + cos 2 2 x) = = 2sin 2 2 x 2sin 2 2 x 4sin 2 x cos 2 x 4 4 (sin 2 x + cos 2 x) 2 + (cos 2 x ? sin 2 x) 2 2 ( sin x + cos x ) = = 2sin 2 x cos 2 x 2sin 2 x cos 2 x 1 = tan 2 x + = 左边 tan 2 x 1 2(3 + cos 4 x) ∴ tan 2 x + = 2 tan x 1 ? cos 4 x 右边=

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

sin[(α + β ) ? α ] = m ? sin[(α + β ) + α ],即 sin (α + β ) cos α ? cos (α + β ) sin α 即(1-m)sin (α + β ) cos α =(1+m)cos (α + β ) sin α . 两边同除以(1-m)cos (α + β ) cos α 得 tan (α + β ) = (1+m) tan α (m ≠ 1),即等式成立。 (1-m) = m[sin (α + β ) cos α + cos (α + β ) sin α ]

(2)由β = (α + β ) ? α , 2α + β = (α + β ) + α 得

3、三角函数式的化简及求值 、 ※相关链接※ 相关链接※ (1)三角函数式的化简 ⅰ、化简的要求 ①能求出值的应求出值; ②尽量使函数种数最少; ③尽量使项数最少; ④尽量使分母不含三角函数; ⑤尽量使被开方数不含三角函数。 ⅱ、化简的方法 弦切互化,异名化同名,异角化同角;降幂或升幂,和差化积、积化和差等。 (2)已知三角函数式的值,求其他三角函数式的值,一般思路为: ⅰ、先化简所求式子; ⅱ观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手); ⅲ将已知条件代入所求式子,化简求值。 ※例题解析※ 例题解析※ 〖 例 〗 已 知

5sin 2

α
2

+ 8sin

α
2

cos

α
2

+ 11cos 2

α
2

3π 1 10 < α < π , tan α + =? . 4 tan α 3





?8
的值

2 sin(α ?

α
2

)

思路解析: 思路解析:化简已知条件 → 化简所求式子,用已知表示所求 → 代入已知求解 → 结论。 解答: 解答:∵ tan α +

1 10 = ? ,∴ 3 tan 2 α + 10 tan α + 3 = 0, tan α 3

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

解得 tan α =-3 或 tan α = ? .

1 3

3π 1 又∵ < α < π ,∴ tan α = ? .又 ∵ 4 3

5sin 2

α
2

+ 8sin

α
2

cos

α
2

+ 11cos 2

α
2

?8

1 ? cos α 1 + cos α + 4sin α + 11i ?8 5i 2 2 ? 2 cos α 5 ? 5cos α + 8sin α + 11 + 11cos α ? 16 = ?2 2 cos α 8sin α + 6 cos α 8 tan α + 6 5 2 = =? 6 ?2 2 cos α ?2 2
注:化简的思路: 化简的思路:

2 sin(α ? ) 2

π

对于和式,基本思想是降次、消项和逆用公式;对于三角分式,基本思路是分子与分母 约分或逆用公式;对于二次根式,注意二倍角公式的逆用。另外,还可以用切割化弦、变量 代换、角度归一等方法。 4、三角函数的应用问题

〖例〗如图,

半圆 O 的直径为 2,A 为直径延长线上一

点,且 OA=2,B 为半圆周上任意一点,以 AB 为一边作等边ΔABC,问点 B 在什么位置时, 四边形 OACB 的面积最大?其最大面积是多少? 思路解析: 思路解析:点 B 的位置可由∠AOB 的大小来确定,取∠AOB 为自变量,则由余弦定理 可求 AB,从而可求 S?ABC ,四边形 OACB 的面积可表示成∠AOB 的函数,再求这个三角函 数的最大值。 解答: 解答:

设∠ABC = α (0 < απ ).在?AOB中,AB 2 = OA2 + OB 2 ? 2OA ? OB cos α = 22 + 12 ? 2 × 2 ×1× cos α = 5 ? 4 cos α ,

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

3 1 (5 ? 4 cos α ).又S ?ABC = OA ? OB sin α = sin α , 4 2 3 5 3 ∴ SOACB = S ?ABC + S ?AOB = (5 ? 4 cos α ) + sin α = sin α ? 3 cos α + 4 4 π 5 3 2 sin(α ? ) + 3 4 π π 2π ∵ 0 < α < π ,∴? < α ? < , 3 3 3 π π 5π ∴当α ? = , 即α = 时,SOACB 取最大值。 3 2 6 ∴ S ?ABC = 故当∠AOB = 5π 5 3 时,四边形OACB的面积最大,其最大面积是2 + 。 6 4

