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【全程复习方略】2013-2014版高中数学 第二章 2.3.2 离散型随机变量的方差课件 新人教A版选修2-3_图文

时间:2014-05-08

2.3.2 离散型随机变量的方差

一、方差、标准差的定义及方差的性质

1.方差及标准差的定义
设离散型随机变量X的分布列为 X P x1 p1 x2 p2
n

? ?
x ?E X
2

xi pi
?p

? ?

xn pn

? i ? ?? i ? (1)方差 D ? X ? ? _______________ . i ?1
D(X) (2)标准差为 ______.

2.方差的性质
a2D(X) D(aX+b)=______.

判断:(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)离散型随机变量的方差越大,随机变量越稳定.( )

(2)若a是常数,则D(a)=0.(

)

(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均 程度.( )

提示:(1)错误.离散型随机变量的方差越大,随机变量越不
稳定.

(2)正确.因为E(a)=a,所以D(a)=0.
(3)正确.由离散型随机变量的方差的几何意义可知,其反映

了随机变量偏离于期望的平均程度.
答案:(1)× (2)√ (3)√

二、两个常见分布的方差
p(1-p) 1.若X服从两点分布,则D(X)=_______. np(1-p) 2.若X~B(n,p),则D(X)=________. 思考:两点分布的方差同二项分布的方差存在什么关系?

提示:由于两点分布是特殊的二项分布,故两点分布的方差
同二项分布的方差存在特殊与一般的关系 .

【知识点拨】

1.对随机变量X的方差、标准差的理解
(1)随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同

的.
(2)随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳定

性和波动、集中与离散程度.
(3)D(X)越小,稳定性越高,波动越小.

(4)标准差与随机变量本身有相同的单位,所以在实际问题中
应用更广泛.

2.随机变量的方差和样本方差之间的关系
区别 联系 随机变量的方差是常数,而样本的方差是随着样本 的不同而变化的,因此样本的方差是随机变量. 对于简单随机样本,随着样本容量的增加,样本方 差越来越接近总体方差,因此常用样本方差来估计 总体方差.

3.剖析方差的性质 当a,b均为常数时,随机变量η=aξ+b的方差D(η)= D(aξ+b)=a2D(ξ).特别地: (1)当a=0时,D(b)=0,即常数的方差等于0. (2)当a=1时,D(ξ+b)=D(ξ),即随机变量与常数之和的 方差等于这个随机变量的方差本身. (3)当b=0时,D(aξ)=a2D(ξ),即随机变量与常数之积的 方差,等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积.

类型一

离散型随机变量的方差及标准差的计算

【典型例题】 1.同时抛掷两枚均匀的硬币10次,设两枚硬币同时出现反面 的次数为ξ ,则D(ξ )=( )

15 15 5 A. ?????????????B. ?????????????????C. ????????????D. 5 8 4 2

2.已知η 的分布列为 η P 0
1 3

10
2 5

20
1 15

50
2 15

60
1 15

(1)求η 的方差及标准差. (2)设Y=2η -E(η ),求D(Y).

【解题探究】 1.两枚硬币同时出现反面的次数ξ服从什么分布? 2.方差与标准差是如何计算的?方差运算具有什么性质? 探究提示:
1 ? ~ B(10 , ). 1.两枚硬币同时出现反面的次数 4

2.(1)方差D(ξ)=(x1-E(ξ))2·p1+(x2-E(ξ))2·p2+(x3

-E(ξ))2·p3+?+(xn-E(ξ))2·pn.
标准差为 D ? ? ?.

(2)方差的运算性质:D(aξ+b)=a2D(ξ).

【解析】
1 1 1 1.选A.两枚硬币同时出现反面的概率为 2 ? 2 = 4 ,故 1 ?~B(10, ), 4 1 1 15 D ? = 10 ? ? (1 ? )= . 因此 ? ? 4 4 8

1 2 1 2 1 E ? ? 0 ? ? 10 ? ? 20 ? ? 50 ? ? 60 ? ? 16, 2.(1)因为 ? ? 3 5 15 15 15 1 2 1 2 2 2 2 2 所以 D ? ?? ? (0 ? 16) ? ? (10 ? 16) ? ? ? 20 ? 16 ? ? ? ? 50 ? 16 ? ? 3 5 15 15 1 2 ? ? 60 ? 16 ? ? ? 384, 15

所以 D ? ?? ? 8 6.
(2)因为Y=2η-E(η),

D(Y)=D(2η-E(η))=22D(η)=4×384=1 536.

