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2013年武警院校招生考试数学模型(3)

时间:2013-06-05


2013 年武警院校招生考试数学模型试卷(3)
1.计算 sin 43° 13° cos -cos 43° 13° sin 的结果等于( 1 A. 2 B. 3 3 C. 2 2 ) D. 3 2

2. 已知函数 f(x)=lg(x+3)的定义域为 M, g(x)= A.{x|x>-3} B.{x|-3<x<2}

1 的定义域为 N, M∩N 等于( 则 2-x D.{x|-3<x≤2}

)

C.{x|x<2}

b 3. 若函数 y=ax 与 y=- 在(0, +∞)上都是减函数, y=ax2+bx 在(0, 则 +∞)上是( x A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增

)

4.在△ABC 中,若 a=1,b= 3,A+C=2B,则△ABC 的形状为( ) A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 5.已知|a|=1,|b|= 2,且 a⊥(a-b),则向量 a 与向量 b 的夹角是( A.30° B.45° C.90° D.135° 6.在等比数列{an}中,若 a1+a2=4,a3+a4=2,则 a9+a10 等于( 1 A. 2 B.2 1 C. 4 D.4 ) )

7.已知 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面.下列命题中不正确的是( ) A.若 m∥α,α∩β=n,则 m∥n C.若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β B.若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α D.若 m⊥α,m?β,则 α⊥β

1 1 8.已知不等式 ax2-bx-1≥0 的解集是[- , - ] ,则不等式 x2-bx-a<0 的解集是 2 3 A.(2,3) 1 1 C.?3,2? ? ? B.(-∞,2)∪(3,+∞) 1 1 D.?-∞,3?∪?2,+∞? ? ? ? ?

9 . 把 复 数 z 的 共 轭 复 数 记 作 z , i 为 虚 数 单 位 . 若 z = 1 + i, 则 (1 + z)·z 等 于
1

________. 10.(1+x)+(1+x)2+?+(1+x)6 的展开式中 x2 的系数为________.

11.已知 S,A,B,C 是球 O 表面上的点,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,SA=AB=1, BC= 2,则球 O 的表面积等于________.

12.某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选修课 4 门,一位同学从中共选 3 门.若要求两类 课程中各至少选一门,则不同的选法共有________.

1 3 . 以 直 线 3x - 4y + 12 = 0 夹 在 两 坐 标 轴 间 的 线 段 为 直 径 的 圆 的 方 程 为 __________________.

14.已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的动点,点 P 到准线的距离为 d,且点 P 在 y 轴上的射 7 影是 M,点 A?2,4?,则|PA|+|PM|的最小值是__________________. ? ?

15.如图所示,一圆形纸片的圆心为 O,F 是圆内一定点,M 是圆周上一动点,把纸片 折叠使 M 与 F 重合,然后抹平纸片,折痕为 CD,设 CD 与 OM 交于点 P,则点 P 的轨迹 是__________________.(填椭圆、双曲线、抛物线、圆之一)



2

16. 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? an ? c(c 为常数, n ? N ? ) ,且 a1 , a2 , a5 成公比不等 于 1 的等比数列. (Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)设 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n a n a n ?1

17.某商场有奖销售中,购满 100 元商品得 1 张奖券,多购多得.1 000 张奖券为一个开奖 单位,设特等奖 1 个,一等奖 10 个,二等奖 50 个.设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二 等奖的事件分别为 A、B、C,求: (1)P(A),P(B),P(C); (2)1 张奖券的中奖概率; (3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.

3

18.已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ?

1 ,x?R . 2

(Ⅰ) 求函数 f (x) 的最小值和最小正周期; (Ⅱ)已知 ?ABC 内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 c ? 3, f (C ) ? 0 ,若向 量 m ? (1,sin A) 与 n ? (2,sin B) 共线,求 a、b 的值.

??

?

? 19. 如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 的 底 面 为 菱 形 且 ?ABC ? 120 , PA ⊥ 底 面 A B C D,

AB ? 2 , PA ? 3 . (Ⅰ)求证:平面 PBD ⊥平面 PAC ; (Ⅱ)求三棱锥 P ? BDC 的体积; (Ⅲ) 在线段 PC 上是否存在一点 E , PC ⊥平面 EBD 成 使 立.如果存在,求出 EC 的长;如果不存在,请说明理由.