注:用函数法求平面图形面积的最大值或最小值,常以某个变化的角作为自变量,再将 面积 S 表示成这个角的函数,然后将问题转化为求三角函数的最值,其中自变量的取值范 围要根据实际情况而定,求函数的最值可通过三角变换来解决。

【感悟高考真题】 感悟高考真题】
1.(2010 上海文数)18.若△ ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C = 5 :11:13 ,则△ ( 上海文数)

ABC
(A)一定是锐角三角形. (C)一定是钝角三角形. (B)一定是直角三角形. (D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.

解析: 解析:由 sin A : sin B : sin C = 5 :11:13 及正弦定理得 a:b:c=5:11:13

由余弦定理得

cos c =

5 2 + 112 ? 13 2 <0 2 × 5 × 11 ,所以角 C 为钝角

2.( .(2010 浙江理数)(9)设函数 f ( x ) = 4 sin(2 x + 1) ? x ,则在下列区间中函数 f ( x ) 不 浙江理数) .( 存在零点的是 (A)

[ ?4, ?2]

(B)

[ ?2,0]

(C)

[0, 2]

(D)

[ 2, 4]

解析:将 f ( x ) 的零点转化为函数 g ( x ) = 4 sin (2 x + 1)与h( x ) = x 的交点,数形结合可知答 案选 A, 本题主要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点, 突出了对转化思 想和数形结合思想的考察,对能力要求较高,属较难题

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

4π 3.( .(2010 辽宁理数)(5)设 ω >0,函数 y=sin( ω x+ 3 )+2 的图像向右平移 3 个单位后与 辽宁理数) .(
原图像重合,则 ω 的最小值是

π

2 (A) 3

4 (B) 3

3 (C) 2

(D)3

【答案】C 【命题立意】 本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性, 考查了同学们对知 识灵活掌握的程度。

4π 【解析】将 y=sin( ω x+ 3 )+2 的图像向右平移 3 个单位后为 y = sin[ω ( x ? 4π π π 4ωπ 4ωπ ) + ] + 2 = sin(ω x + ? )+2 3 3 3 3 ,所以有 3 =2k π ,即

π

ω=

3k 3k 3 ω= 2 ,又因为 ω > 0 ,所以 k≥1,故 2 ≥ 2 ,所以选 C

f ( x ) = sin(2 x ? ) ? 2 2 sin 2 x 4 4.( .(2010 浙江理数)(11)函数 浙江理数) 的最小正周期是 .(
__________________ .

π

f (x ) =
解析: 解析:

π? 2 ? sin? 2 x + ? ? 2 2 4? ? 故最小正周期为π,本题主要考察了三角恒等变换及

相关公式,属中档题。 5.( .(2010 福建文数)16.观察下列等式: 福建文数) .(
2 ① cos2a=2 cos a -1; 4 2 ② cos4a=8 cos a - 8 cos a + 1; 6 4 2 ③ cos6a=32 cos a - 48 cos a + 18 cos a - 1; 8 6 4 2 ④ cos8a=128 cos a - 256 cos a + 160 cos a - 32 cos a + 1; 10 8 6 4 2 ⑤ cos10a= m cos a - 1280 cos a + 1120 cos a + n cos a + p cos a - 1.

可以推测,m – n + p = 【答案】962



9 【解析】因为 2 = 2 , 8 = 2 , 32 = 2 , 128 = 2 , 所以 m = 2 = 512 ;观察可得 n = ?400 ,

1

3

5

7

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

p = 50 ,所以 m – n + p =962。
【命题意图】本小题考查三角变换、类比推理等基础知识,考查同学们的推理能力等。 6. 2010 浙江理数) ( 浙江理数) (18)(本题满分 l4 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,

已知

cos 2C = ?

1 4

(I)求 sinC 的值; (Ⅱ)当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长. 解析: 解析:本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同事考查运算求解能力。

1 (Ⅰ)解:因为 cos2C=1-2sin C= 4 ,及 0<C<π
2

?

10 所以 sinC= 4 . a c = (Ⅱ)解:当 a=2,2sinA=sinC 时,由正弦定理 sin A sin C ,得
c=4

1 由 cos2C=2cos C-1= 4 ,J 及 0<C<π得
2

?

