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高考数学易错题解题方法大全(1)

时间:2010-12-25


2010 高考数学易错题解题方法大全(1) 2010 高考数学易错题解题方法大全(1)
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一.选择题 2 【范例 1】已知集合 A={x|x=2n—l,n∈Z},B={x|x 一 4x<0},则 A∩B=( 】 A. {1} B. {x 1 < x < 4} C. {1,3} D.{1,2,3,4}



答案:C 【错解分析】此题容易错选为 B,错误原因是对集合元素的误解。 错解分析】 解题指导】 【解题指导】集合 A 表示奇数集,集合 B={1,2,3,4}. 已知集合 A = ( x, y ) y = sin x , 集合 B = ( x, y ) y = tan x , A I B =( 则 【练习 1】 】 A.

{

}

{

}



{(0,0)}

B.

{(π ,0), (0,0)}

C. {( kπ ,0)}

D. ?

) 【范例2】若A、B均是非空集合,则A∩B≠φ是A ? B的( 范例 】 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 答案:B 错解分析】 【错解分析】考生常常会选择 A,错误原因是混淆了充分性,与必要性。 解题指导】 【解题指导】考查目的:充要条件的判定。 【练习 2】已知条件 p : | x + 1 |> 2 ,条件 q : x > a ,且 ?p 是 ?q 的充分不必要条件,则 】

a 的取值范围可以是( ) B. a ≤ 1 ; A. a ≥ 1 ;

C. a ≥ ?1 ;

D. a ≤ ?3 ;

【范例 3】定义在 R 上的偶函数 f (x ) 满足 f ( x + 1) = ? f ( x) ,且在[-1,0]上单调递增,设 】

a = f (3) , b = f ( 2 ) , c = f (2) ,则 a, b, c 大小关系是(
A. a > b > c 答案:D B. a > c > b C. b > c > a

) D. c > b > a

【错解分析】此题常见错误 A、B,错误原因对 f ( x + 1) = ? f ( x) 这样的条件认识不充分, 错解分析】 忽略了函数的周期性。 【解题指导】 由 f ( x + 1) = ? f ( x) 可得, f (x ) 是周期为 2 的函数。利用周期性 a, b, c 转 解题指导】 化为[-1,0]的函数值,再利用单调性比较. 【 练 习 3 】 设 函 数 f (x) 是 定 义 在 R 上 的 以 5 为 周 期 的 奇 函 数 , 若 f ( 2) > 1 ,

f (2008) =

a+3 ,则 a 的取值范围是( a?3



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A.(-∞, 0) B.(0, 3) C.(0, +∞) D.(-∞, 0)∪(3, +∞)

【范例 4】 log 2 sin 】

π
12

+ log 2 cos

π
12

的值为(



A.-4 B.4 C.2 D.-2 答案:D 错解分析】 【错解分析】此题常见错误 A、C,错误原因是对两倍角公式或对对数运算性质不熟悉。 解题指导】 【解题指导】结合对数的运算性质及两倍角公式解决. 【练习 4】式子 log 2 ? log 3 值是( 】
3 4

) D.-2 )

A.-4

B.4

C.2

【范例 5】设 x0 是方程 8 ? x = lg x 的解,且 x0 ∈ ( k , k + 1)(k ∈ Z ) ,则 k = ( 】

A.4 B.5 C.7 D.8 答案:C 错解分析】 【错解分析】本题常见错误为 D,错误原因没有考虑到函数 y=8-x 与 y=lgx 图像的结合。 解题指导】 【解题指导】考查零点的概念及学生的估算能力. )个. 【练习 5】方程 x lg( x + 2) = 1 的实数根有( 】 A.0 B.1 C.2 D.3 【范例 6】已知∠AOB=lrad,点 Al,A2,…在 OA 上, 】 B1,B2,…在 OB 上,其中的每一个实线段和 虚线段氏均为 1 个单位,一个动点 M 从 O 点 出发,沿着实线段和以 O 为圆心的圆弧匀速 运动,速度为 l 单位/秒,则质点 M 到达 A10 点处所需要的时间为( ) 秒。

