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函数的奇偶性与周期性(教师版)

时间:2016-06-25


江苏省泰州中学校本教学案

一轮复习 11

编者:余静

预习讲义

2.5 函数的奇偶性和周期性
知识梳理 1.函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定义 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x), 那么函数 f(x)是偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x, 奇函数 都有 f(-x)=-f(x), 那么函数 f(x)是奇函 数 2.周期性 (1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何 值时,都有 f(x+T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小 正数就叫做 f(x)的最小正周期. 关于原点对称 图象特点 关于 y 轴对称

课前训练 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数 f(x)=0,x∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数. (2)若函数 y=f(x+a)是偶函数,则函数 y=f(x)关于直线 x=a 对称. (3)若函数 y=f(x+b)是奇函数,则函数 y=f(x)关于点(b,0)中心对称. (4)若函数 f(x)= 为奇函数,则 a=2. ?x-2??x+a? ( ( ( ( × ) √ ) √ ) √ )

x

(5)函数 f(x)在定义域上满足 f(x+a)=-f(x),则 f(x)是周期为 2a(a>0)的周期函数. ( √ ) ( √ )

(6)函数 f(x)为 R 上的奇函数,且 f(x+2)=f(x),则 f(2 014)=0.

1 2 2.已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x + ,则 f(-1)等于________.

x

答案 -2 解析 f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2. 3.已知 f(x)=ax +bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是________. 答案 1 3
2

解析 依题意 b=0,且 2a=-(a-1),

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1 1 ∴a= ,则 a+b= . 3 3 4.已知 f(x)在 R 上是奇函数, 且满足 f(x+4)=f(x), 当 x∈(0,2)时, f(x)=2x , 则 f(2 015) 等于________. 答案 -2 解析 ∵f(x+4)=f(x), ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数, ∴f(2 015)=f(503×4+3)=f(3)=f(-1). 又 f(x)为奇函数, ∴f(-1)=-f(1)=-2×1 =-2,即 f(2 015)=-2. 5.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是________. 答案 (-1,0)∪(1,+∞) 解析 画草图,由 f(x)为奇函数知:f(x)>0 的 x 的取值范围为(- 1,0)∪(1,+∞).
2 2

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2.5 函数的奇偶性和周期性
例题精讲 例1 判断下列函数的奇偶性:
2 2

(1)f(x)= 9-x + x -9; (2)f(x)=(x+1) 4-x (3)f(x)= . |x+3|-3 思维启迪 判断函数的奇偶性时,必须先判定函数定义域是否关于原点对称.若对称,再 验证 f(-x)=±f(x)或其等价形式 f(-x)±f(x)=0 是否成立. 解
?9-x ≥0 ? (1)由? 2 ? ?x -9≥0
2 2

1-x ; 1+x

,得 x=±3.

∴f(x)的定义域为{-3,3},关于原点对称. 又 f(3)+f(-3)=0,f(3)-f(-3)=0. 即 f(x)=±f(-x). ∴f(x)既是奇函数,又是偶函数. 1-x ? ? ≥0 (2)由?1+x ? ?1+x≠0

,得-1<x≤1.

∵f(x)的定义域(-1,1]不关于原点对称. ∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
?4-x ≥0 ? (3)由? ? ?|x+3|-3≠0
2

,得-2≤x≤2 且 x≠0.

∴f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称. 4-x 4-x ∴f(x)= = . ?x+3?-3 x ∴f(x)=-f(-x),∴f(x)是奇函数.
2 2

例 2 (1) f(x)为 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=-2x +3x+1,求 f(x)的解析式.

2

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(2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f(x+2)=- =x,则 f(105.5)=________. 解析 (1)当 x<0 时, -x>0,则

1 ,当 2≤x≤3 时,f(x) f?x?

f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1. 由于 f(x)是奇函数,故 f(x)=-f(-x), 所以当 x<0 时,f(x)=2x2+3x-1. 因为 f(x)为 R 上的奇函数,故 f(0)=0.

?-2x +3x+1,x>0, 综上可得 f(x)的解析式为 f(x)=?0,x=0, ?2x2+3x-1,x<0.
(2)由已知,可得 f(x+4)=f[(x+2)+2] =- 1 1 =- =f(x). f?x+2? 1 - f?x?

2

故函数的周期为 4. ∴f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5). ∵2≤2.5≤3,由题意,得 f(2.5)=2.5. ∴f(105.5)=2.5.

例3

(1)已知奇函数 f(x)在定义域(-1,1)内是减函数,则满足 f(1-m)+f(1-m )<0 的

2

实数 m 的取值范围为________. 答案 (0,1) 解析 f(1-m)<-f(1-m ), 即 f(1-m)<f(m -1), -1<1-m<1, ? ? 2 于是?-1<1-m <1, ? ?1-m>m2-1,
2 2

解得 0<m<1.

