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高三数学第一轮复习课时作业(38)空间点、直线、平面之间的位置关系

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课时作业(三十八)

第 38 讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

时间:45 分钟

分值:100 分

基础热身 1.下面列举的图形一定是平面图形的是( ) A.有一个角是直角的四边形 B.有两个角是直角的四边形 C.有三个角是直角的四边形 D.有四个角是直角的四边形 2.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分为( ) A.5 部分 B.6 部分 C.7 部分 D.8 部分 3.2011·浙江卷 若直线 l 不平行于平面 α ,且 l?α ,则( ) A.α 内的所有直线与 l 异面 B.α 内不存在与 l 平行的直线 C.α 内存在唯一的直线与 l 平行 D.α 内的直线与 l 都相交 4.2011·江西重点中学模拟 已知异面直线 a,b 分别在平面 α ,β 内,且 α ∩β =c,那么直线 c 一定 ( ) A.与 a,b 都相交 B.只能与 a,b 中的一条相交 C.至少与 a,b 中的一条相交 D.与 a,b 都平行 能力提升 5.四面体 S-ABC 中,各个侧面都是边长为 a 的正三角形,E,F 分别是 SC 和 AB 的中点,则异面直线 EF 与 SA 所成的角等于( )

图 K38-1 A.90° B.60° C.45° D.30° 6.2011·湖北重点中学二联 余弦值为( ) A. C. 15 6 B. 15 5

正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为棱 AB 的中点,则异面直线 DM 与 D1B 所成角的

15 15 D. 3 10 7.2011·四川卷 l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( ) A.l1⊥l2,l2⊥l3? l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3? l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3? l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点? l1,l2,l3 共面 8.三条直线两两垂直,那么在下列四个结论中,正确的结论共有( ) ①这三条直线必共点;②其中必有两条是异面直线;③三条直线不可能共面;④其中必有两条在同一平面

内. A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 9.图 K38-2 是正方体或正四面体,P、Q、R、S 分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是( ...

)

图 K38-2 10.正方体各面所在的平面将空间分成________部分.

图 K38-3 11.2011·银川一中五测 如图 K38-3,在正三角形 ABC 中,D,E,F 分别为各边的中点,G,H 分别为 DE, AF 的中点,将△ABC 沿 DE,EF,DF 折成正四面体 P-DEF,则四面体中异面直线 PG 与 DH 所成的角的余弦值为 ________. 12.以下四个命题中,正确命题的序号是________. ①不共面的四点中,任意三点不共线; ②若点 A、B、C、D 共面,点 A、B、C、E 共面,则 A、B、C、D、E 共面; ③若直线 a、b 共面,直线 a、c 共面,则直线 b、c 共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面. 13.下列命题中正确的是________(填序号). ①若△ABC 在平面 α 外,它的三条边所在的直线分别交 α 于点 P、Q、R,则 P、Q、R 三点共线; ②若三条直线 a、b、c 互相平行且分别交直线 l 于 A、B、C 三点,则这四条直线共面; ③空间中不共面的五个点一定能确定 10 个平面. 14.(10 分)如图 K38-4,已知两个正方形 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内,M,N 分别为 AB,DF 的中点. (1)若 CD=2,平面 ABCD⊥平面 DCEF,求直线 MN 的长; (2)用反证法证明:直线 ME 与 BN 是两条异面直线.

图 K38-4

15.(13 分)已知:如图 K38-5,空间四边形 ABCD 中,E、H 分别是边 AB、AD 上的点,F、G 分别是边 BC、

AE AH CF CG CD 上的点,且 = =λ , = =μ (0<λ 、μ <1),试判断 FE、GH 与 AC 的位置关系. AB AD CB CD

图 K38-5

难点突破 16.(12 分)已知:在四边形 ABCD 中,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°,求证:ABCD 是矩形.

课时作业(三十八) 【基础热身】 1.D 解析 对于前三个,可以想象出仅有一个直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折;对角为直 角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折;在翻折的过程中,某个瞬间出现了有三个直角的空间四边形. 2.C 解析 垂直于交线的截面如图,把空间分为 7 部分.

3.B 解析 在 α 内存在直线与 l 相交,所以 A 不正确;若 α 内存在直线与 l 平行,又∵l?α ,则有 l∥ α ,与题设相矛盾,∴B 正确,C 不正确;在 α 内不过 l 与 α 交点的直线与 l 异面,D 不正确. 4.C 解析 若 c 与 a,b 都不相交,则与 a,b 都平行,根据公理 4,则 a∥b,与 a,b 异面矛盾. 【能力提升】

a 2 解析 取 SB 的中点 G,连接 GE,GF,则 GE=GF= ,∠EFG 为异面直线 EF 与 SA 所成的角,EF= a, 2 2 在△EFG 中,∠EFG=45°.
5.C

6.B

解析 如图,取 CD 的中点 N,连接 BN,D1N,则 BN∥DM,∠D1BN 就是直线 DM 与 D1B 所成角,设正方

? 5?2 ? 5?2 2 ( 3) +? ? -? ? 5 15 ?2? ?2? 体棱长为 1,在△D1BN 中,BD1= 3,BN=D1N= ,由余弦定理得 cos∠D1BN= = . 2 5 5 2× 3× 2