A.62 B.63 C.65 D.66 答案:C 错解分析】 【错解分析】本题常见错误 B、D,这样的错误常常由于是信息图片信息把握力不强。 解题指导】 【解题指导】本题综合考察等差数列求和,及扇形的弧长公式。要细读题,理解动点的运动 规律。 【练习 6】如图,将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则表上数 】 字标签: 原点处标 0,点(1,0)处标 1,点(1,-1)处 y 标 2,点(0,-1)处标 3,点(-1,-1)处标 4, ? ? ? ? ? 点(-1,0)标 5,点(-1,1)处标 6,点(0,1) 6 7 8 2 ?9 ? ? ? ? 处标 7,以此类推,则标签 2009 的格点的坐标 为( ) A.(1005,1004) C.(2009,2008)

?
B.(1004.1003) D.(2008,2007)

?5 ? ?
4

?0 ?3 ?

?

1

?10 ? 11 ?
12

x

? ?

?2 ?
13

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【范例 7】如图,点 P 是单位圆上的一个顶点,它从初始位置 P0 开 】 始沿单位圆按逆时针方向运动角 α ( 0 < α < 然后继续沿单位圆逆时针方向运动 坐标为 ? 答案:

y
P2 P1 P0 O

π
2

)到达点 P , 1

π
3

到达点 P2 ,若点 P2 的横 .

x

4 ,则 cos α 的值等于 5

3 3?4 10

本题常见错误写成 【错解分析】 错解分析】

3 3?4 的相反数, 这样的错误常常是忽略角度所在的象限。 10 解题指导】 【解题指导】本题主要考察三角函数的定义,及对两角和与差公式的理解。

【练习 7】已知 sin x = sin α + cos α , cos x = sin α cos α , 则 cos 2 x = 】

.

r r u r a r r u r b 【范例 8】已知向量 p = r + r ,其中 a 、 b 均为非零向量,则 | p | 的取值范围 |a| |b|
是 答案: [0, 2] .

r r r r a b 解题指导】 【解题指导】 r , r 分别表示与 a 、 b 同向的单位向量, a b

【错解分析】本题常见错误五花八门,错误原因是没有理解向量的模的不等式的性质。 错解分析】
r r a b r ? r a b r r r r a b a b ≤ r + r ≤ r + r a a b b

uuu r uuu r 【 练 习 8 】 △ABC 中 , C = π , AC = 1, BC = 2 , 则 f (λ ) = 2λ CA + (1 ? λ )CB 的 最 小 值 2



. .

若不等式 | x + 2 | + | x ? 1 |≥ a对x ∈ R 恒成立, 则实数 a 的取值范围是 【范例 9】 】 答案: ( ?∞,3]

【错解分析】解含绝对值不等式也是考生常常出现错误的,错误原因有解法单一,比如只会 错解分析】 运用去绝对值的方法,这样会导致计算量较多,易错。通常简捷的方法可以是利用绝对值的 几何意义。 【解题指导】由绝对值的几何意义知 | x + 2 | + | x ? 1 | 的最小值为 3. 解题指导】 【练习 9】不等式|x+1|(2x-1)≥0 的解集为 】 .

【 范例 10】圆 ( x ? 1)2 + y 2 = 1 被直线 x ? y = 0 分成两段圆弧,则较短弧长与较长弧长之比 】 为 . 答案:1∶3 错解分析】 圆与直线的位置关系的错误点通常是考生找错了圆的圆心, 判断不了圆的位置, 【错解分析】

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在花函数图像是产生了偏差。 解题指导】 (1)直线与圆相切时利用 d=r 建立关系 【解题指导】对直线与圆的位置关系通常考查两点, 式, (2)直线与圆相交时画图利用勾股定理建立关系式. → 2 2 【练习 10】已知直线 x + y = a 与圆 x + y = 4 交于 A、B 两点,O 是坐标原点,向量OA、 】 → → → → → OB满足|OA+OB|=|OA?OB|,则实数 a 的值是 . 【 范例 11】 一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 π ,则球的表面积为 】 __________. 答案:8π 【错解分析】球体是近年高考通常所设计的集合体,通常也是考生容易 错解分析】 出错的一个地方,通常的错误是对球体的与题目结合时候空间想象力缺乏 导致,或者计算的时候计算不出球的半径等。 【解题指导】过球心与小圆圆心做球的截面,转化为平面几何来解决. 解题指导】 【练习 11】如图,已知一个多面体的平面展开图由一边长为 1 的正方 】 体和 4 个边长为 1 的正三角形组成,则该多面体的体积是 . 【范例 12】已知过点 P (1,2) 的直线 l 与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴分别交于 A 、 B 两点,则 】 . 答案:4【错解分析】本题考查均值不等式和数形结合,也是考生容易错误的地方,例如不 【错解分析】 会利用均值不等式,或者没有看出均值不等式中隐含的“面积” 。 解题指导】 【 解题指导 】 设直线方程为

