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浙江省温州市2014届高三第一次适应性考试(一模)数学(文)试题及答案

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2014 年温州市高三第一次适应性测试数学(文科)试题 2014.2
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求. 1.已知 i 是虚数单位,则 (1 ? i)2 ? ( A. 2i B. ? 2i ) C. 2 ? i D. 2 ? i

2.已知集合 A ? {1,2,3} , B ? {( x, y) | x ? A, y ? A, x ? y ? A} ,则 B 中所含元素的个数为 ( A.2 ) B.3 C.4
)

D.6

3.m 是一条直线,α,β 是两个不同的平面,以下命题正确的是( A.若 m∥α,α∥β,则 m∥β C.若 m∥α,α⊥β,则 m⊥β
?

B.若 m∥α, m ∥β,则 α∥β D.若 m∥α,m⊥β,则 α⊥β )

4.设 a , b ? R ,则“ a ? b ? 1 ”是“ a 2 ? b2 ? 1 ”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

5.已知某几何体的三视图(单位: cm )如图所示,则此几何体的体积 是( A.1 cm )
3

B.3 cm

3

C.5 cm

3

D.7 cm

3

6.已知 sin 2? ? A.

1 3

1 ? ,则 cos 2 (? ? ) ? ( ) 3 4 1 2 B. ? C. 3 3

D. ?

2 3

(第 5 题)

x 7. 设函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx , 若 1 和 ?1 是函数 f ( x) 的两个零点, x1 和 2 是 f ( x) 的两个极值 点,
则 x1 x2 等于( A. ?1 ) B. 1 C. ?

1 3

D.

1 3
)

1 1 y 8.若正实数 x , 满足 x ? y ? ? ? 5 ,则 x ? y 的最大值是( x y

A.2

B .3

C.4

D.5

9.对于函数 f ( x) ? 4x ? m ? 2x ?1 ,若存在实数 x0 ,使得 f (? x0 ) ? ? f ( x0 ) 成立,则实数 m 的取值范 围是( A. )w

m≤

1 2

B.

m≥

1 2

C. m ≤ 1

D. m ≥ 1

10.已知点 P 是双曲线 C :

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? 0,b ? 0) 右支上一点, F1 是双曲线的左焦点,且双曲线 2 a b
)

的一条渐近线恰是线段 PF1 的中垂线,则该双曲线的离心率是( A. 2 B.

3

C. 2

D.

5

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.已知函数 f ( x) ? log3 x ,则 f ( 3) ? . . (结果用分数表示) . .

12.同时抛掷 4 枚硬币,其中恰有 2 枚正面朝上的概率是

13.公比 q 不为 1 的等比数列 ?an ? 满足 an?2 ? an?1 ? 2an (n ? N* ) ,则 q ? 14.某程序框图如图所示,若输入的 n =10,则输出的结果 是 .

15.直线 x ? y ? 2 ? 0 与曲线 ( x ? 1)( x ? 2) ? ( y ? 3)( y ? 4) ? 0 的交点个数是 .

? x ? y ? 1 ≤ 0, ? 16. 若不等式组 ? x ? 2 y ? 1≥ 0, 表示的平面区域是三角形, ? kx ? y ? 1≥ 0 ?
则实数 k 的取值范围是 .
(第 14 题)

17.平面向量 a , b , e 满足 | e |? 1 , a ? e ? 1 , b ? e ? 2 , | a ? b |? 2 ,则 a ? b 的最小值为 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.



i n B ? bc o s A0? 8. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中, 内角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c , 且 as
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 , b ? 1 ,求 ?ABC 的面积.

.

19. (本小题满分 14 分)在等差数列 ?an ? 中,已知 a3 ? 5 , a1 ? a2 ? (Ⅰ)求 an ; (Ⅱ)若 bn ?

? a7 ? 49 .

1 (n ? N* ) ,设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,试比较 an?2 与16Sn 的大小. an an ?1

20. (本小题满分 14 分)如图,平面 ABEF ? 平面 ABC , 四边形 ABEF 为矩形,△ ABC 为等边三角形.

F

E

O 为 AB 的中点, OF ? EC .
(Ⅰ)求证: OE ? FC ; (Ⅱ)求二面角 E ? FC ? O 的正切值.

