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高中数学人教a版必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 学业分层测评11 word版含答案

时间:2018-03-27


学业分层测评(十一)
(建议用时:45 分钟) [达标必做] 一、选择题 1.直线 a∥平面 α,α 内有 n 条直线交于一点,那么这 n 条直线中 与直线 a 平行的( A.至少有一条 C.有且只有一条 ) B.至多有一条 D.没有

【解析】 过 a 和平面内 n 条直线的交点只有一个平面 β,所以平 面 α 与平面 β 只有一条交线,且与直线 a 平行, 这条交线可能不是这 n 条直线中的一条也可能是.故选 B. 【答案】 B 2.设 a,b 是两条直线,α,β 是两个平面,若 a∥α,a?β,α∩β =b,则 α 内与 b 相交的直线与 a 的位置关系是( A.平行 C.异面 B.相交 D.平行或异面 )

【解析】 条件即为线面平行的性质定理,所以 a∥b, 又 a 与 α 无公共点,故选 C. 【答案】 C 3.下列命题中不正确的是( )

A.两个平面 α∥β,一条直线 a 平行于平面 α,则 a 一定平行于平 面β B.平面 α∥平面 β,则 α 内的任意一条直线都平行于平面 β C.一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面,那么三角形 所在平面与这个平面平行

D. 分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面 直线 【解析】 选项 A 中直线 a 可能与 β 平行,也可能在 β 内,故选 项 A 不正确;三角形两边必相交,这两条相交直线平行于一个平面, 那么三角形所在的平面与这个平面平行,所以选项 C 正确;依据平面 与平面平行的性质定理可知,选项 B,D 也正确,故选 A. 【答案】 A

4.如图 2221,四棱锥 PABCD 中,M,N 分别为 AC,PC 上的 点,且 MN∥平面 PAD,则( )

图 2221 A.MN∥PD B.MN∥PA C.MN∥AD D.以上均有可能 【解析】 ∵MN∥平面 PAD,MN?平面 PAC,平面 PAD∩平面 PAC=PA, ∴MN∥PA. 【答案】 B 5.设平面 α∥平面 β,A∈α,B∈β,C 是 AB 的中点,当点 A、B 分别在平面 α,β 内运动时,动点 C( ) 【导学号:09960067】 A.不共面 B.当且仅当点 A、B 分别在两条直线上移动时才共面

C.当且仅当点 A、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面 D.无论点 A,B 如何移动都共面 【解析】 无论点 A、B 如何移动,其中点 C 到 α、β 的距离始终 相等,故点 C 在到 α、β 距离相等且与两平面都平行的平面上. 【答案】 二、填空题 6.(2016· 芜湖高一检测)如图 2222,正方体 ABCDA1B1C1D1 中, AB=2,点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上,若 EF∥平面 AB1C,则线 段 EF 的长度等于________. D

图 2222 【解析】 因为 EF∥平面 AB1C,EF?平面 ABCD, 平面 AB1C∩平面 ABCD=AC, 所以 EF∥AC.又点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上, 1 所以点 F 是 CD 的中点,所以 EF=2AC= 2. 【答案】 2

7.如图 2223 所示,直线 a∥平面 α,A?α,并且 a 和 A 位于平 面 α 两侧,点 B,C∈a,AB、AC 分别交平面 α 于点 E,F,若 BC=4, CF=5,AF=3,则 EF=________.

图 2223

【解析】

EF 可看成直线 a 与点 A 确定的平面与平面 α 的交线,

∵a∥α,由线面平行的性质定理知,BC∥EF,由条件知 AC=AF+CF =3+5=8. AF×BC 3×4 3 EF AF 又BC=AC,∴EF= AC = 8 =2. 3 【答案】 2 三、解答题 8.如图 2224,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,M 是 A1C1 的中点,平 面 AB1M∥平面 BC1N,AC∩平面 BC1N=N. 求证:N 为 AC 的中点. 【导学号:09960068】

图 2224 【证明】 因为平面 AB1M∥平面 BC1N, 平面 ACC1A1∩平面 AB1M=AM, 平面 BC1N∩平面 ACC1A1=C1N, 所以 C1N∥AM,又 AC∥A1C1, 所以四边形 ANC1M 为平行四边形, 1 1 所以 AN=C1M=2A1C1=2AC, 所以 N 为 AC 的中点. 9.如图 2225,平面 EFGH 分别平行于 CD,AB,E,F,G,H 分别在 BD,BC,AC,AD 上,且 CD=a,AB=b,CD⊥AB.

(1)求证:EFGH 是矩形. (2)设 DE=m,EB=n,求矩形 EFGH 的面积.

图 2225 【解】 BCD=EF, 所以 CD∥EF.同理 HG∥CD, 所以 EF∥HG. 同理 HE∥GF,所以四边形 EFGH 是平行四边形. 由 CD∥EF,HE∥AB,所以∠HEF 为 CD 和 AB 所成的角. 又因为 CD⊥AB,所以 HE⊥EF. 所以四边形 EFGH 是矩形. (2)由(1)可知在△BCD 中,EF∥CD,DE=m,EB=n, EF BE n 所以CD=DB.又 CD=a,所以 EF= a. m+n HE DE 由 HE∥AB,所以 AB =DB. m 又因为 AB=b,所以 HE= b. m+n 又因为四边形 EFGH 为矩形, 所以 S 矩形 EFGH=HE· EF= m n mn b· a= ab. m+n m+n ?m+n?2 [自我挑战] 10.对于直线 m、n 和平面 α,下列命题中正确的是( A.如果 m?α,n?α,m、n 是异面直线,那么 n∥α ) (1)证明:因为 CD∥平面 EFGH,而平面 EFGH∩平面

B.如果 m?α,n?α,m、n 是异面直线,那么 n 与 α 相交 C.如果 m?α,n∥α,m、n 共面,那么 m∥n D.如果 m∥α,n∥α,m、n 共面,那么 m∥n 【解析】 对于 A,如图(1)所示,此时 n 与 α 相交,故 A 不正确; 对于 B,如图(2)所示,此时 m,n 是异面直线,而 n 与 α 平行,故 B 不正确;对于 D,如图(3)所示,m 与 n 相交,故 D 不正确.故选 C.

图(1) 【答案】 C

图(2)

图(3)

11.如图 2226,三棱柱 ABCA1B1C1 中,底面是边长为 2 的正三 角形,点 E,F 分别是棱 CC1,BB1 上的点,点 M 是线段 AC 上的动点, EC=2FB=2,当点 M 在何位置时,BM∥平面 AEF. 【导学号:09960069】

图 2226 【解】 如图,取 EC 的中点 P,AC 的中点 Q,连接 PQ,PB, BQ,则 PQ∥AE.

因为 EC=2FB=2, 所以 PE=BF.所以四边形 BFEP 为平行四边形, 所以 PB∥EF.又 AE,EF?平面 AEF,PQ,PB?平面 AEF, 所以 PQ∥平面 AEF,PB∥平面 AEF. 又 PQ∩PB=P,所以平面 PBQ∥平面 AEF.又 BQ?平面 PBQ,所 以 BQ∥平面 AEF.故点 Q 即为所求的点 M,即点 M 为 AC 的中点时, BM∥平面 AEF.


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