?AOB 的面积最小为

1 2 2 x y 1 2 + = 1 ,代点得: + = 1 .由于 + ≥ 2 ,所以 a b a b a b ab

2 1 1 ≤ , 即ab ≥ 8 ,所以 S ?AOB = ab ≥ 4 ab 4 2
【 练习 12】函数 y = log a ( x + 3) ? 1 (a > 0, 且a ≠ 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线 】

mx + ny + 2 = 0 上,其中 mn > 0 ,则

1 2 + 的最小值为 m n

.

x2 y 2 + = 1 ( a > b > 0) a 2 b2 有一个公共点 A(3,1) 1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,直线 PF1 与圆 C 相切. ,F (1)求 m 的值与椭圆 E 的方程; uuu uuur r y (2) Q 为椭圆 E 上的一个动点, AP ? AQ 的取值范围. 设 求

,圆 C:( x ? m)2 + y 2 = 5 (m < 3) 与椭圆 E: 【范例 13】 】已知点 P(4,4)

P

【错解分析】本题易错点(1)在于计算椭圆的方程的量本 错解分析】 身就大,方法和计算技巧的运用很重要。 解: (1)点 A 代入圆 C 方程,得 (3 ? m) 2 + 1 = 5 . ∵m<3,∴m=1.圆 C: ( x ? 1)2 + y 2 = 5 .
F1 O C Q A

F2

x

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设直线 PF1 的斜率为 k,则 PF1: y = k ( x ? 4) + 4 , 即 kx ? y ? 4k + 4 = 0 . ∵ 直 线 PF1 与 圆 C 相 切 , ∴
11 1 , 或k = . 2 2 11 36 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 ,不合题意,舍去. 2 11 1 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为-4,∴c=4.F1(-4,0) 2(4,0) ,F . 2
2 2

| k ? 0 ? 4k + 4 | k2 +1

= 5 .解得

k=

当 k= 当 k=

2a=AF1+AF2= 5 2 + 2 = 6 2 , a = 3 2 ,a =18,b =2. x2 y2 + = 1. 18 2 uuu r uuur uuu uuur r (2) AP = (1, 3) ,设 Q(x,y) AQ = ( x ? 3, y ? 1) , AP ? AQ = ( x ? 3) + 3( y ? 1) = x + 3 y ? 6 . , 椭圆 E 的方程为: ∵ x2 y2 + = 1 ,即 x 2 + (3 y ) 2 = 18 18 2

而 x 2 + (3 y ) 2 ≥ 2 | x | ? | 3 y | ,∴-18≤6xy≤18.

∴ ( x + 3 y )2 = x 2 + (3 y )2 + 6 xy = 18 + 6 xy 的取值范围是[0,36], 即 x + 3 y 的取值范围是[-6,6]. uuu uuur r ∴ AP ? AQ = x + 3 y ? 6 的取值范围是[-12,0]. 已知圆 M : ( x + 5 ) + y = 36, 定点N ( 5 ,0), 点P为圆M 上的动点, Q 在 点 【练习 13】
2 2

NP 上,点 G 在 MP 上,且满足 NP = 2 NQ, GQ ? NP = 0 .
(1)求点 G 的轨迹 C 的方程; (2) (2, ) 过点 0 作直线 l , 与曲线 C 交于 A、 两点, 是坐标原点, OS = OA + OB, B O 设 是否存在这样的直线 l ,使四边形 OASB 的对角线相等(即|OS|=|AB|)?若存在, 求出直线 l 的方程;若不存在,试说明理由. 、C(-2,2) ,点 P 在 BC 边上移动,线 【范例 14】如图,在矩形 ABCD 中,已知 A(2,0) 段 OP 的 垂 直 平 分 线 交 y 轴 于 点 E , 点 M 满 足

