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word版2015年全国高考新课标2理科数学试题

时间:2015-07-07


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2015 年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标 2)

理 科 数 学
注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必先将 自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。 2. 回答第 I 卷时, 选出每小题的答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第 II 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分. (1)已知集合 A={ ? 2,?1,0,1,2 },B={ x | ( x ? 1)(x ? 2) ? 0 },则 A ? B ? (A) {?1,0} (B){0,1} (C) {?1,0,1} (D){0,1,2}

(2)若 a 为实数,且 (2 ? ai)(a ? 2i) ? ?4i ,则 a ? (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2

(3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨) 柱形图,以下结论中不正确的是

(A)逐年比较,2008 年减少二氧化硫的效果最明显 (B)2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效

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(C)2006 年以来我国治理二氧化硫排放量呈减少趋势 (D)2006 年以来我国治理二氧化硫排放量与年份正相关 (4)已知等比数列 {an } 满足 a1 ? 3, a1 ? a3 ? a5 ? 21,则 a3 ? a5 ? a7 ? (A)21 (B)42 (C)63 (D)84

?1 ? log (2 ? x), x ? 1 (5)设函数 f ( x) ? ? x ?1 2 ,则 f (?2) ? f (log2 12) ? 2 , x ? 1 ?
(A)3 (B)6 (C)9 (D)12

(6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右, 则截去部分体积和剩余部分体积的比值为
1 8 1 (C) 6 1 7 1 (D) 5

(A)

(B)

(7)过三点 A(1,3), B(4,2), C (1,?7) 的圆交 y 轴于 M , N 两点,则 MN ? (A) 2 6 (B)8 (C) 4 6 (D)10

(8)右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著 《九章算术》中的“更相减损术”. 执行该程序框图, 若输入的 a , b 分别为 14,18,则输出的 a ? (A)0 (B)2 (C)4 (D)14 (9)已知 A,B 是球 O 的球面上两点, ?AOB ? 90? ,C 为该球面上的动点. 若三 棱锥 O ? ABC 体积的最大值为 36,则求 O 的表面积为 (A) 36? (B) 64? (C) 144 ? (D) 256 ?

(10)如图,长方形 ABCD 的边 AB ? 2, BC ? 1 ,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,记
?BOP ? x . 将动点 P 到 A, B 两点距离之和表示为 x 的

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函数 f ( x) ,则 y ? f ( x) 的图像大致是

(A)

(B)

(C)

(D)

(11)已知 A,B 为双曲线 E 的左右顶点,点 M 在 E 上, ?ABM 为等腰三角形, 且顶角为 120 ? ,则 E 的离心率是 (A) 5 (B)2 (C) 3 (D) 2

( 12 )设函数 f ?( x ) 是奇函数 f ( x)(x ? R) 的导函数, f (?1) ? 0 ,当 x ? 0 时,
xf ?( x) ? f ( x) ? 0 ,则使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是

(A) (??,?1) ? (0,1) (C) (??,?1) ? (?1,0)

(B) (?1, 0) ? (1, ? ?) (D) (0,1) ? (1, ? ?) 第 II 卷

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)设向量 a, b 不平行,向量 ? a ? b与a ? 2b 平行,则实数 ? ? _______
? x ? y ?1 ? 0 ? (14)若 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0 ,则 z ? x ? y 的最大值为_______ ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?

(15) (a ? x)(1 ? x) 4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a ? _______ (16)设 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,且 a1 ? ?1, an?1 ? Sn Sn?1 ,则 Sn ? _______

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三.解答题 (17) (本小题满分 12 分)
?ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分 ?BAC, ?ABD面积是 ?ADC 的 2 倍.

(1)求

sin ?B ; sin ?C

(2)若 AD=1, DC ?

2 ,求 BD 和 AC 的长. 2

(18) (本小题满分 12 分) 某公司为了解用户对其产品的满意度, 从 A,B 两地区随机调查了 20 个用户, 得到用户对产品满意度的评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82

93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (I) 根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图, 并通过茎叶图比较 两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算具体值,给出结论即可) ; (II)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

记事件 C: “A 地区用户满意度等级高于 B 地区用户满意度等级” . 假设两地 区用户的评价结果相互独立. 根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发 生的概率,求 C 的概率.

