nbhkdz.com冰点文库

辽宁省实验中学分校2013-2014学年高二上学期期末考试数学(理)试题

时间:2014-03-03


数学学科(理)

高二年级

命题人 谷志伟

校对人 李慧

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) (1)原命题:“设a,b,c∈R,若a>b,则ac2>bc2” 的逆命题、否命题、逆否命题中真命题有 ( )个 (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 1 2 (2)抛物线y= x 的准线方程是 ( ) 4 (A) y=1 (B)y=-1 (C)x=-1 (D)x=1 (3)已知 a =(1,2,-y), b =(x,1,2),且( a +2 b )∥(2 a - b ),则 1 (A)x= ,y=1 3 1 (C)x=2,y=- 4 1 (B)x= ,y=-4 2 (D)x=1,y=-1 ( )
→ → → → → →





(4)设 p, q 是两个命题p:log2(|x|-3)<0,q:6x2-5x+1>0,则 p 是 q 的

(A)充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (5) 在各项都为正数的等比数列{an}中, 首项a1=3 , 前三项和为 21 , 则a3+a4+a5= ( (A) 33 (B) 72 (C) 84 (D) 189
x2 (6)与椭圆 +y2=1 共焦点且过点 P(2,1)的双曲线方程是 4 x2 x2 2 (A) -y2=1 (B) -y =1 4 2 x2 y2 y2 (C) - =1 (D) x2- =1 3 3 2 (




(7)已知 A、B、C 三点不共线,点 O 为平面 ABC 外的一点,则下列条件中,能得到 M∈ 平面 ABC 的充分条件是 ( )
→ 1→ 1→ 1→ (A) OM= OA + OB+ OC; 2 2 2 → 1→ 1→ → (B)OM= OA - OB+OC; 3 3

(C) OM= OA+ OB +OC;









(D) OM=2 OA - OB -OC









(8) 已知{an}为等差数列, a1+a3+a5=105, a2+a4+a6=99, Sn是等差数列{an}的前n项和, 则使得Sn达到最大值的n是 ( ) (A)21 x2 y2 (B)20 (C)19 (D)18 3 (9)已知椭圆 2+ 2=1的离心率为 . 双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以 a b 2 这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为 x2 y2 (A) + =1 8 2 x2 y2 (C) + =1 16 4 x2 y2 (B) + =1 12 6 x2 y2 (D) + =1 20 5 ( )

(10)2011 年,我国南方省市遭遇旱灾以及洪水灾害,为防洪抗旱,某地区

大面积植树造林,如图,在区域{(x,y)|x≥0,y≥0}内植树,第一棵树在点 A1(0,1),第二棵树在 点 B1(1,1),第三棵树在点 C1(1,0),第四棵树在点 C2(2,0),接着按图中箭头方向每隔一个单位种 一 棵 树 , 那 么 第 2011 棵 树 所 在 的 点 的 坐 标 是 ( ) (A)(13,44) (B)(12,44) (C)(13,43) (D)(14,43) (11)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PD⊥平面 ABCD,且 PD=AD=1,AB π =2,点 E 是 AB 上一点,当二面角 P-EC-D 的平面角为 时,AE=( ) 4 1 (A)1 (B) 2 (C)2- 2 (D)2- 3

y2 (12)设F1,F2是双曲线x2- =1的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P, 4 使( OP + OF2 )˙ F2P =0,且| PF2 |=?| PF1 |,则 ? 的值为 1 (A) 3 1 (B) 2
→ → → → →





(C)2 (D)3 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) (13)命题“若a2+b2=0,则a=0且b=0”的逆否命题是

.

x2 y2 (14)椭圆E: 2+ 2=1(a>b>0)的左.右焦点分别为F1,F2,焦距为2c,若直线y= 3(x+c) a b 与椭圆E的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于_____________

(15)下列命题:(1)空间向量 a , b 共线的充要条件是| a |+| b |=| a + b |;(2)空 间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足 OP =2 OA +3 OB-4OC, 则P,A,B,C四点共面; (3) 若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直。其中正确的命题序号是 _____________
→ → → →













(16) 对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若 a1=2,{an}的“差数 列”的通项为 2n,则数列{an}的前 n 项和 Sn=________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) (17)(本小题满分 10 分)

已知命题p:实数x满足x2-4ax+3a2<0(a>0),命题q:实数x满足x2-6x+8>0,若p是q的充 分不必要条件,求a的取值范围。

(18)(本小题满分 12 分) y2 已知双曲线C与双曲线x2- =1有共同的渐近线,且双曲线C过点M(2,2),则过点A(1,1)能否 2 作直线l,使l与双曲线C交于Q1、Q2两点,且A是线段Q1Q2的中点,这样的直线l如果存在, 求出它的方程;如果不存在,说明理由。

