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《直线方程的几种形式》教案

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《直线方程的几种形式》教案 教学目标 1、掌握直线的点斜式、斜截式,能根据条件熟练地求出直线的点斜式和斜截式方程. 2、了解根据直线上两点坐标求直线方程的方法. 3、让学生从学习中进一步体会用代数方法解决几何问题的优点,体会用数形结合的方 法解决问题的魅力. 教学重难点 重点:直线的点斜式与斜截式方程. 难点:理解直线的点斜式方程的推导过程. 教学过程 一、情景导入 问题: 给出一定点P0和斜率k,或给出两定点直线就可以唯一确定了.如果设直线上的任意一 点P(x,y),那么,如何建立P点的坐标之间的关系呢?本节我们就来研究这个问题. 二、交流展示 1、上节课学习了直线的斜率,还记得怎样表示直线的斜率吗? 2、上节课学习的直线方程的概念于是怎样的呢? 三、合作探究 探究一:直线的点斜式方程 教师:已知两点A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1≠x2),如何求直线AB的斜率? y2-y1 学生:kAB=x2-x1 教师: 已知直线上的一个点和直线的倾斜角(斜率)可以确定一条直线; 已知两点也可 以确定一条直线.那么请同学们继续看下一题 已知直线l经过点P0(x0,y0),且斜率为k,如何来求直线l的方程? 学生:设点P(x,y)为直线l上不同于P0(x0,y0)的任意一点,则直线l的斜率k可由P和P0 y-y0 两点的坐标表示为k=x-x0 ,即y-y0=k(x-x0). 老师:方程y-y0=k(x-x0)是由直线上一点P0(x0,y0)和斜率k所确定的直线方程,我们 把这个方程叫做直线的点斜式方程. 探究二:直线的斜截式方程 老师:如果一条直线通过点(0,b),且斜率为k,你能写出直线的点斜式方程吗? 学生:由点斜式方程,得y-b=k(x-0).整理,得y=kx+b. 老师:方程y=kx+b叫做直线的斜截式方程.k为斜率,b叫做直线y=kx+b在y轴上的截 距,简称为直线的截距. 探究点三: 直线的两点式方程 老师:已知直线l经过P1(x1,y1),P2(x2,y2) (其中x1≠x2,y1≠y2)两点,如何求直线 的点斜式方程? 如果将求出的点斜式方程写成比例式可化为怎样的形式? y2-y1 学生:由于x1≠x2,所求直线的斜率k=x2-x1 y2-y1 取P1(x1,y1)和k,由点斜式方程,得y-y1=x2-x1 (x-x1). y-y1 x-x1 由y1≠y2,方程两边同除y2-y1,得y2-y1 =x2-x1 y-y1 x-x1 y1), P2(x2, y2)(其中x1≠x2, y1≠y2)的直线方程y2-y1 =x2-x1 老师: 经过直线上两点P1(x1, 叫做直线的两点式方程,简称两点式. 探究点四:直线方程的一般式 老师:将所得的直线方程化成形如Ax+By+C=0的形式.Ax+By+C=0就叫做直线的 一般式方程. 例1 求下列直线的方程: (1)直线l1:过点(2,1),k=-1; (2)直线l2:过点(-2,1)和点(3,-3). 解:(1)直线l1过点(2,1),斜率k=-1. 由直线的点斜式方程,得y-1=-1(x-2), 整理,得l1的方程为x+y-3=0. -3-1 (2)我们先求出直线的斜率,再由点斜式写出直线方程.直线l2的斜率k=3-(-2) 4 4 =-5 ,又因为过点(-2,1),由直线的点斜式方程,得y-1=-5 [x-(-2)], 整理, 得l2的方程为4x+5y+3=0. 1 例2 求过点(0,1),斜率为-2 的直线的方程. 1 解:直线过点(0,1),表明直线在y轴上的截距为1,又直线斜率为-2 由直线的斜截式 1 方程,得y=-2 x+1,即x+2y-2=0. 例3 已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求 l的方程. y-0 x-a x y 解:将两点A(a,0),B(0,b)的坐标代入两点式,得b-0 =0-a 即a + b =1 四、课堂小结 1.确定直线方程需要两个条件,如点斜式需要直线斜率与直线上一点坐标; 斜截式需要直线斜率与直线在y轴上截距;两点式需要直线上两点坐标; 截距式需要直线在两坐标轴上的截距. 无论使用哪一种直线方程形式,都应明确其限制条件,最后没有特殊说明,应将直线方 程化为Ax+By+C=0的形式. 2.应根据题目条件,选择合适的直线方程形式,从而使求解过程简单明确.设直线方 程的截距式时,应注意是否漏掉过原点的直线,设直线方程的点斜式时,应注意是否漏掉斜 率不存在的直线. 五、巩固练习 直线l经过点P0(-2,3),且倾斜角α=45°,求直线l的方程,并画出直线l. 六、布置作业 课后练习 A:第 1、2 题 练习 B:第 2 题

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