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(19) (本小题满分 12 分) 如图, 长方体 ABCD ? A1B1C1D1 ,AB ? 16, BC ? 10, AA F 分别在 A1 B1 , 1 ? 8, 点 E,

D1C1 上, A1E ? D1F ? 4 . 过点 E,F 的平面 ? 与此长方体的面相交,交线围成一个
正方形.

(I)在图中画出这个正方形,不必说明画法和理由; (II)求直线 AF 与平面 ? 所成角的正弦值.

(20) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C: 9 x 2 ? y 2 ? m2 (m ? 0) ,直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴, l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M. (I)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率之积为定值; (II)若 l 过点 (
m , m ) ,延迟线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为 3

平行四边形?若能,求此时 l 的斜率;若不能,说明理由.

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(21) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x mx ? x 2 ? mx (I)证明: f ( x) 在 (??,0) 单调递减,在 (0,??) 单调递增; (II)若对于任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ?1 ,求 m 的取值范围.

请考生在 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按第一题计分. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,⊙O 与△ABC 的底边 BC 交于 M,N 两 点,与底边上的高 AD 交于点 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点. (I)证明:EF//BC; (II)若 AG 等于⊙O 的半径,且 AE=MN= 2 3 ,求四边形 EBCF 的面积.

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(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? x ? t cos? 在直角坐标系 xoy 中, 曲线 C1 : ? 其中 0 ? ? ? ? . 在 (t为参数,t ? 0) , ? y ? t sin ?
以 O 为 极 点 , x 轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 , 曲 线

C2 : ? ? 2 sin ? , C3 : ? ? 2 3 cos? .
(I)求 C2与C3 交点的直角坐标; (II)若 C1与C2 相交于点 A, C1与C3 相交于点 B,求 AB 的最大值.

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 a, b, c, d 均为正数,且 a ? b ? c ? d ,证明: (I)若 ab ? cd ,则 a ? b ? c ? d ; (II) a ? b ? c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件.

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参考答案
一.选择题 (1)A (7)C 二.填空题 (13) 三.解答题 (17)解: (Ⅰ) S
ABD

(2)B (8)B

(3)D (9)C

(4)B (10)B

(5)C (11)D

(6)D (12)A

1 2

(14)

3 2

(15)3

(16) ?

1 n

?

S

ADC

1 AB AD sin ?BAD 2 1 ? AC AD sin ?CAD 2
ABD

因为 S

?S

ADC

, ?BAD ? ?CAD ,所以 AB ? 2 AC

由正弦定理可得

sin ?B AC 1 ? ? sin ?C AB 2
(Ⅱ)因为 S
ABD

:S

ADC

? BD : DC ,所以 BD ? 2

在 ABD 和 ADC 中,由余弦定理知

AB2 ? AD2 ? BD2 ? 2 AD BD cos ?ADB , AC 2 ? AD2 ? DC 2 ? 2 AD DC cos ?ADC
2 2 2 2 2 故 AB ? 2 AC ? 3 AD ? BD ? 2DC ? 6

由(Ⅰ)知 AB ? 2 AC ,所以 AC ? 1 (18)解: (Ⅰ)两地区用户满意度评分的茎叶图如下

8 / 13

通过茎叶图可以看出,A 地区用户满意度评分的平均值高于 B 地区用户满意度评分的 平均值;A 地区用户满意度评分比较集中,B 地区用户满意度评分比较分散。 (Ⅱ)记 C A1 表示事件: “A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意” ; “A 地区用户的满意度等级为非常满意” ; C A 2 表示事件: “B 地区用户的满意度等级为不满意” ; CB1 表示事件: “B 地区用户的满意度等级为满意” , C B 2 表示事件: 则 C A1 与 CB1 独立, C A 2 与 C B 2 独立, CB1 与 C B 2 互斥, C ? CB1CA1

CB 2CA2 ,

P(C) ? P(CB1CA1 CB 2CA2 ) ? P(CB1CA1 ) ? P(CB2CA2 ) ? P(CB1 )P(CA1 ) ? P(CB 2 ) P(CA2 )
由所给数据得 CA1 , CA2 , CB1 , CB 2 发生的频率分别为

16 4 10 8 , , , ,故 20 20 20 20 16 4 10 8 P(C A1 ) ? , P(C A 2 ) ? , P(CB1 ) ? , P (C B 2 ) ? 20 20 20 20 16 4 10 8 P(C ) ? ? ? ? ? 0.48 20 20 20 20

(19)解: (Ⅰ)交线围成的正方形 EHGF 如图:

(Ⅱ)作 EM ? AB ,垂足为 M ,则 AM ? A 1E ? 4, EM ? AA 1 ?8 因为 EHGF 为正方形,所以 EH ? EF ? BC ? 10 于是 MH ?