【互动探究】在题1的条件不变的情况下,求“两枚硬币不同 时出现同面的次数η 的方差”.
1 ? ~ B(10, ). 【解题指南】不同时出现同面的次数 2 1 1 1 1 1 【解析】不同时出现同面的概率为 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 . 由题意可

知,同时抛掷两枚均匀的硬币10次,不同时出现同面的次数
1 1 1 ?~B(10, ). 故 D ? ?? ? 10 ? ? ? 2.5. 2 2 2

【拓展提升】求离散型随机变量的方差的类型及解决方法 (1)已知分布列型(非两点分布或二项分布):直接利用定义求 解,具体如下, ①求均值;②求方差. (2)已知分布列是两点分布或二项分布型:直接套用公式求解, 具体如下, ①若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p). ②若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p).

(3)未知分布列型:求解时可先借助已知条件及概率知识先求 得分布列,然后转化成(1)中的情况. (4)对于已知D(X)求D(aX+b)型,利用方差的性质求解,即利 用D(aX+b)=a2D(X)求解.

类型二

方差的应用

【典型例题】 1.有甲、乙两种水稻,测得每种水稻各10株的分蘖数据,计 算出样本方差分别为D(X甲)=11,D(X乙)=3.4.由此可以估计 ( )

A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐

C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较

2.已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环,

且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中
10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.设甲射击时射中的环数

变量为ξ ,乙射击时射中的环数变量为η .
(1)求ξ ,η 的分布列.

(2)求ξ ,η 的均值与方差,并以此比较甲、乙的射击技术.

【解题探究】

1.样本方差的大小与样本的稳定性有什么关系?
2.题2中如何求a的值?如何分析甲、乙的射击技术差异?

探究提示:
1.样本方差越大(小)样本的稳定性越差(好).

2.利用分布列的性质求a的值.通过E(ξ)与E(η),D(ξ)与
D(η)分别说明甲、乙的射击技术平均水平及其稳定性差异 .

【解析】1.选B.因为D(X甲)>D(X乙),所以乙种水稻比甲种水 稻分蘖整齐. 2.(1)依据题意,0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1. 因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,

所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.
所以ξ,η的分布列分别为

ξ

10

9

8

7

P

0.5

0.3

0.1

0.1

η

10

9

8

7

P

0.3

0.3

0.2

0.2

(2)结合(1)中ξ,η的分布列可得:

E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2,
E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7,

D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-
9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96,

D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-
8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21. 由于E(ξ)>E(η),说明甲平均射中的环数比乙高;又因为 D(ξ)<D(η),说明甲射中的环数比乙集中,比较稳定.

【拓展提升】利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步


(1)比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量
取值的平均水平,因此,在实际决策问题中,需先计算均值, 看一下谁的平均水平高. (2)在均值相等的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变 量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差, 分析一下谁的水平发挥相对稳定. (3)下结论.依据方差的几何意义做出结论.

【变式训练】
有甲、乙两种建筑材料,从中各取等量样品检查它们的抗拉

强度,收集数据如下:
X甲 P X乙 P 110 0.1 100 0.1 120 0.2 115 0.2 125 0.4 125 0.4 130 0.1 130 0.1 135 0.2 145 0.2

其中X甲,X乙分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度,在使用时 要求抗拉强度不低于120,试比较甲、乙两种建筑材料的质量 状况.

【解题指南】要比较两种材料的质量,需先比较其抗拉强度 的期望,然后再看其方差. 【解析】E(X甲)=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1 +135×0.2=125, E(X乙)=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2 =125, D(X甲)=(110-125)2×0.1+(120-125)2×0.2+(125-125)2× 0.4+(130-125)2×0.1+(135-125)2×0.2=50,

D(X乙)=(100-125)2×0.1+(115-125)2×0.2+(125-125)2×

0.4+(130-125)2×0.1+(145-125)2×0.2=165.
由此可见,E(X甲)=E(X乙),D(X甲)<D(X乙),故两种材料的抗

拉强度的平均值相等,其稳定程度甲明显比乙强,所以说材
料甲的质量较好.

【规范解答】方差的实际应用
【典例】 【条件分析】

【规范解答】(1)当n≥16时,y=16×(10-5)=80. ?1分 当n≤15时,y=5n-5(16-n)=10n-80. ???3分
① ?10n-80(n ? 15) y?? ? n ? N ? ??????????4分 得: ?80 ? n ? 16 ?

(2)(i)X可取60,70,80.② ????????????5分 P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.??????7分 X的分布列为 X P 60 0.1 70 0.2 80 0.7 ??8分

E(X)=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76,③ D(X)=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44.????????9分 (ii)购进17枝时,当天的利润为 y=(14×5-3×5)×0.1+(15×5-2×5)×0.2+ (16×5-1×5)×0.16+17×5×0.54=76.4.③ ????11分 由76.4>76③得,应购进17枝.???????????12分

【失分警示】

【防范措施】 1.建模信息的提取 熟读题设信息,把实际问题数学模型化是解决该类问题的关

键.如本例的函数模型的建立用到了分段函数的建模思想 .
2.理解期望、方差的实际意义

期望、方差是随机变量的数字特征,能够反映数据的整体情
况,理解期望、方差的实际意义是求解此类问题的关键,如

本例(2)(ii).

