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吉林省东北师范大学附属中学2015届高三高考理科数学一轮复习阶段测试卷(第1周)]

时间:2015-05-12


(考试范围:集合、四种命题关系、简易逻辑、全称与特称命题)

一、选择题:本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,把正确的代号填在指定位置上. 1.(2011 北京理)1.已知集合 P ? {x | x 2 ? 1} , M ? {a} ,若 P M ? P ,则 a 的取值范围是
( ) A. (??, ?1] B. [1, ??) C. [?1,1] D. (??, ?1]

[1, ??)


2. (2011 福建理)若 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ (a ? 1)(a ? 2) ? 0 ”的(
A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 C.既不充分又不必要条件

3.(2011 辽宁文)已知命题 P: ? n∈N,2n>1000,则 ? P 为( ) n n A . ? n∈ N,2 ≤1000 B. ? n∈ N,2 <1000 n C . ? n∈ N,2 >1000 D. ? n∈ N,2 n≤1000
4. (2011 天津文)设集合 A ? x x ? a ? 1, x ? R , B ? x 1 ? x ? 5, x ? R .若 A ? B ? ? , 则实数 a 的取值范围是( A. a 0 ? a ? 6 ).

?
?

?

?

?

?

?

B. a a ? 2, 或a ? 4 ).
2

?

C. a a ? 0, 或a ? 6

?

?

D. a 2 ? a ? 4

?

?

5.下列命题中,真命题是(

A. ?m ? R ,使函数 f ? x ? ? x ? mx ? x ? R? 是奇函数 B. ?m ? R ,使函数 f ? x ? ? x ? mx ? x ? R? 是偶函数
2

C. ?m ? R ,使函数 f ? x ? ? x ? mx ? x ? R? 都是奇函数
2

D. ?m ? R ,使函数 f ? x ? ? x ? mx ? x ? R? 都是偶函数
2

2 2 2 6.命题“对于 ? a,b,c∈R,若 a ? b ? c =3,则 a ? b ? c ≥3”,的否命题是( 2 2 2 (A) ? a,b,c∈R,若 a+b+c≠3,则 a ? b ? c <3 2 2 2 (B) ? a,b,c∈R,若 a+b+c=3,则 a ? b ? c <3 2 2 2 (C) ? a,b,c∈R,若 a+b+c≠3,则 a ? b ? c <3



(D) ? a,b,c∈R,若 a+b+c=3,则 a 2 ? b2 ? c2 <3
2 7.已知:命题 p: “对于 ?x ? R ,总有 x ? 2 x ? a ? 0 ” ;命题 q: “ ?x ? [2 , 8] ,

能使式子 a ? log2 x ? 0 ” 。若“ p ? q ”为假,则( A. (? ? ,? 1] B. (? 1 ,? ?)

) B. (3 ,? ?) )

C . (? 1 ,? 3)

8.下列各组命题中,满足“‘p 或 q’为真、‘p 且 q’为假、‘非 p’为真”的是(
A.p:0=?;q:0∈? B.p:在△ABC 中,若 cos2A=cos2B,则 A=B;q:y=sinx 在第一象限是增函数 C.p:a+b≥2 ab(a,b∈R);q:不等式|x|>x 的解集是(-∞,0)

D.p:圆(x-1)2+(y-2)2=1 的面积被直线 x=1 平分;q:?x∈{1,-1,0},2x+1>0

9. 已知 p:

2x <1,q:(x-a)(x-3)>0,若?p 是?q 的必要不充分条件,则实数 a 的取值范围是( x ?1
B.[1,3] C. [3,+ ∞) D. [1,+∞)

)

A.(-∞,1)

10.已知条件 p: ?x ? R , 有 x ? 3 ? x ? 1 ? m ,条件 q: 2m ? 3 ? m 2 ,若满足 p 或 q 为真,p 且 q 为假,那么 m 的取值范围是( A. (3 )

, ? ?) B. (??,?1) ?[2 , 3]

2) C.[?1 ,

?1) ? (2 D. (??,

, 3]

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 11. ( 2011 上 海 理 2 ) 若 全 集 U ? R , 集 合 A ? { x | x? 1 }
{ x |x ? , 0} 则

CU A ?

。 ___.

12.(2011·安徽)命题“ ? x∈R,使得 x2+2x+5=0”的否定是_____

b? ? 13.若命题 p:关于 x 的不等式 ax+b>0 的解集是 ? x | x ? ? ? ,命题 q:关于 x 的不等式 a? ?