A

O

B

C

(第 20 题)

21. (本小题满分 15 分)设函数 f ( x) ? ax2 ? ln x . (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)设函数 g ( x) ? (2a ? 1) x ,若当 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立,求 a 的取值范围.

2 22. (本小题满分 15 分)抛物线 C1 : x ? 4 y 在点 A , B 处的切线垂直相交于点 P ,直线 AB 与

椭圆

C2 :

x2 y 2 ? ?1 4 2 相交于 C , D 两点.

(Ⅰ)求抛物线 C1 的焦点 F 与椭圆 C2 的左焦点 F1 的距离; (Ⅱ)设点 P 到直线 AB 的距离为 d ,试问:是否存在直线 AB ,使得 | AB | , d , | CD | 成等比数列?若存在,求直线 AB 的方程;若不存在,请说明理由.

y B D A C O P 第21题图 x

第 22 题图

2014 年温州市高三第一次适应性测试数学(文科)试题参考答案 2014.2
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求. 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 A 5 D 6 C 7 C 8 C 9 B 10 D

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.

1 11. 2

3 12. 8

13. ?2

14.5

15.2

1 ? k ?1 16. 2 ?

17.

5 4

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:由 a sin B ? b cos A ? 0 及正弦定理,得 sin A sin B ? sin B cos A ? 0 , ………2 分

?s i n B ( s iA n?

cA o s? , ) 0

sin B ? 0

? sin A ? cos A ? 0 ,

……………………………………………………4 分

A? ( 0? , )
(Ⅱ)解:由 a ?

?A?

2 , b ? 1, A ?

3? 2 及余弦定理,得 c ? 2c ? 1 ? 0 , 4

3? . 4

……………………………………………7 分 ………9 分

得c ?

6? 2 , ………………………………………………………11 分 2
……………………………………14 分

1 3 ?1 ? S?ABC ? bc sin A ? . 2 4
19. (本小题满分 14 分)

(Ⅰ)解:由题意得: 解得 ?

?a1 ? 2d ? 5 ? ?7a1 ? 21d ? 49

…………………………………………2 分

?a1 ? 1 ?d ? 2

…………………………………………………………………………4 分

? an ? 2n ? 1 .

…………………………………………………………………6 分

(Ⅱ)解:因为 bn ?

1 1 ,所以 bn ? , (2n ? 1)(2n ? 1) an an ?1
1 1 1 1 ? bn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? 2 3 3 5 ?(

…………………………7 分

? Sn ? b1 ? b2 ?
……………10 分

1 1 n ? )] ? 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

16 n (2n ? 1)( 2n ? 3) a ? 16 S 2n ? 1 n = 2n ? 3 ? 2 n ? 1 = 所以 n?2 ,
所以当 n ? 1 时,

……………12 分 …………………14 分

an?2 ? 16Sn ;当 n ≥ 2 时, an?2 ? 16Sn .

20. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:连结 OC ,因 AC ? BC , O 是 AB 的中点, 故 OC ? AB . …………1 分

F

E

又因平面 ABC ? 平面 ABEF , 故 OC ? 平面 ABEF , 于是 OC ? OF . 又 OF ? EC , 所以 OF ? 平面 OEC , 所以 OF ? OE , …………5 分 …………3 分

G A C O B

又因 OC ? OE ,故 OE ? 平面 OFC , 所以 OE ? FC . …………7 分

(Ⅱ)由(Ⅰ) ,得 AB = 2 AF .不妨设 AF ? 1,则 AB ? 2 . 因为 ?ABC 为等边三角形,则 AC ? BC ? 2 过 O 作 OG ? FC ,垂足为 G ,连接 EG , 则 ?EGO 就是二面角 E ? FC ? O 的平面角. 在 ?OFC 中, OF ? 2 , OC ? 3 , FC ? 5 , …………11 分 …………9 分

OG ?
所以

6 5 ,又 EO ? 2 ,所以 tan ?EGO ? 15 3
15 . 3
…………14 分

即二面角 E ? FC ? O 的正切值为 21. (本小题满分 15 分)

(Ⅰ)解:因为 f ( x) ? ax2 ? ln x ,其中 x ? 0 . 所以 f ?( x) ?