6 cosC=± 4
由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC,得 b2± 6 b-12=0 解得 所以 b= 6 或 2 6 b= 6 c=4 或 b= 6 c=4

7.(2010 江西理数)17.(本小题满分 12 分) ( 江西理数)

π? ? π? ? f ( x ) = (1 + cot x ) sin 2 x + m sin ? x + ? sin ? x ? ? 4? ? 4 ?。 ? 已知函数

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

(1) 当 m=0 时,求

f ( x)

? π 3π ? ? , ? 在区间 ? 8 4 ? 上的取值范围;
3 5 ,求 m 的值。

(2) 当 tan a = 2 时,

f (a) =

【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三 解析】 角函数化简,考查函数值域,作为基本的知识交汇问题,考查基本三角函数变换,属于中等 题.

解:(1)当 m=0 时,

f ( x ) = (1 +

cos x 1 ? cos 2 x + sin 2 x ) sin 2 x = sin 2 x + sin x cos x = sin x 2

1 π π 3π π 2 = [ 2 sin(2 x ? ) + 1] x ∈[ , ] 2 x ? ∈ [? ,1] 2 4 8 4 ,得 4 2 ,由已知 [0, 1+ 2 ] 2

从而得: f ( x ) 的值域为

(2)

f ( x ) = (1 +

cos x π π ) sin 2 x + m sin( x + ) sin( x ? ) sin x 4 4

1 1 f ( x ) = [sin 2 x + (1 + m) cos 2 x] + 2 2 化简得:
当 tan α = 2 ,得: 代入上式,m=-2.

sin 2a =

2 sin a cos a 2 tan a 4 3 = = cos 2a = 2 2 2 sin a + cos a 1 + tan a 5 , 5,

【考点精题精练】 考点精题精练】
一、选择题 1. (安徽无为中学· 2010 届高三二检) 2 + 2 cos 8 + 2 1 ? sin 8 的简化结果为 ( A.4 cos 4-2sin4 2. B.2sin4 C.2sin4-4 cos 4 D.-2sin4 D )

(安徽无为中学·2010 届高三二检)如果 log π | x ?
2

π
3

|≤ 1 ,那么 sin x 的取值范围是



D



状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

A. [?

1 1 , ] 2 2

B. [ ?

1 1 1 , ) ∪ ( ,1] 2 2 2

C.

1 3 3 1 [? , )∪( ,1] D. [? ,1] 2 2 2 2 12 ,则 sin α = 13 5 12

3.

(湖南长沙一中·2010 届高三月考(文)) α 是第四象限角, cos α = B . A.

5 13

B. ?

5 13

C.

5 12

D. ?

4.

(湖南长沙一中·2010 届高三月考)sin 15°cos 75°+cos 15°sin 105°等于( D ) B. 宁
π
1 2

A.0 5. ( 夏 银

C. 一 中 · 2010

3 2

D.1 高 三 C ) 月 考 ) 已 知





tan(α +

1 sin 2α ? 2 cos 2 α π 等于( ) = ? ,且 < α < π ,则 等于( π 4 2 2 sin(α ? ) 4

A.

2 5 5

B. ?

3 5 10

C. ?

2 5 5

D. ?

3 10 10

6.

( 广 西 桂 林 十 八 中 · 2010 届 高 三 月 考 ) 设 sin α + cos α =

2 , α ∈ ( 0, π ) , 则 3

tan α ? cot α = B
A、

8 2 7

B、 ?

8 2 7

C、

2 4

D、 ?

2 4

7.

(广西桂林十八中·2010 届高三月考)若函数 f ( x ) = (1 + tan x ) cos x, 0 ≤ x <

π
2

,则

f ( x ) 的最大最小值分别为 A
A、 2 和 1 8. 9. (湖南长沙一中·2010 届高三月考(文))若函数 y = cos(ω x + 邻两条对称轴间距离为 A. B、2 和 1 C、2 和 2 D、2 和 3

π
3

) (ω > 0) 的图象相

π
2

,则 ω 等于 C

. C.2 D.4

1 2

B. 12

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

10. (宁夏银川一中·2010 届高三月考)已知函数 y = sin ωx(ω > 0) 在一个周期内的图象如 已知函数
1 π 图所示, 的图象, 的图象( 图所示,要得到函数 y = sin( x + ) 的图象,则需将函数 y = sin ωx 的图象( D ) 2 12 y

1 -π O
π



3π x

A.向右平移

π
12

B.向左平移

π
12

C.向右平移

π
6

D.向左平移

π
6

11. (北京市西城外语学校·2010 届高三测试)函数 f(x)=sin ( D A. ) D. 4π

x x cos 的最小正周期为 4 4

π 2

B.π

C. 2π

12. (广西桂林十八中·2010 届高三月考)函数 y = cos ? 2 x +

? ?