(2)设定义在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(1-m)<f(m),则 实数 m 的取值范围是________.

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解析

∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|).

∴不等式 f(1-m)<f(m)?f(|1-m|)<f(|m|). 又当 x∈[0,2]时,f(x)是减函数.

?|1-m|>|m|, ∴?-2≤1-m≤2, ?-2≤m≤2,

1 解得-1≤m<2

课后提升 1.已知 f(x)=

px2+2 5 是奇函数,且 f(2)= ,则 f(x)的解析式为________. 3x+q 3
2

2x +2 答案 f(x)= 3x 解析 因为 f(x)是奇函数,所以 f(-x)+f(x)=0, 得

px2+2 px2+2 + =0,得 q=0, -3x+q 3x+q

5 4p+2 5 由 f(2)= 得 = ,得 p=2, 3 6 3 2x +2 则 f(x)= . 3x 2、若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=e ,则 g(x)等于________. 解析 ∵f(x)为偶函数,g(x)为奇函数, ∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x). ∴f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=e . e -e x 又∵f(x)+g(x)=e ,∴g(x)= . 2 答案 1 x -x (e -e ) 2
x
-x -x 2

x

3.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且它的图象关于直线 x=1 对称. (1)求证:f(x)是周期为 4 的周期函数; (2)若 f(x)= x (0<x≤1),求 x∈[-5,-4]时,函数 f(x)的解析式. (1)证明 由函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称, 有 f(x+1)=f(1-x),即有 f(-x)=f(x+2). 又函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,

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故有 f(-x)=-f(x).故 f(x+2)=-f(x). 从而 f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 即 f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)解 由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,有 f(0)=0.

x∈[-1,0)时,-x∈(0,1],f(x)=-f(-x)=- -x.
故 x∈[-1,0]时,f(x)=- -x.

x∈[-5,-4]时,x+4∈[-1,0], f(x)=f(x+4)=- -x-4.
从而,x∈[-5,-4]时,函数 f(x)=- -x-4.

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课后作业 一、填空题 1.下列函数中,所有奇函数的序号是________. ①f(x)=2x +3x ;②f(x)=x -2x;③f(x)= ④f(x)=x +1. 答案 ②③ 2.设函数 f(x)=x cos x+1.若 f(a)=11,则 f(-a)=________. 答案 -9 解析 令 g(x)=f(x)-1=x cos x, ∵g(-x)=(-x) cos(-x)=-x cos x=-g(x), ∴g(x)为定义在 R 上的奇函数.又∵f(a)=11, ∴g(a)=f(a)-1=10,g(-a)=-g(a)=-10. 又 g(-a)=f(-a)-1,∴f(-a)=g(-a)+1=-9. 2?x 2 2 2 3.定义两种运算:a ? b= a -b ,a?b= ?a-b? ,则 f(x)= 是________函 2-?x?2? 数.(填“奇”或“偶”) 答案 奇 解析 因为 2 ? x= 4-x ,x?2= ?x-2? , 4-x 4-x 4 -x 所以 f(x)= = = , 2 x 2- ?x-2? 2-?2-x? 该函数的定义域是[-2,0)∪(0,2], 且满足 f(-x)=-f(x). 故函数 f(x)是奇函数. 4.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=a -a +2(a>0,且 a≠ 1).若 g(2)=a,则 f(2)等于________. 答案 15 4
x
-x 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 2 3

x2+1 ; x

解析 ∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数, ∴f(-2)=-f(2),g(-2)=g(2)=a, ∵f(2)+g(2)=a -a +2,① ∴f(-2)+g(-2)=g(2)-f(2)=a -a +2,② 15 2 -2 由①、②联立,g(2)=a=2,f(2)=a -a = . 4 5.若 f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上递增,且 f(-3)=0,则 xf(x)<0 的解集是________.
-2 2 2 -2

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答案 (-3,0)∪(0,3) 解析 结合 f(x)的草图即可.