EM = EO + EP.
(1)求点 M 的轨迹方程; (2)已知点 F(0,

1 ) ,过点 F 的直线 l 交点 M 的轨迹于 2

Q、R 两点,且 QF = λ FR, 求实数 λ 的取值范围. 【错解分析】向量的综合题型考察的范围可以很广,这样 错解分析】 的题型容易产生画图不准确,题意模糊的错误,导致考生

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无法作答,因此要理解题意,把握条件,学会精确画图。 解:(1)依题意,设 P(t,2) (-2≤t≤2) ,M(x,y). 当 t=0 时,点 M 与点 E 重合,则 M=(0,1) , 当 t≠0 时,线段 OP 的垂直平分线方程为: y = 1 = ?

t t ( x ? ). 2 2

t2 + 4 t2 + 4 令x = 0, 得y = ,即E (0, ) 4 4 t2 + 4 t2 + 4 t2 + 4 由EM = EO + EP得( x, y ? ) ? (0,? ) + (t ,2 ? ) 4 4 4 ?x = t ? 2 ∴? t 2 + 4 .消去t , 得x = ?4( y ? 1) ?y = 2 ? 4 ?
显然,点(0,1)适合上式 .故点 M 的轨迹方程为 x =-4(y-1)( -2≤x≤2) (2)设 l : y = kx +
2

1 1 1 ( ? ≤ k ≤ ), 代入x 2 = ?4( y ? 1), 得 x2+4k-2=0. 2 4 4

?? = 16 k 2 + 8 > 0 设 Q(x1,y1) 、R(x2,y2) ,则 ? x1 + x 2 = ?4k ? ? x x = ?2 ? 1 2

?(1 ? λ ) x 2 = ?4k (1 ? λ ) 2 QF = λ FR, 得x1 = ?λx 2 ,∴ ? .消去 x2,得 = 8k 2 . 2 λ ?? λx 2 = ?2

1 (1 ? λ ) 2 1 1 Q 0 ≤ k ≤ ,∴ 0 ≤ ≤ ,即2λ2 ? 5λ + 2 ≤ 0(λ > 0). 解得 ≤ λ ≤ 2 λ 16 2 2
2

,对应于这个焦点的准线方程为 x=- . 【练习 14】已知抛物线 C 的一个焦点为 F( ,0) 】 (1)写出抛物线 C 的方程; (2)过 F 点的直线与曲线 C 交于 A、B 两点,O 点为坐标原点,求△AOB 重心 G 的轨 迹方程; (3)点 P 是抛物线 C 上的动点,过点 P 作圆(x-3)2+y2=2 的切线,切点分别是 M,N. 当 P 点在何处时,|MN|的值最小?求出|MN|的最小值. 【 范 例 15 】 如 图 : 在三棱 锥 P ? ABC 中 , PB ⊥ 面 ABC , ?ABC 是 直 角 三 角 形 ,

1 2

1 2

∠ABC = 90o ,AB = BC = 2 ,∠PAB = 45o , D、E、F 分别为 AC、AB、BC 的中点。 点
⑴求证: EF ⊥ PD ; ⑵求直线 PF 与平面 PBD 所成的角的大小; ⑶求二面角 E ? PF ? B 的正切值。 【错解分析】立体几何是高考的必考内容,容易错误的地方通 错解分析】 常是求二面角的大小,因此要归纳总结通常寻找二面角的平面 角的方法。

P

M B F E O D C

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A

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解:⑴连结 BD 。在 ?ABC 中, ∠ABC = 90
o