(19)(本小题满分 12 分) 已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90?,PA⊥底面ABCD,且 1 PA=AD=DC= ,AB=1,M是PB的中点。 2 (1)求异面直线AC与PB所成的角的余弦值; (2)证明:CM∥面PAD;

(20)(本题满分 12 分)

3 3 已知数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,且对任意的n∈N+,有Sn= an- 2 2 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设bn= 1 ,求数列{bn}的前n项和Tn. log3anlog3an+1

(21)(本小题满分 12 分) 如图, 在斜三棱柱ABC-A1B1C1中, 点O、 E分别是A1C1、 AA1的中点, AO⊥平面A1B1C1. 已知∠BCA=90°,AA1=AC=BC=2. (Ⅰ)证明:OE∥平面AB1C1; (Ⅱ)求异面直线AB1与A1C所成的角; (Ⅲ)求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值.

(22)(本小题满分 12 分) 3 3 已知A,B分别是直线y= x和y=- x上的两个动点,线段AB的长为2 3,P是AB的中点. 3 3 (1)求动点P的轨迹C的方程; (2)过点Q(1,0)任意作直线m(与x轴不垂直),设m与(1)中轨迹C交于M,N两点,与y

轴交于R点.若RM=λ MQ, RN =?NQ,证明:λ +? 为定值.









辽宁省实验中学分校 2013——2014 学年度上学期期末考试 (答案) 数学学科 高二年级 命题人 谷志伟 校对人 李慧

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的)
题号 答案 1 C 2 B 3 B 4 A 5 C 6 B 7 B 8 B 9 D 10 A 11 D 12 B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) (13)若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0 (14) 3-1 (15)②③ + (16)2n 1-2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)

代入点M(2,2),得 ?=2

x2 y2 ∴双曲线C的方程为 - =1 2 4

??4 分

设点Q1坐标为Q1(x1,x2),点Q2坐标为Q2(x2,y2)

? 2 - 4 =1 则? x y - ? 2 4 =1
2 2 2 2

x12

y12

x12-x22 y12-y22 由点差法作差得 = 2 4

(x1+x2)(x1-x2) (y1+y2)(y1-y2) ∴ = 2 4 y1-y2 4(x1+x2) ∴k= = =2 x1-x2 2(y1+y2) ??8 分

∴直线l的方程为y-1=2(x-1)

即y=2x-1

??9 分

? - =1 ? 检验:? 2 4 ?y=2x-1 ?
化简得2x2-4x+5=0 ?=42-4×2×5<0 ∴直线l与双曲线C无交点,故直线l不存在。

x2

y2

??12 分

(19)(本小题满分 12 分) 已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90?,PA⊥底面ABCD,且 1 PA=AD=DC= ,AB=1,M是PB的中点。 2 (1)求异面直线AC与PB所成的角的余弦值; (2)证明:CM∥面PAD;

解:以A为原点,AD,AB,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系 1 (1)∵PA=AD=DC= ,AB=1 2 1 1 1 1 ∴D( ,0,0),B(0,1,0),P(0,0, ),C( , ,0) 2 2 2 2 1 1 1 → → ∴ AC =( , ,0), PB =(0,1,- ) 2 2 2 ∴cos< AC , PB >=
→ →

10 5 10 5 ??6 分

∴ 异面直线AC与PB所成的角的余弦值为 11 (2)∵M(0, , ) 24 1 1 → ∴CM=(- ,0, ) 2 4

又∵AB⊥面PAD ∴ AB ·CM=0 ∵CM? 面PAD (20)(本题满分 12 分)
→ →

∴面PAD的法向量为 AB =(0,1,0)



∴CM∥面PAD

??12 分

3 3 已知数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,且对任意的n∈N+,有Sn= an- 2 2 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设bn= 1 ,求数列{bn}的前n项和Tn. log3anlog3an+1

3 3 3 3 an ? ,∴当 n ? 2 时, S n ?1 ? an ?1 ? ; 2 2 2 2 3 3 3 3 ∴ S n ? S n ?1 ? an ? an ?1 ,即 an ? an ? an ?1 ,∴当 n ? 2 时, an ? 3an ?1 ; 2 2 2 2
解:(1)由已知得 S n ? ∴数列 {an } 为等比数列,且公比 q ? 3 ; 又当 n ? 1 时, S1 ? ∴ an ? 3n . (2)∵ log 3 an ? log 3 3n ? n ,∴ bn ? (????3 分)

3 3 3 3 a1 ? ,即 a1 ? a1 ? ,∴ a1 ? 3 ; 2 2 2 2
(????6 分)

1 1 1 1 ; ? ? ? log 3 an ? log 3 an ?1 n(n ? 1) n n ? 1
(????9 分)