π?

? + 1 的图象 F 按向量 a 平 6?

移到 F ' ,F ' 的函数解析式为 y = f ( x ) , 当 y = f ( x ) 为奇函数时,向量 a 可以等于 D A、 ? ?

? π ? ,1? ? 6 ?

B、 ?

?π ? ,1? ?6 ?

C、 ? ?

? π ? , ?1 ? ? 3 ?

D、?

?π ? , ?1 ? ?3 ?

13. (安徽无为中学 ·2010 届高三二检)为 了得到 y = sin( 2 x +

π
3

) 的图象,只需 将

y = sin 2 x 的图象(
A.向左平移 C.向左平移

C

) B.向右平移 D.向右平移

π π
3

个单位 个单位

π π
3

个单位 个单位

6

6

二、填空题 14. (湖南长沙一中·2010 届高三月考(文))方程 2 cos( x ? 是

π
4

) = 1 在区间 (0, π ) 内的解

7 π . 12

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

15. ( 湖 北 黄 冈 中 学 · 2010 届 高 三 10 月 月 考 ) 已 知 sin(

π
6

?α) =

2π cos( + 2α ) = 3 7 答案: 9 . ? cos(
解析: 所以 cos(

1 ,则 3



2π π π π 1 + 2α ) = 2cos 2 ( + α ) ? 1 cos( + α ) = sin( ? α ) = 3 3 3 6 3 ,且

2π 7 + 2α ) = ? . 3 9

16. (安徽无为中学·2010 届高三二检)已知 x ∈ [0, π ] , sin( x ?

π
4

)=

5 则 cos 2 x = 13,

?

120 169

17. (安徽无为中学·2010 届高三二检)对于以下命题 ①存在 α ∈ (0,

π 4 ) ,使 sin α + cos α = 2 5

②存在区间 ( a, b) 使 y = cos x 为减函数,且 sin x < 0

π π ) 的一条对称轴为直线 x = ? 3 12 π ④ y = cos 2 x + sin( ? x ) 既有最大值、最小值,又是偶函数 2 π π ⑤ y = sin | 2 x ? | 的最小正周期为 6 2
③ y = sin( 2 x ? 以上命题正确的有 三、解答题 17、如图,在平面直角坐标系中,y 轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点 A、B, 试在 x 轴正半轴(坐标原点除外)上求点 C,使∠ACB 取得最大值。 ③④ (填 上所有正确命题的序号)

解答:设 A(0,a),B(0,b),C(c,0)。

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

a?0 a =- 0?c c b?0 b KBC= =- 0?c c b a ? ? (? ) a ?b c c ∴tan∠ACB= = a b ab 1 + (? ) ? (? ) c + c c c
则 KAC= ∵c>0,a>b>0。 ∴a-b>0,c+

ab ≥2 ab c

∴tan∠ACB≤

a?b 2 ab

当且仅当 c=

ab ,即 c= ab 时上式取等号,即当 c 点坐标为( ab ,0)时,∠ACB 取 c
(a>b>0)。

得最大值 arctan

a?b 2 ab

18、(本小题满分 12 分)在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知

c = 2,C =

π . 3

(Ⅰ)若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a,b ; (Ⅱ)若 sin C + sin( B ? A) = 2 sin 2 A ,求 △ ABC 的面积. 本小题主要考查三角形的边角关系, 三角函数公式等基础知识, 考查综合应用三角函 数有关知识的能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ)由余弦定理及已知条件得, a 2 + b 2 ? ab = 4 , 又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以

1 ab sin C = 3 ,得 ab = 4 . ······· 4 分 2

联立方程组 ?

?a 2 + b 2 ? ab = 4, ?ab = 4,

解得 a = 2 , b = 2 . ··············· 6 分

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

(Ⅱ)由题意得 sin( B + A) + sin( B ? A) = 4 sin A cos A , 即 sin B cos A = 2sin A cos A , ······················· 8 分 当 cos A = 0 时, A =

π π 4 3 2 3 ,B = ,a = ,b = , 2 6 3 3

当 cos A ≠ 0 时,得 sin B = 2sin A ,由正弦定理得 b = 2a , 联立方程组 ?