P E

D A B

C

4

20.函数 f(x)对任意的 m、 ∈R, n 都有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1, 并且 x>0 时, 恒有 f(x)>1.

(1)求证:f(x)在 R 上是增函数;(2)若 f(3)=4,解不等式 f(a +a-5)<2.

2

1 21.已知抛物线 C:y2=4x,直线 l:y= x+b 与 C 交于 A、B 两点,O 为坐标原点. 2 (1)当直线 l 过抛物线 C 的焦点 F 时,求|AB|; (2)是否存在直线 l 使得直线 OA、 倾斜角之和为 135° 若存在, OB , 求出直线 l 的方程; 若不存在,请说明理由.

5

A B B C B C AA

9.3-i

10.35 9 14. 2

11.4π 15.椭圆

12.30 种

3 25 13.(x+2)2+?y-2?2= ? ? 4

16. 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? an ? c(c 为常数, n ? N ? ) ,且 a1 , a2 , a5 成公比不等 于 1 的等比数列. (Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)设 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n a n a n ?1

16.解: (Ⅰ)∵ an?1 ? an ? c, a ? 1, c 为常数,∴ an ? 1 ? (n ? 1)c . ??????2 分 ∴ a2 ? 1 ? c, a5 ? 1 ? 4c .ks5u 又 a1 , a 2 , a5 成等比数列,∴ (1 ? c) 2 ? 1 ? 4c ,解得 c ? 0 或 c ? 2 .?4 分 当 c ? 0 时, a n ?1 ? a n 不合题意,舍去. ∴ c ? 2 . ???????5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, an ? 2n ? 1 . ??????????????????6 分 ∴ bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ????9 分 an an ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1? 1 1 1 1 1 ? ?(1 ? 3 ) ? ( 3 ? 5 ) ? ? ? ( 2n ? 1 ? 2n ? 1)? 2? ?
??????????12 分

S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?
? 1 1 n (1 ? )? 2 2n ? 1 2n ? 1

17.某商场有奖销售中,购满 100 元商品得 1 张奖券,多购多得.1 000 张奖券为一个开奖 单位,设特等奖 1 个,一等奖 10 个,二等奖 50 个.设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二 等奖的事件分别为 A、B、C,求: (1)P(A),P(B),P(C); (2)1 张奖券的中奖概率; (3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. 1 10 1 17.解 (1)P(A)= ,P(B)= = , 1 000 1 000 100 50 1 P(C)= = . 1 000 20
6

1 1 1 , , . 1 000 100 20 (2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1 张奖券中奖”这个事件为 M,则 M=A∪B∪C. ∵A、B、C 两两互斥, 1+10+50 61 ∴P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)= = . 1 000 1 000 61 故 1 张奖券的中奖概率为 . 1 000 (3)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N,则事件 N 与“1 张奖券中特等奖或 中一等奖”为对立事件, ? 1 + 1 ?= 989 . ∴P(N)=1-P(A∪B)=1-? ? ?1 000 100? 1 000 989 故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 . 1 000 故事件 A,B,C 的概率分别为

18.已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ?

1 ,x?R . 2

(Ⅰ) 求函数 f (x) 的最小值和最小正周期; (Ⅱ)已知 ?ABC 内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 c ? 3, f (C ) ? 0 ,若向 量 m ? (1,sin A) 与 n ? (2,sin B) 共线,求 a、b 的值.

??

?

18.解:(Ⅰ)

f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ?

1 3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 2 2
??????????????3 分 ????????????5 分

? sin(2 x ? ) ? 1 6

?

∴ f ( x) 的最小值为 ?2 ,最小正周期为 ? . (Ⅱ)∵

即 sin(2C ? ) ? 1 f (C ) ? sin(2C ? ) ? 1 ? 0 , 6 6 ? ? 11? ? ? ? ∵ 0 ? C ? ? , ? ? 2C ? ? ,∴ 2C ? ? ,∴ C ? . ??7 分 6 6 6 6 2 3 ?? ? ∵ m与n 共线,∴ sin B ? 2sin A ? 0 .ks5u 由正弦定理

?

?

a b , 得 b ? 2a, ? sin A sin B
7

①?????????????9 分

∵ c ? 3 ,由余弦定理,得 9 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos 解方程组①②,得 ?