∴ ?bn ? 的前 n 项和

1 1 1 1 1 1 1 1 n . Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? ? 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1 n ?1
(????12 分) (21)(本小题满分 12 分) 如图, 在斜三棱柱ABC-A1B1C1中, 点O、 E分别是A1C1、 AA1的中点, AO⊥平面A1B1C1. 已知∠BCA=90°,AA1=AC=BC=2. (Ⅰ)证明:OE∥平面AB1C1; (Ⅱ)求异面直线AB1与A1C所成的角; (Ⅲ)求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值.
E

A
B

C

A 1
解法一: (Ⅰ)证明: ∵点 O 、E 分别是 A1C1 、AA1 的中点,

O
B1

C1

∴ OE // AC1 ,又∵ EO ? 平面 AB1C1 , AC1 ? 平面 AB1C1 , ∴ OE // 平面 AB1C1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分

(Ⅱ)∵ AO ? 平面 A1 B1C1 ,∴ AO ? B1C1 ,又∵ A1C1 ? B1C1 ,且 A1C1 ? AO ? O , ∴ B1C1 ? 平面 A1C1CA ,∴ A1C ? B1C1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 又∵ AA1 ? AC , ∴四边形 A1C1CA 为菱形, ∴ A1C ? AC1 ,且 B1C1 ? AC1 ? C1 ∴ A1C ? 平面 AB1C1 , ∴ AB1 ? A1C ,即异面直线 AB1 与 A1C 所成的角为 90? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 (Ⅲ) 设点 C1 到平面 AA1 B1 的距离为 d ,∵ V A? A1B1C1 ? VC1 ? AA1B1 , 即

1 1 1 ? ? A1C1 ? B1C1 ? AO ? ? S △ 3 2 3

AA1 B1

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 ?d .·
AA1 B1

又∵在△ AA1 B1 中, A1 B1 ? AB1 ? 2 2 ,∴ S △ ∴d ?

? 7.

2 21 21 ,∴ A1C1 与平面 AA1 B1 所成角的正弦值 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 7 7 z C A 解法二:如图建系 O ? xyz , A(0, 0 3) ,

1 3 A1 (0, ?1, 0), E (0, ? , ) , 2 2

B

E

C1 (0,1, 0) , B1 (2,1, 0) ,

A1
x

O

y

C1
B1

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 C (0, 2, 3) . · (Ⅰ)∵ OE ? (0,?

??? ? ? 1 ???? 1 3 , ) , AC1 ? (0,1,? 3 ) ,∴ OE ? ? AC1 ,即 OE // AC1 , 2 2 2

又∵ EO ? 平面 AB1C1 , AC1 ? 平面 AB1C1 ,∴ OE // 平面 AB1C1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ)∵ AB1 ? (2,1,? 3 ) , A1C ? (0,3, 3 ) ,∴ AB1 ? A1C ? 0 ,即∴ AB1 ? A1C , ∴异面直线 AB1 与 A1C 所成的角为 90? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 (Ⅲ)设 A1C1 与平面 AA1 B1 所成角为 ? ,∵ A1C1 ? (0,2,0) ,

???? ? ???? A1 B1 ? (2, 2, 0), A1 A ? (0,1, 3)
设平面 AA1 B1 的一个法向量是 n ? ( x, y , z )

?

???? ? ? ? ? ? A1B1 ? n ? 0, ?2 x ? 2 y ? 0, 则 ? ???? ? 即? ? ? ? y ? 3 z ? 0. ? A1 A ? n ? 0,
不妨令 x ? 1 ,可得 n ? (1, ?1,

?

3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 ) ,· 3

∴ sin ? ? cos ? A1C1 , n ??

???? ? ?

2 2? 7 3

?

21 , 7

∴ A1C1 与平面 AA1 B1 所成角的正弦值

21 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 7

(22)(本小题满分 12 分) 3 3 已知A,B分别是直线y= x和y=- x上的两个动点,线段AB的长为2 3,P是AB的中点. 3 3 (1)求动点P的轨迹C的方程; (2)过点Q(1,0)任意作直线m(与x轴不垂直),设m与(1)中轨迹C交于M,N两点,与y 轴交于R点.若RM=λ MQ, RN =?NQ,证明:λ +? 为定值. 解:(1)设 P ( x , y ) , A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) .
→ → → →

x ?x ? x? 1 2, ? ? 2 ∵ P 是线段 AB 的中点,∴ ? ? y ? y1 ? y2 . ? ? 2
∵ A、B 分别是直线 y ?