(x-a)(x-b)<0 的解集是{x|a<x<b},则在命题①: “p 且 q”、 ②: “p 或 q”?③:
? ? ? ? “ p”、 ④: “ q”、 ⑤ “ p 或 q”、 ⑥ “p 且 q”中,是真命题的有________.

14.已知命题 p:?x∈R,ax2+2x+3>0,如果命题?p 是真命题,那么实数 a 的取值范围是 ________ . 15.设有 2012 个命题 p1,p2,?,p2012 满足:若命题 pi 是真命题,则命题 pi?4 是真命题.已知 p1∧p2 是真命题,(p1∨p2)∧(p3∨?p4)是假命题,则 p2012 是________(填真或假)命题.

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤.参考公式:
1 ? cos 2? 2
n

a sin ? ? b cos? ? a 2 ? b 2 sin(? ? ? ) ;
等差数列的通项公式 :a

sin 2 ? ?

cos 2 ? ?

1 ? cos 2? 2

n

? a1 ? (n ? 1)d; 求和公式:S

?

a1 ? a n n(n ? 1) ? n ? na1 ? d 2 2

等比数列的通项公式 :b
? 导数公式 ?x n ? ? nx n ?1 ,

n

? b1q n?1; 求和公式:S

n

?

b1 (1 ? q n ) 1? q
(其中 t ? g ( x))

?ln x ?? ? 1 ,
x

? f [ g ( x)]?? ? f ??t ?g ??x ?

17.(本小题满分 13 分)(2010 陕西)
已知{ an }是公差不为零的等差数列, a1 =1,且 a1 , a3 , a9 成等比数列. (Ⅰ)求数列{ an }的通项; (Ⅱ)求数列{

2 an }的前 n 项和Sn .

18.(本小题满分 13 分)(2010 福建理) 设 S 是不等式 x 2 ? x ? 6 ? 0 的解集,整数 m 、n ? S (1)记使得 “m ? n ? 0成立的有序数组( m, n)” 为事件 A,试列举事件 A 所包含的 基本事件。 (2)设 ? ? m 2 ;,求 ? 的分布列及期望值。

19.(本小题满分 13 分) 设命题 p: 命题 p:对 m∈[-1,1],不等式 a 2 ? 5a ? 3 ≥ m2 ? 8 恒成立;命题 q:关于 x 的方程 x2+2x+ loga 8 =0 的解集只有一个子集.若 p∨q 为真,?p∨?q 也为真,求实数 a 的 取值范围.

20.(本小题满分 14 分) 已知 f ? x ? ? ln ? x 2 ? 1? ? ? ax ? 2 ? (1) 若函数 f ? x ? 是 R 上的增函数,求 a 的取值范围; (2) 若 a ? 1 ,求 f ? x ? 的单调增区间

21.(本小题满分 14 分)
本题有(1)、(2)、二个选答题,每题 7 分,满分 14 分 (1)(选修 4—4 参数方程与极坐标)(本题满分 7 分) 在极坐标系下,已知圆 O: ? ? cos ? ? sin ? 和直线 l : ? sin(? ? (Ⅰ)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)当 ? ? ? 0, ? ? 时,求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标.

?
4

)?

2 , 2

(3)(选修 4—5 不等式证明选讲)(本题满分 7 分) 对于任意实数 a (a ? 0) 和 b , 不等式 a ? b ? a ? b ? a ( x ?1 ? x ? 2 ) 恒成立, 试求实数 x 的取值范围.

参考答案及评分意见

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤.. 16.(本小题满分 13 分)
解:(Ⅰ)∵ f ( x) ? 2[1 ? cos(

?
2

? 2 x)] ? 2 3 cos 2 x ? 1 ? 2 sin 2 x ? 2 3 cos 2 x ? 1

? 4 sin( 2 x ? ) ? 1 3
又∵ 即

?

????????????4 分

?

4

?x?

?

2

?

?
6

? 2x ?

?
3

?

3 ? 4 sin( 2 x ? ) ? 1 ? 5 3

?