?
3

, ②????????10 分

?a ? 3 . ?b ? 2 3

????????????????12 分

? 19. 如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 的 底 面 为 菱 形 且 ?ABC ? 120 , PA ⊥ 底 面 A B C D,

AB ? 2 , PA ? 3 . (Ⅰ)求证:平面 PBD ⊥平面 PAC ; (Ⅱ)求三棱锥 P ? BDC 的体积; (Ⅲ) 在线段 PC 上是否存在一点 E , PC ⊥平面 EBD 成 使 立.如果存在,求出 EC 的长;如果不存在,请说明理由.

P E

D

C B

19 解: (Ⅰ)证明: ∵四棱锥 P ? ABCD 的底面为菱形 ∴ BD ? AC 又 PA ⊥底面 ABCD , ∴ BD ? PA , 从而得: BD ⊥平面 PAC ∵ BD ? 平面 PBD , ∴平面 PBD ⊥平面 PAC (Ⅱ)由已知可得, ?BCD 的面积为 S?BCD ?

A

1 3 ? 2? 2? ? 3 2 2 1 1 ∴三棱锥 P ? BDC 的体积为 V ? S ?BDC ? PA ? ? 3 ? 3 ? 1 3 3 (Ⅲ)假设存在满足题的点 E ,设 AC ? BD ? O ,则 EO ? PC ,故 ?COE ∽ ?CPA ,
由 PA ? 3 , AC ? 2OC ? 2 3 , PC ? ∴ CE ?

AC2 ? PA2 ? 15

CO ? AC 3 ? 2 3 2 15 , ? ? PC 5 15 由以上讨论可得:在线段 PC 上存在一点 E ,使 PC ⊥平面 EBD 成立, 2 15 此时 CE ? . 5

20.函数 f(x)对任意的 m、 ∈R, n 都有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1, 并且 x>0 时, 恒有 f(x)>1.

(1)求证:f(x)在 R 上是增函数;

(2)若 f(3)=4,解不等式 f(a +a-5)<2.
8

2

20.解: (1)证明 设 x1<x2,∴x2-x1>0,

当 x>0 时,f(x)>1,∴f(x2-x1)>1.

[2 分]

f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1,

[4 分]

∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0?f(x1)<f(x2),

∴f(x)在 R 上为增函数.

[6 分]

(2)解 ∵m,n∈R,不妨设 m=n=1,

∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1?f(2)=2f(1)-1,

[8 分]

f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-1=3f(1)-2=4,

∴f(1)=2,f(2)=2×2-1=3,

∴f(a +a-5)<2=f(1),

2

[10 分]

∵f(x)在 R 上为增函数,∴a +a-5<1?-3<a<2,

2

即 a∈(-3,2).

[12 分]

1 21.已知抛物线 C:y2=4x,直线 l:y= x+b 与 C 交于 A、B 两点,O 为坐标原点. 2 (1)当直线 l 过抛物线 C 的焦点 F 时,求|AB|; (2)是否存在直线 l 使得直线 OA、 倾斜角之和为 135° 若存在, OB , 求出直线 l 的方程; 若不存在,请说明理由.
9

1 1 21.[解析] (1)抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F(1,0),代入直线 y= x+b 可得 b=- , 2 2 1 1 ∴l:y= x- ,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 2 2

?y =4x ? 联立? 1 1 ,消去 y 得 x2-18x+1=0, ? ?y=2x-2
∴x1+x2=18,x1x2=1,

2

(方法一)|AB|= 1+k2· 1-x2| |x = 5 · ?x1+x2?2-4x1x2=20. 4

(方法二)|AB|=x1+x2+p=18+2=20. 1 (2)假设存在满足要求的直线 l:y= x+b, 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),

?y =4x ? 联立? 1 ,消去 x 得 y2-8y+8b=0, y= x+b ? 2 ?
∴y1+y2=8,y1y2=8b, 设直线 OA、OB 的倾斜角分别为 α、β,斜率分别为 k1、k2,则 α+β=135° ,tan(α+β) k1+k2 =tan135° ? =-1, 1-k1k2 y1 4 y2 4 其中 k1= = ,k2= = ,代入上式整理得 y1y2-16+4(y1+y2)=0, x1 y1 x2 y2 ∴8b-16+32=0,即 b=-2, 代入 Δ=64-32b=128>0,满足要求. 1 综上,存在直线 l:y= x-2 使得直线 OA、OB 的倾斜角之和为 135°. 2

2

10


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