3 3 3 3 x和y?? x 上的点,∴ y1 ? x1 和 y2 ? ? x2 . 3 3 3 3
????3 分

? x1 ? x2 ? 2 3 y, ? ∴? 2 3 x. ? y1 ? y2 ? 3 ? ??? ? 2 2 又 AB ? 2 3 ,∴ ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ? 12 .
∴ 12 y 2 ?

x2 4 2 x ? 12 ,∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 ? y 2 ? 1 . 9 3

????5 分

(2)依题意,直线的斜率存在,故可设直线的方程为 y ? k ( x ? 1) .????6 分 设 M ( x3 , y 3 ) 、 N ( x 4 , y 4 ) 、 R (0 , y5 ) ,

? y ? k ( x ? 1) , ? 则 M 、N 两点坐标满足方程组 ? x 2 ? y2 ? 1. ? ?9 2 2 2 2 消去 y 并整理,得 (1 ? 9k ) x ? 18k x ? 9k ? 9 ? 0 ,

????8 分


辽宁省实验中学分校2013-2014学年高二上学期期末考试数....doc

辽宁省实验中学分校2013-2014学年高二上学期期末考试数学(理)试题 - 数

辽宁省实验中学分校2013-2014学年高二上学期期末考试_....doc

辽宁省实验中学分校2013-2014学年高二上学期期末考试_数学(理)试题_Word版含答案_理化生_高中教育_教育专区。2014-2015 学年高二上学期期末考试数学试题一、选择题...

...2014学年高二上学期期末考试 数学(文)试题 Word版含....doc

辽宁省实验中学分校2013-2014学年高二上学期期末考试 数学()试题 Wo

辽宁省实验中学分校2013-2014学年高二上学期期末考试 ....doc

辽宁省实验中学分校2013-2014学年高二上学期期末考试 数学(理)试题 Wo

...2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word....doc

辽宁省实验中学分校2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Wor

辽宁省实验中学分校2013-2014学年高二下学期期末考试数....doc

辽宁省实验中学分校2013-2014学年高二学期期末考试数学()试题 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。辽宁省实验中学分校 2013-2014 学年高二下学期期末考试数...

...2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word....doc

辽宁省实验中学分校2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Wor

辽宁省实验中学分校学年高二数学上学期期末考试试题 理.doc

辽宁省实验中学分校 2014-2015 学年高二数学上学期期末考试试题 理一、选

【生物】辽宁省实验中学分校2013-2014学年高二上学期期....doc

【生物】辽宁省实验中学分校2013-2014学年高二上学期期末考试 - 一、单项

...省实验中学分校高二上学期期末考试数学(理)试题Word....doc

2017-2018学年辽宁省实验中学分校高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案_高中教育_教育专区。2017-2018学年高二上学期期末联考试题Word版含答案 ...

辽宁省实验中学分校2013-2014学年高二上学期期末考试数学(文)试题....doc

辽宁省实验中学分校2013-2014学年高二上学期期末考试数学()试题 - 一

...省实验中学分校高二上学期期末考试数学(理)试题.doc

2017-2018学年辽宁省实验中学分校高二上学期期末考试数学(理)试题 - 更

辽宁实验中学分校2013-2014学年高二上学期期末考试英语....doc

辽宁实验中学分校2013-2014学年高二上学期期末考试英语试题_英语_高中教育_教育专区。辽宁省实验中学分校 2013-2014 学年高二上学期期末考试 英语试题第一部分:听力 ...

分校高二数学上学期期末考试试题 理.doc

分校高二数学上学期期末考试试题 理 - 辽宁省实验中学分校 高二数学上学期期末考试试题 理一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个...

辽宁省实验中学分校2015_2016学年高二数学上学期期末考....doc

辽宁省实验中学分校2015_2016学年高二数学上学期期末考试试题理_数学_高中教育_教育专区。辽宁省实验中学分校2015_2016学年高二数学上学期期末考试试题理 ...

辽宁省实验中学分校2013-2014学年高一上学期期末考试数....doc

辽宁省实验中学分校2013-2014学年高一上学期期末考试数学试题Word版含答

辽宁省实验中学分校2014-2015学年高二上学期期末考试(....doc

辽宁省实验中学分校2014-2015学年高二上学期期末考试(数学文)_高中教育_教育专区。辽宁省实验中学分校 2014-2015 学年高二上学期期末考试 (数学文)一、选择题:本...

辽宁省实验中学分校2013-2014学年高二(新疆班)下学期期....doc

辽宁省实验中学分校2013-2014学年高二(新疆班)下学期期末考试数学试题 Word版含答案(新人教A版)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。辽宁省实验中学分校2013-2014学...

辽宁省实验中学分校2014-2015学年高二上学期期末考试生....doc

辽宁省实验中学分校2014-2015学年高二上学期期末考试生物(理)试题 Wor

2014-2015辽宁省实验高二(下)期末数学(理)试卷.doc

2014-2015辽宁省实验高二(下)期末数学(理)试卷 - 辽宁省实验中学分校 2014-2015 学年度学期期末考试 数学学科 高二年级(理科)命题人:侯军旺 校对人:刘静 一...