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高考选做题几何证明题汇总

时间:2015-06-13


第十六章
考点一 平行截割定理与相似三角形 1.(2014 天津,6,5 分)

几何证明选讲

如图,△ABC 是圆的内接三角形,∠BAC 的平分线交圆于点 D,交 BC 于点 E,过点 B 的圆的切线 与 AD 的延长线交于点 F.在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分 ∠CBF;②FB =FD·FA;③AE·CE=BE·DE;④AF·BD=AB·BF.则所有正确结论的序号是( A.①② C.①②③ B.③④ D.①②④ .
2

)

2.(2014 广东,15,5 分)(几何证明选讲选做题)如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AB 上且 EB=2AE,AC 与 DE 交于点 F,则=

考点二 圆的初步 3.(2014 重庆,14,5 分)过圆外一点 P 作圆的切线 PA(A 为切点),再作割线 PBC 依次交圆于 B,C. 若 PA=6,AC=8,BC=9,则 AB= AB,AC 于点 E,F,若 AC=2AE,则 EF= . . 4.(2014 陕西,15B,5 分)(几何证明选做题)如图,△ABC 中,BC=6,以 BC 为直径的半圆分别交

5.(2014 湖南,12,5 分)如图,已知 AB,BC 是☉O 的两条弦,AO⊥BC,AB=,BC=2,则☉O 的半径等 于 .

6.(2014 湖北,15,5 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,P 为☉O 外一点,过 P 点作☉O 的两条切线,切点分别为 A,B.过 PA 的中点 Q 作割线交☉O 于 C,D 两点.若 QC=1,CD=3,则 PB= .

7.(2014 课标Ⅰ,22,10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是☉O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE. (1)证明:∠D=∠E; (2)设 AD 不是☉O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ADE 为等边三角形.

8.(2014 课标Ⅱ,22,10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,P 是☉O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与☉O 相交于点 B,C,PC=2PA,D 为 PC 的 中点,AD 的延长线交☉O 于点 E. 证明:(1)BE=EC; (2)AD·DE=2PB .
2

9.(2014 辽宁,22,10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,EP 交圆于 E,C 两点,PD 切圆于 D,G 为 CE 上一点且 PG=PD,连结 DG 并延长交圆于点 A, 作弦 AB 垂直 EP,垂足为 F. (1)求证:AB 为圆的直径; (2)若 AC=BD,求证:AB=ED.

10.(2014 江苏,21A,10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,AB 是圆 O 的直径,C、D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点. 证明:∠OCB=∠D.

7 解析 (1)证明:由题设知 A,B,C,D 四点共圆,所以∠D=∠CBE. 由已知得∠CBE=∠E,故∠D=∠E. (2)设 BC 的中点为 N,连结 MN,则由 MB=MC 知 MN⊥BC,故 O 在直线 MN 上. 又 AD 不是☉O 的直径,M 为 AD 的中点,故 OM⊥AD, 即 MN⊥AD. 所以 AD∥BC,故∠A=∠CBE. 又∠CBE=∠E,故∠A=∠E.由(1)知,∠D=∠E,所以△ADE 为等边三角形.

8 证明 (1)连结 AB,AC,由题设知 PA=PD,故∠PAD=∠PDA. 因为∠PDA=∠DAC+∠DCA, ∠PAD=∠BAD+∠PAB, ∠DCA=∠PAB,

所以∠DAC=∠BAD,从而=. 因此 BE=EC. (2)由切割线定理得 PA =PB·PC. 因为 PA=PD=DC,所以 DC=2PB,BD=PB, 由相交弦定理得 AD·DE=BD·DC, 所以 AD·DE=2PB . 9 证明 (1)因为 PD=PG,所以∠PDG=∠PGD. 由于 PD 为切线,故∠PDA=∠DBA,又由于∠PGD=∠EGA, 故∠DBA=∠EGA, 所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA. 由于 AF⊥EP,所以∠PFA=90°,于是∠BDA=90°.故 AB 是直径.
2 2

(2)连结 BC,DC.

由于 AB 是直径,故∠BDA=∠ACB=90°. 在 Rt△BDA 与 Rt△ACB 中,AB=BA,AC=BD, 从而 Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB=∠CBA. 又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA,故 DC∥AB. 由于 AB⊥EP,所以 DC⊥EP,∠DCE 为直角. 于是 ED 为直径.由(1)得 ED=AB. 10 证明 (1)因为 PD=PG,所以∠PDG=∠PGD. 由于 PD 为切线,故∠PDA=∠DBA,又由于∠PGD=∠EGA, 故∠DBA=∠EGA, 所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA. 由于 AF⊥EP,所以∠PFA=90°,于是∠BDA=90°.故 AB 是直径.

(2)连结 BC,DC. 由于 AB 是直径,故∠BDA=∠ACB=90°. 在 Rt△BDA 与 Rt△ACB 中,AB=BA,AC=BD, 从而 Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB=∠CBA. 又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA,故 DC∥AB. 由于 AB⊥EP,所以 DC⊥EP,∠DCE 为直角. 于是 ED 为直径.由(1)得 ED=AB.


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