EH 2 ? EM 2 ? 6 ,所以 AH ? 10

以 D 为坐标原点, DA 的方向为 x 轴正方向,建立如图所以的空间直角坐标系

D ? xyz ,则

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A(10,0,0), H (10,10,0), E(10, 4,8), F (0, 4,8), FE ? (10, 0,0), HE ? (0, ?6,8)
设 n ? ( x, y, z ) 是平面 EHGF 的法向量,则

? ?n FE ? 0, ?10 x ? 0, 即? ? ? ?n HE ? 0, ??6 y ? 8 z ? 0,
所以可取 n ? (0, 4,3) 又 AF ? (?10, 4,8) ,故 | cos ? n, AF ?|?

| n AF | 4 5 ? | n || AF | 15
4 15 15

所以 AF 与平面 EHGF 所成角的正弦值为 (20)解:

(Ⅰ)设直线 l : y ? kx ? b(k ? 0, b ? 0), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( xM , yM ) 将 y ? kx ? b 代入 9 x2 ? y 2 ? m2 得 (k 2 ? 9) x2 ? 2kbx ? b2 ? m2 ? 0 ,故

xM ?

x1 ? x2 ?kb 9b ? 2 , yM ? kxM ? b ? 2 2 k ?9 k ?9

于是直线 OM 的斜率 kOM ?

yM 9 ? ? ,即 kOM k ? ?9 xM k

所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值 (Ⅱ)四边形 OAPB 能为平行四边形 因为直线 l 过点 (

m ,m ) , 所 以 l 不 过 原 点 且 与 C 有 两 个 交 点 的 充 要 条 件 是 3

k ? 0, k ? 3
由(Ⅰ)得 OM 的方程为 y ? ? 设点 P 的横坐标为 xP

9 x k

9 ? k 2 m2 ? km ? y ? ? x, 2 由? 得 xP ? ,即 xP ? k 2 9k ? 81 3 k2 ? 9 ?9 x 2 ? y 2 ? m 2 , ?
将点 (

k (k ? 3)m m m(3 ? k ) , m ) 的坐标代入 l 的方程得 b ? ,因此 xM ? 3 3 3(k 2 ? 9)

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四变现 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分,即 xP ? 2xM 于是

?km 3 k ?9
2

? 2?

k (k ? 3)m ,解得 k1 ? 4 ? 7, k2 ? 4 ? 7 3(k 2 ? 9)

因为 ki ? 0, ki ? 3, i ? 1, 2 , 所以当 l 的斜率为 4 ? 7 或 4 ? 7 时, 四边形 OAPB 为 平行四边形 (21)解: (Ⅰ) f ?( x) ? m(emx ?1) ? 2 x 若m ? 0, 则当 x ? (??,0) 时, 当 x ?0 ( , ? ? ) emx ?1 ? 0, f ?( x) ? 0 ;

e 时,

mx

?1 ? 0 ,

f ?( x) ? 0
若m ? 0, 则当 x ? (??,0) 时, 当 x ?0 , ( ? ? ) emx ?1 ? 0, f ?( x) ? 0 ;

e 时,

mx

?1 ? 0 ,

f ?( x) ? 0
所以, f ( x ) 在 (??, 0) 单调递减,在 (0, ??) 单调递增 (Ⅱ) 由(Ⅰ) 知,对任意的 m, f ( x) 在[-1,0]单调递减, 在[0,1]单调递增, 故 f ( x) 在 x ? 0 处取得最小值,所以对于任意 x1 , x2 ?[?1,1],| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ?1 的充要条件是

? f (1) ? f (0) ? e ? 1, ? ? f (?1) ? f (0) ? e ? 1,


?e m ? m ? e ? 1, ? ? ?m ? ?e ? m ? e ? 1,
设函数 g (t ) ? e ? t ? e ? 1 ,则 g ?(t ) ? e ? 1
t t