【类题试解】(2013·孝感高二检测)为防止风沙危害,某地 决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植 了n株沙柳,各株沙柳成活与否是相互独立的,成活率为p, 设ξ 为成活沙柳的株数,数学期望E(ξ )=3,标准差 D(?)
6 . 为 2

(1)求n,p的值并写出ξ 的分布列.

(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补
种沙柳的概率.

【解析】由题意知,ξ服从二项分布B(n,p),
k P ? ? ? k ? ? Ck p ?1 ? p ? n n ?k

,k ? 0,1,?,n.

1 3 1 - p ? , (1)由 E ? ? ? ? np ? 3, D ? ? ? ? np ?1-p ? ? , 得 2 2 1 n ? 6, p ? . 从而 2

ξ的分布列为 ξ P 0
1 64

1
6 64

2
15 64

3
20 64

4
15 64

5
6 64

6
1 64

(2)记“需要补种沙柳”为事件A,则P(A)=P(ξ≤3),得
P?A? ? 1 ? 6 ? 15 ? 20 21 ? , 64 32

15 ? 6 ? 1 21 P A ? 1 - P ? ? 3 ? 1 - ? . ? ? 或 ? ? 64 32

1.下面说法中正确的是(

)

A.离散型随机变量ξ 的期望E(ξ )反映了ξ 取值的概率的平 均值 B.离散型随机变量ξ 的方差D(ξ )反映了ξ 取值的平均水平 C.离散型随机变量ξ 的期望E(ξ )反映了ξ 取值的波动水平 D.离散型随机变量ξ 的方差D(ξ )反映了ξ 取值的波动水平

【解析】选D.由于离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映的是随

机变量的平均取值水平,而不是概率的平均值,故 A错.而
D(ξ)则反映随机变量的集中(或稳定)的程度,即波动水平.

2.若X~B(n,p),且E(X)=1.6,D(X)=1.28,则( A.n=8,p=0.2 C.n=5,p=0.32 B.n=4,p=0.4 D.n=7,p=0.45

)

【解析】选A.由E(X)=np=1.6,D(X)=np(1-p)=1.28,可知1p=0.8,所以p=0.2,n=8.

3.设一随机试验的结果只有A和 A,且P(A)=m,令随机变量
,A发生, ?1 ?=? 则ξ 的方差D(ξ )等于( ?0,A不发生,

)

A .m C.m(m-1)

B.2m(1-m) D.m(1-m)

【解析】选D.随机变量ξ的分布列为: ξ P 0 1-m 1 m

所以E(ξ)=0·(1-m)+1·m=m. 所以D(ξ)=(0-m)2·(1-m)+(1-m)2·m =m(1-m).

1 D ? ? , ? ? 4.已知随机变量ξ , 则ξ 的标准差为______. 9 1 1 D ? ? ? . 【解析】 ? ? 9 3 1 答案: 3

5.有两台自动包装机甲与乙,包装质量分别为随机变量 ξ 1, ξ 2,已知E(ξ 1)=E(ξ 2),D(ξ 1)>D(ξ 2),则自动包装机 ____的质量较好. 【解析】均值仅体现了随机变量取值的平均大小,如果两个 随机变量的均值相等,还要看随机变量的取值如何在均值周 围变化,方差大说明随机变量取值较分散;方差小,说明取 值较集中.故乙的质量较好. 答案:乙

6.2013年4月20日8时02分四川省雅安市芦山县(北纬30.3°,
东经103.0°)发生7.0级地震.一方有难,八方支援,重庆众 多医务工作者和志愿者加入了抗灾救援行动.其中重庆某医院 外科派出由5名骨干医生组成的救援小组,奔赴受灾第一线参 与救援.现将这5名医生分别随机分配到受灾最严重的芦山、 宝山、天全三县中的某一个. 若将随机分配到芦山县的人数记为ξ ,求随机变量ξ 的分布 列、期望和方差.

1 ? ~ B(5 , ), 【解析】由条件可知, 故 3 1 2 P ? ?=i ?=Ci5 ( )i ( )5?i ,(i ? 0,1, 2,?, 5), 3 3

故ξ的分布列为 ξ P 0
32 243

1
80 243

2
80 243

3
40 243

4
10 243

5
1 243

1 5 1 2 10 E ? = np ? 5 ? ? , D ? ? np 1 ? p ? 5 ? ? ? . ? ? ? ? 所以 ? ? 3 3 3 3 9


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