6.若函数 f(x)=x -|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 答案 0 解析 ∵函数 f(x)=x -|x+a|为偶函数,∴f(-x)=f(x),即(-x) -|-x+a|=x - |x+a|,∴|-x+a|=|x+a|,∴a=0. 1 7.已知函数 f(x)满足:f(1)= ,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则 f(2 015) 4 =________. 答案 1 4
2 2 2

2

解析 令 x=1,y=0 时,4f(1)·f(0)=f(1)+f(1), 1 解得 f(0)= , 2 令 x=1,y=1 时,4f(1)·f(1)=f(2)+f(0), 1 解得 f(2)=- , 4 令 x=2,y=1 时,4f(2)·f(1)=f(3)+f(1), 1 解得 f(3)=- , 2 1 1 1 1 依次求得 f(4)=- ,f(5)= ,f(6)= ,f(7)= , 4 4 2 4

f(8)=- ,f(9)=- ,?
可知 f(x)是以 6 为周期的函数, 1 ∴f(2 015)=f(335×6+5)=f(5)= . 4 二、解答题 8.设 f(x)是定义域为 R 的周期函数,且最小正周期为 2,且 f(1+x)=f(1-x),当

1 4

1 2

-1≤x≤0 时,f(x)=-x. (1)判定 f(x)的奇偶性; (2)试求出函数 f(x)在区间[-1,2]上的表达式.

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(1)∵f(1+x)=f(1-x),

∴f(-x)=f(2+x). 又 f(x+2)=f(x),∴f(-x)=f(x), ∴f(x)是偶函数. (2)当 x∈[0,1]时,-x∈[-1,0], 则 f(x)=f(-x)=x; 进而当 1≤x≤2 时,-1≤x-2≤0, f(x)=f(x-2)=-(x-2)=-x+2.

?-x,x∈[-1,0?, 故 f(x)=?x,x∈[0,1?, ?-x+2,x∈[1,2].

-x +2x,x>0, ? ? 9.已知函数 f(x)=?0,x=0, ? ?x2+mx,x<0 (1)求实数 m 的值;

2

是奇函数.

(2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围. 解(1)设 x<0,则-x>0, 所以 f(-x)=-(-x) +2(-x)=-x -2x. 又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x), 于是 x<0 时,f(x)=x +2x=x +mx, 所以 m=2. (2)由(1)知 f(x)在[-1,1]上是增函数, 要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增. 结合 f(x)的图象知?
? ?a-2>-1, ?a-2≤1, ?
2 2 2 2

所以 1<a≤3,故实数 a 的取值范围是(1,3].

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x

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-2 +b 10.已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t -2t)+f(2t -k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 解 即 (1)因为 f(x)是奇函数,且定义域为 R,所以 f(0)=0, -1+b -2 +1 =0,解得 b=1.从而有 f(x)= x+1 . 2+a 2 +a
x
2 2

1 - +1 2 -2+1 又由 f(1)=-f(-1)知 =- , 4+a 1+a 解得 a=2.经检验适合题意,∴a=2,b=1. -2 +1 1 1 (2)由(1)知 f(x)= x+1 =- + x . 2 +2 2 2 +1 由上式易知 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数. 又因 f(x)是奇函数,从而不等式 f(t -2t)+f(2t -k)<0 等价于 f(t -2t)<-f(2t -k) =f(-2t +k). 因为 f(x)是减函数,由上式推得 t -2t>-2t +k. 即对一切 t∈R 有 3t -2t-k>0. 1 从而判别式Δ =4+12k<0,解得 k<- . 3
2 2 2 2 2 2 2 2

x

1 11.已知 f(x)是偶函数, 且 f(x)在[0, +∞)上是增函数, 如果 f(ax+1)≤f(x-2)在 x∈[ , 2 1]上恒成立,求实数 a 的取值范围. 解 由于 f(x)为偶函数,且在[0,+∞)上为增函数,

则在(-∞,0]上为减函数,由 f(ax+1)≤f(x-2),则|ax+1|≤|x-2|. 1 又 x∈[ ,1],故|x-2|=2-x, 2 即 x-2≤ax+1≤2-x. 3 1 1 ∴1- ≤a≤ -1 在[ ,1]上恒成立. x x 2 1 3 ∴( -1)min=0,(1- )max=-2,

x

x

∴-2≤a≤0.

12.函数 f(x)的定义域为 D={x|x≠0},且满足对于任意 x1,x2∈D,有 f(x1·x2)=f(x1)+

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f(x2).
(1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果 f(4)=1,f(x-1)<2,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的取值范围. 解 (1)∵对于任意 x1,x2∈D,

有 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2), ∴令 x1=x2=1,得 f(1)=2f(1),∴f(1)=0. (2)令 x1=x2=-1,有 f(1)=f(-1)+f(-1), 1 ∴f(-1)= f(1)=0.令 x1=-1,x2=x 有 f(-x)=f(-1)+f(x), 2 ∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数. (3)依题设有 f(4×4)=f(4)+f(4)=2, 由(2)知,f(x)是偶函数, ∴f(x-1)<2?f(|x-1|)<f(16). 又 f(x)在(0,+∞)上是增函数. ∴0<|x-1|<16,解之得-15<x<17 且 x≠1. ∴x 的取值范围是{x|-15<x<17 且 x≠1}..


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