当 t ? 0 时, 当 t ? 0 时, 故 g (t ) 在 (??, 0) 单调递减, 在 (0, ??) g ?(t ) ? 0 ; g ?(t ) ? 0 , 单调递增。 又 g (1) ? 0, g (?1) ? e ? 2 ? e ? 0 ,故当 t ? [?1,1] 时, g (t ) ? 0 当 m ? [?1,1] 时, g (m) ? 0, g (?m) ? 0 ,即①式成立;
m 当 m ? 1 时,由 g (t ) 的单调性, g (m) ? 0 ,即 e ? m ? e ? 1 ;

?1

11 / 13

当 m ? ?1 时, g (?m) ? 0 ,即 e? m ? m ? e ? 1 综上, m 的取值范围是[-1,1] (22)解: (Ⅰ)由于 ABC 是等腰三角形, AD ? BC ,所以 AD 是 ?CAB 的平分线 又因为 O 分别与 AB,AC 相切于点 E,F,所以 AE ? AF ,故 AD ? EF 从而 EF // BC (Ⅱ)由(Ⅰ)知, AE ? AF , AD ? EF ,故 AD 是 EF 的垂直平 分线.又 EF 为 O 的弦,所以 O 在 AD 上 连结 OE , OM ,则 OE ? AE 由 AG 等于 O 的半径得 AO ? 2OE ,所以 ?OAE ? 30 ,因 此 ABC 和 AEF 都是等边三角形 因为 AE ? 2 3 ,所以 AO ? 4, OE ? 2 因为 OM ? OE ? 2, DM ?

1 10 3 MN ? 3 ,所以 OD ? 1 ,于是 AD ? 5, AB ? 2 3

所以四边形 EBCF 的面积为 (23)解:

1 10 3 2 3 1 3 16 3 ?( ) ? ? ? (2 3)2 ? ? 2 3 2 2 2 3

( Ⅰ ) 曲 线 C2 的 直 角 坐 标 方 程 为 x ? y ? 2 y ? 0 , 曲 线 C3 的 直 角 坐 标 方 程 为
2 2

x2 ? y 2 ? 2 3x ? 0 .
2 2 ? ? x ? y ? 2 y ? 0, 联立 ? 2 2 ? ? x ? y ? 2 3x ? 0

解得 ?

? x ? 0, ? y ? 0,

? x? ? ? 或? ?y ? ? ?

3 , 2 3 . 2

所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为 (0, 0) 和 (

3 3 , ) 2 2

(Ⅱ)曲线 C 1 的极坐标方程为 ? ? ? ( ? ? R, ? ? 0) ,其中 0 ? ? ? ? 因此 A 的极坐标为 (2sin ? , ? ) , B 的极坐标为 (2 3 cos ? , ? )

12 / 13

所以 | AB |?| 2sin ? ? 2 3 cos ? |? 4 | sin(? ? 当? ? (24)解:

?
3

)|

5? 时, | AB | 取得最大值,最大值为 4 6

(Ⅰ)因为 ( a ? b )2 ? a ? b ? 2 ab ,( c ? d )2 ? c ? d ? 2 cd , 由题设 a ? b ? c ? d , ab ? cd 得 ( a ? b )2 ? ( c ? d )2 因此 a ? b ? c ? d (Ⅱ) (ⅰ)若 | a ? b |?| c ? d | ,则 (a ? b)2 ? (c ? d )2 ,即

(a ? b)2 ? 4ab ? (c ? d )2 ? 4cd
因为 a ? b ? c ? d ,所以 ab ? cd 由(Ⅰ)得 a ? b ? c ? d (ⅱ)若 a ? b ? c ? d ,则 ( a ? b )2 ? ( c ? d )2 ,即

a ? b ? 2 ab ? c ? d ? 2 cd
因为 a ? b ? c ? d ,所以 ab ? cd ,于是

(a ? b)2 ? (a ? b)2 ? 4ab ? (c ? d )2 ? 4cd ? (c ? d )2
因此 | a ? b |?| c ? d | 综上, a ? b ? c ? d 是 | a ? b |?| c ? d | 的充要条件

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