Q AB = BC ,点 D 为 AC 的中点,∴ BD ⊥ AC 又Q PB ⊥ 面 ABC ,即 BD 为 PD 在平面 ABC 内的射影 ∴ PD ⊥ AC Q E、F 分别为 AB、BC 的中点∴ EF // AC ∴ EF ⊥ PD ⑵Q PB ⊥ 面 ABC ,∴ PB ⊥ EF 连结 BD 交 EF 于点 O ,Q EF ⊥ PB, EF ⊥ PD , ∴ EF ⊥ 平面 PBD ∴ ∠FPO 为直线 PF 与平面 PBD 所成的角,且 EF ⊥ PO Q PB ⊥ 面 ABC ,∴ PB ⊥ AB, PB ⊥ BC ,又Q ∠PAB = 45o ∴ PB = AB = 2 ,Q OF =
1 2 2 2 AC = ,∴ PF = PB + BF = 5 4 2 OF 10 10 = ,∴ ∠FPO = arcsin PF 10 10

∴ 在 Rt ?FPO 中, sin ∠FPO =

⑶过点 B 作 BM ⊥ PF 于点 F ,连结 EM ,Q AB ⊥ PB, AB ⊥ BC ,

∴ AB ⊥ 面 PBC ,即 BM 为 EM 在平面 PBC 内的射影 ∴ EM ⊥ PF ,∴ ∠EMB 为二面角 E ? PF ? B 的平面角 Q Rt ?PBF 中, BM =
PB ? BF 2 EB 5 = ,∴ tan ∠EMB = = PF BM 2 5

【练习 15】如图所示,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长是 2,侧棱长是 3,D 是 AC 的 】 中点。 (1)求证: B1C // 平面 A1 BD ; (2)求二面角 A1 ? BD ? A 的大小; (3)求直线 AB1 与平面 A1 BD 所成的角的正弦值。
D A B C A1 C1

B1

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练习题参考答案: 1.C 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7. -1 8.

2

9. ? x x = ? 1或 x ≥

? ?

1? ? 2?

10. 2 或?2

11.

2 6

12. 413.

解: (1)

NP = 2 NQ ? ? ? ? Q 为 PN 的中点且 GQ⊥PN GQ ? PN = 0? ?

? GQ 为 PN 的中垂线 ? |PG|=|GN|
∴|GN|+|GM|=|MP|=6,故 G 点的轨迹是以 M、N 为焦点的椭圆,其长半轴长 a = 3 , 半焦距 c =

5 ,∴短半轴长 b=2,∴点 G 的轨迹方程是

x2 y2 + = 1。 9 4

(2)因为 OS = OA + OB ,所以四边形 OASB 为平行四边形 若存在 l 使得| OS |=| AB |,则四边形 OASB 为矩形∴ OA ? OB = 0
?x = 2 ?x = 2 ? 若 l 的斜率不存在,直线 l 的方程为 x=2,由 ? 2 2 得? ?x y 2 5 = 1 ?y = ± ? + 4 ?9 3 ?

∴ OA ? OB =

16 > 0, 与OA ? OB = 0 矛盾,故 l 的斜率存在. 9

设 l 的方程为 y = k ( x ? 2), A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 )

? y = k ( x ? 2) ? 由? x 2 y 2 ? (9k 2 + 4) x 2 ? 36k 2 x + 36(k 2 ? 1) = 0 =1 ? + 4 ?9 36k 2 36(k 2 ? 1) ∴ x1 + x 2 = 2 , x1 x 2 = 9k + 4 9k 2 + 4


y1 y 2 = [k ( x1 ? 2)][k ( x 2 ? 2)] = k 2 [ x1 x 2 ? 2( x1 + x 2 ) + 4] = ?
把①、②代入 x1 x 2 + y1 y 2 = 0得k = ±

20k 2 9k 2 + 4



3 2

∴存在直线 l : 3 x ? 2 y ? 6 = 0或3 x + 2 y ? 6 = 0 使得四边形 OASB 的对角线相等.

14. 解: (1)抛物线方程为:y2=2x. ( 2 ) ① 当 直 线 不 垂 直 于 x 轴 时 , 设 方 程 为 y=k(x1 ) , 代 入 y2=2x , 得 : 2

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k2x2-(k2+2)x+
k2 =0. 4 k2 +2 2 ,y1+y2=k(x1+x2-1)= . k k2

,B(x2,y2),则 x1+x2= 设 A(x1,y1)

? 0 + x1 + x 2 k 2 + 2 = ?x = ? 3 3k 2 2 2 ? 设△AOB 的重心为 G(x,y)则 ? 0 + y1 + y 2 2 ,消去 k 得 y2= x ? 为所求, y= = 3 9 ? 3 3k ?