2? 3

????5 分

????7 分

∴ymax=5, ymin=3

????????????8 分

(Ⅱ)∵ | f ( x) ? m |? 2

? m ? 2 ? f ( x) ? m ? 2

????10 分

又∵P 为 q 的充分条件 ∴ 解得 3<m<5

?

m?2?3 ????12 分 m?2?5

????????????13 分

17.(本小题满分 13 分)
解 (Ⅰ)由题设知公差 d≠0, 由 a1 =1, a1 , a3 , a9 成等比数列得 解得 d=1,d=0(舍去), (Ⅱ)由(Ⅰ)知

1 ? 2 d 1 ? 8d = ,?????????4 分 1 1 ? 2d

故{ an }的通项 an =1+(n-1)×1=n.??7 分

2an ? 2n ,????????????9 分

由等比数列前 n 项和公式得

Sn ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 =
2 3 n

2(1 ? 2 n ) ? 2n?1 ? 2 ????????????13 分 1? 2

?
P

0

1

4

9

????11 分

1 6

1 3

1 3

1 6

所以 E? = 0 ?

1 1 1 1 19 ? 1? ? 4 ? ? 9 ? ? 。????????????13 分 6 3 3 6 6

19.(本小题满分 13 分)解:∵m∈[-1,1], ∴ m2 ? 8 ∈[2 2 ,3]. ????????????1 分 ∵对 m∈[-1,1],不等式 a ? 5a ? 3 ≥ m2 ? 8 恒成立,可得 a ? 5a ? 3 ≥3, ????3 分
2 2



a ? 6或a ? ?1 .故命题 p 为真命题时, a ? 6或a ? ?1 . ?????????4 分
2

当命题 q 是真命题时,关于 x 的方程 x +2x+ loga 8 =0 无解, ????????????6 分 所以 Δ =4-4 loga 8 <0,可得 loga 8 ? 1 ∴?

即loga 8 ? loga a

?a ? 1 ?8 ? a

?0 ? a ? 1 或? ? 8?a

解得 1 ? a ? 8 . ????????????8 分 由于 p∨q 为真,所以 p 和 q 中至少有一个为真,

又?p∨?q 也为真,所以?p 和?q 中至少有一个为真,即 p 和 q 中至少有一个为假, 故 p 和 q 中一真一假. ????????????10 分 p 假 q 真时, ?

?? 1 ? a ? 6 ? 1? a ? 8

得1 ? a ? 6

p 真 q 假时, ?

?a ? 6或a ? ?1 ? a ? 1或a ? 8

得 a ? 8或a ? ?1

综上所述,实数 a 的取值范围是 (?? ,?1] ? (1 ,6) ? [8 ? ?) ?????????13 分

20.(本小题满分 14 分)解:(Ⅰ) f ? ? x ? ?
f ( x) 是 R 上的增函数,故 f ? ? x ? ?
即a ?
2 2

2x ? a ,????????????2 分 x ?1
2

2x ? a ? 0 在 R 上恒成立, x ?1

2x 在 R 上恒成立????????????4 分 x ?1 2x g ? x? ? 2 的最小值为 ?1 ,故知 a 的取值范围是 ? ??, ?1? ????????????7 分 x ?1

(2) f ? ? x ? ?

2x ax 2 ? 2 x ? a 2 ?a ? ? 由 f ? ? x ? ? 0 ,得 ax ? 2 x ? a ? 0 ,?????9 分 2 2 x ?1 x ?1

①当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ? x ? 0 ,即函数 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递增;

a ? 0 时,由判别式 ? ? 4 ? 4a2 ? ?4 ? a ? 1?? a ?1? 可知
②当 0 ? a ? 1 时,有 ? ? 0, f ? ? x ? ? 0 ?

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 , ?x? a a

即函数 f ? x ? 在 (

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 , ) 上单调递增; a a 1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 或x? , a a

③当 ?1 ? a ? 0 时,有 ? ? 0, f ? ? x ? ? 0 ? x ?

即函数 f ? x ? 在 (??,

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ),( , ??) 上单调递增????????????13 分 a a

21.解: (1)(选修 4—4 参数方程与极坐标)(本题满分 7 分)
解:(Ⅰ)圆 O: ? ? cos ? ? sin ? ,即 ? 2 ? ? cos? ? ? sin ? 圆 O 的直角坐标方程为: x2 ? y 2 ? x ? y ,即 x2 ? y 2 ? x ? y ? 0 ????3 分

直线 l : ? sin(? ?

?
4

)?

2 ,即 ? sin ? ? ? cos ? ? 1 2
????5 分

则直线 l 的直角坐标方程为: y ? x ? 1 ,即 x ? y ? 1 ? 0
x2 ? y2 ? x ? y ? 0 得 ?x ? 0 (Ⅱ)由 ? ? ? ? y ?1 ? x ? y ?1 ? 0

8?

故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标 为 (1,

?
2

)

????7 分


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