7.B 解析 对于 A,直线 l1 与 l3 可能异面;对于 C,直线 l1、l2、l3 可能构成三棱柱三条侧棱所在直线, 而不共面;对于 D,直线 l1、l2、l3 相交于同一个点时不一定共面. 所以选 B. 8.D 解析 (1)三条直线两两垂直时,它们可能共点(如正方体同一个顶点上的三条棱),也可能不共点(如 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中的棱 AA1,AB,BC),故结论①不正确,也说明必有结论②不正确;如果三条直线在同一 个平面内,根据平面几何中的垂直于同一条直线的两条直线平行,就导出了其中两条直线既平行又垂直的矛盾 结论,故三条直线不可能在同一个平面内,结论③正确;三条直线两两垂直,这三条直线可能任何两条都不相 交,即任意两条都异面(如正方体 ABCD-A1B1C1D1 中的棱 AA1,BC,D1C1),故结论④不正确.正确选项 D. 9.D 解析 对于 A,因为 PS∥MN∥QR,所以图中的四点是共面的;对于 B,如下图,N 也是棱的中点,且 R 在平面 PQNS 上,故 P、Q、R、S 共面;对于 C,PQ∥MN∥SR,P、Q、R、S 共面;对于 D,容易看出直线 PS 和 RQ 既不平行也不相交,所以 P、Q、R、S 四点不共面.

10.27 解析 分上、中、下三个部分,每个部分分空间为 9 个部分,共 27 部分. 2 11. 解析 折成的四面体是正四面体,画出立体图形,根据中点找平行线,把所求的异面直线所成角转化 3

到一个三角形的内角来计算.如图,连接 HE,取 HE 的中点 K,连接 GK,则 GK∥DH,故∠PGK 即为所求的异面 直线所成角或者其补角.设这个正四面体的棱长为 2,在△PGK 中,PG= 3,GK= 3 ,PK= 2 1 +?
2

? 3?2= 7, ? ?2? 2

? 3?2 ? 7?2 2 ( 3) +? ? -? ? 2 ?2? ?2? 2 故 cos∠PGK= = ,即异面直线 PG 与 DH 所成的角的余弦值是 . 3 3 3 2× 3× 2

12. ① 解析 可以用反证法证明,假设有三点共线,则由直线和直线外一点确定一个平面, 得这四点共面; ②从条件看出两平面有三个公共点 A、B、C,但是若 A、B、C 共线,则结论不正确;③不正确,共面不具有传 递性;④不正确,因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上. 13.①② 解析 在①中,因为 P、Q、R 三点既在平面 ABC 内,又在平面 α 内,所以这三点必在平面 ABC 与 α 的交线上,即 P、Q、R 三点共线,故①正确;在②中,因为 a∥b,所以 a 与 b 确定一个平面 α ,而 l 上 有 A、B 两点在该平面上,所以 l? α ,即 a、b、l 三线共面于 α ;同理 a、c、l 三线也共面,不妨设为 β , 而 α 、β 有两条公共的直线 a、l,∴α 与 β 重合,即这些直线共面,故②正确;在③中,不妨设其中有四点 共面,则它们最多只能确定 7 个平面,故③错. 14.解答 (1)取 CD 的中点 G,连接 MG,NG.因为四边形 ABCD,DCEF 为正方形,且边长为 2, 所以 MG⊥CD,MG=2,NG= 2. 因为平面 ABCD⊥平面 DCEF,平面 ABCD∩平面 DCEF=CD,所以 MG⊥平面 DCEF,可得 MG⊥NG, 所以 MN= MG +NG = 6. (2)证明:假设直线 ME 与 BN 共面, 则 AB? 平面 MBEN,且平面 MBEN 与平面 DCEF 交于 EN, 由已知,两正方形不共面,故 AB?平面 DCEF. 又 AB∥CD,所以 AB∥平面 DCEF.而 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线, 所以 AB∥EN. 又 AB∥CD∥EF, 所以 EN∥EF,这与 EN∩EF=E 矛盾,故假设不成立. 所以 ME 与 BN 不共面,它们是异面直线.
2 2

AE AH CF CG = =λ , = =μ , AB AD CB CD ∴EH∥BD,FG∥BD. ∴EH∥FG,EH=λ ·BD,FG=μ ·BD, ①当 λ =μ 时,HG∥AC,EH∥FG,且 EH=FG,∴四边形 EFGH 是平行四边形,∴EF∥GH. 由公理 4 知,EF∥GH∥AC. ②当 λ ≠μ 时,EH∥FG 但 EH≠FG, ∴四边形 EFGH 是梯形且 EH、FG 为上、下两底边,∴EF、GH 为梯形的两腰,它们必交于点 P,P∈直线 EF, P∈直线 HG,又 EF? 平面 ABC,HG? 平面 ADC, ∴P∈平面 ABC,P∈平面 ADC,∴P 是平面 ABC 和平面 ADC 的公共点. 又∵平面 ABC∩平面 ADC=AC,∴P∈直线 AC, ∴三条直线 EF、GH、AC 交于一点. 综上所述,当 λ =μ 时,三条直线 EF、GH、AC 互相平行; 当 λ ≠μ 时,三条直线 EF、GH、AC 交于一点.
15.解答 ∵ 【难点突破】 16.解答 证明:由已知,若证得四边形 ABCD 是平面图形,则四边形 ABCD 是矩形, 下面用反证法证明:A、B、C、D 四点共面. 假设 A、B、C、D 四点不共面,又设 B、C、D 确定的平面为 α ,则 A?α .作 AA1⊥α ,垂足为 A1,连接 A1B、 A1D,由已知和三垂线定理的逆定理,可得:∠CBA1=∠CDA1=90°,从而∠DA1B=90°.

又 A1B<AB,A1D<AD,A1B +A1D =BD , 2 2 2 可得:BD <AB +AD ? ∠DAB≠90°,这与∠DAB=90°矛盾. 所以,A、B、C、D 四点共面,从而四边形 ABCD 是矩形.

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