2ax 2 ? 1 , x

………2 分

当 a ≥ 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数…………………………4 分

当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 所以 f ( x ) 在 (0, ?

x?? ?

1 2a

1 1 ) 上是增函数,在 ( ? , ??) 上是减函数. ……………6 分 2a 2a

(Ⅱ)解:令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则 h( x) ? ax2 ? (2a ? 1) x ? ln x , 根据题意,当 x ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 恒成立. ………………………………8 分

1 ( x ? 1)(2ax ? 1) ? x x 1 1 x ? ( , ?? ) 0?a? (1)当 时, 时, h '( x) ? 0 恒成立. 2a 2
所以

h '( x) ? 2ax ? (2a ? 1) ?

1 , ?? ) 1 所以 h( x) 在 2 a 上是增函数,且 h( x) ? (h( ), ??) ,所以不符题意……10 分 2a (
(2)当

a≥

1 2 时, x ? (1, ??) 时, h '( x) ? 0 恒成立.

所以 h( x) 在 (1, ??) 上是增函数,且

h( x) ? (h(1), ??)
?

,所以不符题意…………12 分

(3)当 a ≤ 0 时, x ? (1, ??) 时,恒有 h ( x) ? 0 ,故 h( x) 在 (1, ??) 上是减函数, 于是“ h( x) ? 0 对任意 x ? (1, ??) 都成立”的充要条件是 h(1) ≤ 0 , 即 a ? (2a ? 1) ≤ 0 ,解得 a ≥ ?1 ,故 ?1 ≤ a ≤ 0 .

综上所述, a 的取值范围是 [?1,0] . 22. (本小题满分 15 分) (I)解:抛物线 椭圆 则

…………………………15 分

C1 的焦点 F (0,1) ,

………1 分 ………2 分 ………3 分

C2 的左焦点 F1 (? 2,0) ,

| FF1 |? 3 .

(II)解:设直线 AB : y ? kx ? m ,

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) , D( x4 , y4 ) ,

? y ? kx ? m, ? 2 x ? 4 y ,得 x 2 ? 4kx ? 4m ? 0 , 由?


………4 分

x1 ? x2 ? 4k , x1x2 ? ?4m .
2

由 x ? 4 y ,得

y? ?

x x x k PA ? 1 k PB ? 2 2 ,故切线 PA , PB 的斜率分别为 2, 2 ,

x1 x2 x1 x2 ?4m ? ? ? ? ? m ? ?1 k k ? ? 1 2 2 4 4 PA PB PA ? PB 再由 ,得 ,即 ,
故 m ? 1 ,这说明直线 AB 过抛物线

C1 的焦点 F .

………7 分

? y? ? ? ? ?y ? ? 由?
y=

x1 x2 x? 1 , 2 4 x2 x2 x ?x x? 2 x = 1 2 ? 2k 2 4 ,得 2 ,

x1 x2 x2 x ?x x2 xx ? 2k ? 1 ? kx1 ? 1 ? 1 2 ? x1 ? 1 ? 1 2 ? ?1 2 4 4 4 4 4 ,即 P(2k , ?1) .……8 分

于是点 P(2k , ?1) 到直线 AB : kx ? y ? 1 ? 0 的距离

d?

2k 2 ? 2 1? k
2

? 2 1? k 2
. ………9 分

? y ? kx ? 1, ? 2 ?x y2 ? ?1 2 2 ? ? 4 2 由 ,得 (1 ? 2k ) x ? 4kx ? 2 ? 0 ,

………10 分

| CD |? 1 ? k 2
从而
2

(4k )2 ? 4(1 ? 2k 2 ) ? (?2) 8(1 ? 4k 2 ) 2 ? 1 ? k 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 , ………11 分
………12 分 ………13 分

同理, | AB |? 4(1 ? k ) .
2 若 | AB | , d , | CD | 成等比数列,则 d ?| AB | ? | CD | ,

(2 1 ? k 2 )2 ? 4(1 ? k 2 ) ? 1 ? k 2


8(1 ? 4k 2 ) 1 ? 2k 2 ,化简整理,得 28k 4 ? 36k 2 ? 7 ? 0 ,

此方程无实根,所以不存在直线 AB ,使得 | AB | , d , | CD | 成等比数列.…15 分


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