,B( ,-1) △AOB 的重心 G( ,0)也满足上 , ②当直线垂直于 x 轴时,A( ,1) 述方程. 综合①②得,所求的轨迹方程为 y2= x ? , (3)设已知圆的圆心为 Q(3,0) ,半径 r= 2 , 根据圆的性质有:|MN|=2
| MP || MQ | | PQ | 2 ?r 2 2 . = 2r = 2 2 ? 1? | PQ | | PQ | 2 | PQ | 2

1 2

1 2

1 3

2 3

2 9

当|PQ|2 最小时,|MN|取最小值, 2 2 2 设 P 点坐标为(x0,y0),则 y 0 =2x0.|PQ|2=(x0-3)2+ y 0 = x 0 -4x0+9=(x0-2)2+5, ∴当 x0=2,y0=±2 时,|PQ|2 取最小值 5, 故当 P 点坐标为(2,±2)时,|MN|取最小值
2 30 . 5

15. 解法一: (1)设 AB1 与 A 1 B 相交于点 P,连接 PD,则 P 为 AB1 中点,

Q D 为 AC 中点,∴ PD// B1C .
又Q PD ? 平面 A 1 B D,∴ B1 C //平面 A 1 B D (2)Q 正三棱住 ABC ? A 1 B1 C1 ,∴ AA1 ⊥ 底面 ABC。
M P A1

C1

B1

又Q BD ⊥ AC∴ A1 D ⊥ BD

C D A B

∴ ∠A 1DA 就是二面角 A1 ? BD ? A 的平面角。
Q AA1 = 3 ,AD=

AA 1 AC=1∴ tan ∠A 1 DA = 1 = 3 2 AD

∴ ∠A1DA =

π
3

, 即二面角 A1 ? BD ? A 的大小是

π
3

(3)由(2)作 AM ⊥ A1 D ,M 为垂足。

Q BD ⊥ AC,平面 A 1 ACC1 ⊥ 平面 ABC,平面 A 1 ACC1 ∩ 平面 ABC=AC

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∴ BD ⊥ 平面 A 1ACC1 ,Q AM ? 平面 A1ACC1 ,∴ BD ⊥ AM Q A1 D ∩ BD = D∴ AM ⊥ 平面 A1 DB ,连接 MP,则 ∠APM 就是直线 A1B 与平面 A1B D
所成的角。

Q AA1 = 3 ,AD=1,∴ 在 Rt ? AA1 D 中, ∠A1DA =

π
3



3 AM 3 1 7 21 , AP = AB1 = ,∴ sin∠APM = = 2 = . ∴ AM = 1 × sin60 o = AP 2 2 2 7 7 2
∴ 直线 AB1 与平面 A1B D 所成的角的正弦值为

21 7

解法二: (1)同解法一(2)如图建立空间直角坐标系, 则 D(0,0,0) ,A(1,0,0) A 1 (1,0, 3 ) , ,B(0, 3 ,0) B1 (0, 3 , 3 ) ,
z

, ∴ A1 B =(-1, 3 ,- 3 ) A1 D =(-1,0,- 3 ) 设平面 A1 BD 的法向量为 n=(x,y,z) 则 n ? A 1 B = ? x + 3y ? 3z = 0 n ? A 1 D = ? x ? 3z = 0
A1

C1

B1

C D A x B y

?x = ? 3z 则有 ? ,得 n=( ? 3 ,0,1) y=0 ?

由题意,知 AA1 =(0,0, 3 )是平面 ABD 的一个法向量。 设 n 与 AA1 所成角为 θ ,则 cosθ =

n ? AA1 n ? AA1

=

1 π ,∴ θ = 2 3

∴ 二面角 A1 ? BD ? A 的大小是

π
3 AB1 ? n AB1 n
=

(3)由已知,得 AB1 =(-1, 3 , 3 ) ,n=( ? 3 ,0,1)则 cosα =

21 7

∴ 直线 AB1 与平面 A1B D 所成的角的正弦值为

21 . 7

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