?a 2 + b 2 ? ab = 4, ?b = 2a,

解得 a =

2 3 4 3 ,b = . 3 3

所以 △ ABC 的面积 S =

1 2 3 . ················· 12 分 ab sin C = 2 3

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。


高三数学一轮精品复习学案:第三章三角函数、解三角形(....doc

2012 版高三数学一轮精品复习学案:第三章三角函数解三 角形单元总结与测试【

(教案)高三数学一轮 3.1三角函数、解三角形精品复习学案.doc

2012 版高三数学一轮精品复习学案:第三章 三角函数解三角形 〖知识特点〗 1、三角函数是主要的初等函数之一,是描述周期现象的重要函数模型,这与向量、不等式、...

2012版高三数学一轮精品复习学案:第三章三角函数、解三角.doc

2012 版高三数学一轮精品复习学案:第三章三角函数解三 角形 单元总结与测试

高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形31任意角和....doc

高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形31任意角和弧度制及任意角的三角函数课时跟踪检测理(含答案)_数学_初中教育_教育专区。3.1 任意角和弧度制及任意角的...

版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形31任意角和弧....doc

版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形31任意角和弧度制及任意角的三角函数学案理(数学教案) - 3 .1 任意角和弧度制及任意角的三角函数 [知识梳理] 1....

版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形31任意角和弧....doc

版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形31任意角和弧度制及任意角的三角函数学案文(数学教案) - 3 .1 任意角和弧度制及任意角的三角函数 [知识梳理] 1....

...数学一轮复习名师名校精品教案第三章 三角函数、解....doc

2016年高考数学一轮复习名师名校精品教案第三章 三角函数解三角形_数学_高中教育_教育专区。2016年高考数学一轮复习名师名校精品教案 ...

(教案)高三数学一轮 3.2 解三角形精品复习学案.doc

2012 版高三数学一轮精品复习学案:第三章三角函数解三角形 3.2 解三角形 【高考目标导航】 一、正弦定理和余弦定理 1、考纲点击 掌握正弦定理、余弦定理,并...

2012版高三数学一轮精品复习学案:3.2解三角形.doc

2012版高三数学一轮精品复习学案:3.2解三角形 - 2012 版高三数学一轮精品复习学案:第三章三角函数解三角形 3.2 解三角形 【高考目标导航】 一、正弦定理和...

2012版高三数学一轮学案:第三章三角函数、解三角形(单....doc

2012 版高三数学一轮精品复习学案:第三章三角函数解三 角形单元总结【章节知

2018届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第四....doc

2018届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第四节三角函数的图象与性质学案文_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第四节 三角函数的图象与性质 1.能画出 ...

2019届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形学案理.doc

2019届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形学案理 - 第三章 三角函数解三角形 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 1.角的概念的推广 (1)定义:...

2018届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第一....doc

2018届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数学案文_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第一节 任意角和弧度制及...

2012版高三数学一轮精品复习学案:3.1三角函数.doc

2012 版高三数学一轮精品复习学案:第三章 角形 三角函数解三 〖知识特点〗 1、三角函数是主要的初等函数之一,是描述 周期现象的重要函数模型,这与向量、不等...

2019版高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第20....doc

2019版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第20讲三角函数的图象与性质学案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第 20 讲 三角函数的图象与性质 考纲要求 1...

版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第20讲三角....doc

版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第20讲三角函数的图象与性质学案(数学教案) - 第 20 讲 与性质 三角函数的图象 考纲要求 1.能画出 y=sin x,y=...

...版高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形31导数....doc

(浙江专用)2018 版高考数学大一轮复习 第三章 三角函数解三角 形 3.1 导数的概念及运算教师用书 1.导数与导函数的概念 (1)一般地,函数 y=f(x)在 x=x0...

全国版版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形31任....doc

全国版版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形31任意角和蝗制及任意角的三角函数课时提升作业理09010145 - 任意角和弧度制及任意角的三角函数 (20 分钟 一、...

届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形学案理(数学....doc

届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形学案理(数学教案) - 第三章 三角函数解三角形 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 1.角的概念的推广 (1...

2019版高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第....doc

2019版高考数学一轮复习 第三章 三角函数解三角形 第20讲 三角函数的图象与性质学案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第 20 讲 与性质 三角函数的图象 ...