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空间的平面及空间两条直线的位置关系

时间:2011-03-12


一. 教学内容: 第一讲 空间的平面及空间两条直线的位置 关系 二. 重点、难点: 1. 确定平面的三个公理。

∴ D∈l 同理 E ∈ l ∴ D、E、F 三点共线

F ∈l

b c [例 2] 不共面的三个直线 a 、 、 两两相交, 求证:三线交于一点。 证明: 证明:

A ∈α A ∈ β ? ? ? A∈l ? 2. 点在线上, α ∩ β = l
3. 共面问题 (1)确定平面 α ,依次证明,点、线在 面上 (2)一部分点线在平面 α 内,一部分点 线在平面 β 上,再证 α 、 β 重合,则所有点 线共面。 4. 平行直线

a 、 b 相交确定平面 α ? b ? α b 、 c 相交确定平面 β ? b ? β
∴ α∩β =b 设a ∩c = p ∴ p ∈α ∴ p∈a ∴ p∈b

p∈c
∴ 三

p∈β

∴ p ∈α ∩ β 线交于一点

[例 3] 如图正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E、 F 为 AA1 、 CC1 中点,求证:D1、E、F、B 四点共面。

a // l ? ? ? a // b b // l ? (1)
(2)定义 (3)平行四边形判定 5. 异面直线:反证法

【典型例题】 典型例题】 [例 1] ?ABC 在平面 α 外,三边所在直线分

别交平面 α 于 D、E、F,求证:D、E、F 三 点共线。 证明: 证明: 点 连接 D1E 交 AD 于 M ∵ E 为 A1 A 中 ∴ MA=AD 同理连接 D1F 交 DC 于 N CN=CD ∵ 正方体 ∴ MA=AB=BC=CN

∴ ∠MBA = 45° 证明: 证明: 如图所示,A、B、C 确定平面 β

D ∈ AB ? ?? D∈β AB ? β ? AB ∩ α = D ? D ∈ α α∩β =l

∠ABC = 90° ∠CBN = 45° ∴ ∠MBN = 180° ∴ M、B、N 三点共线 l D1 ? l 上 ∴ D1 、 l 确定平面 α



∴ D1、E、M、B、N、F 六点共面 α [例 4] 空间不共点的四条直线两两相交,求 证:四线共面。 证明: 证明:

(1)有三线共点,如图

EF∥NG 确定平面 α 面α ′

同理 FG∥EH 确定平

∴ A、B、C、D ∈ α

A? l 上

∴ A 与 l 确定平面 α

α 与 α ′ 有三个不在同一条直线上三点 ∴ α 、 α ′ 重合 ∴ E、F、G、H、N 五点共面 α 同理 E、F、G、H、M、N 六点共面 α
∴ 正六边形 EFGHMN [例 6] a , b 为异面直线,A、B ∈ a ,C、 D∈ b 。 求证: (1)AC、BD 成异面直线 (2)AD、BC 为异面直线

∴ AB、AC、AD、 l ? α (2)无三点共线

F 确定平面 α ∴ AD、 ? α AE

A ? 直线 DEF

∴ A 与直线 D、E、 ∴ B、 ∈ α C ∴

BC ? α

∴ 四线共面 α 证明: 证明: (1)假设 AC、BD 非异面直线,则存 在平面 β 过 AC、BD 即:AC、BD ? β ∴ a 、b ? β ∴ A、B、C、D ∈ β 与已知矛盾 ∴ 假设不成立 ∴ AC、BD 为异面直线 (2)同理可证 [例 7] 确定平面 (1)空间四点可确定几个平面; (2)三条直线两两相交可确定几个平 面; (3)空间四条平行直线可确定几个平 面; (4) 一条直线与线外不共线三点可确定 几个平面。 解: (1){0,1,4} (2){1,3} (3){1,4,6}

[例 5] 如图, 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 、 E、 F、 H、 N 为各棱中点, G、 M、 求证: EFGHMN 为正六边形。

证明: 证明: 显然 EF=FG=GH=HM=MN=NE 为中点 EF∥BD

E、 F

BB1 // DD1 ? BB1 D1 D ? BD // B1 D ? ? ? NG // BD N、G为中点?



(4){1,3,4} [例 8] 如图,空间四边形 A BCD 中,G、 E ∈ BC,HF∈ AD,图中 9 条线中有异面直线 多少对。

C.

MN >

1 ( AC + BD ) 2

D.

1 ( AC + BD ) MN 与 2 无法比较
4. 分别与两条异面直线都相交的两条直线 的位置关系是( ) A. 平 行 或 相 交 B. 相 交 或 异 面 C. 平行或异面 D. 均有可能 5. a 、 b 为异面直线, a ? α , b ? β ,

解: 共 16 对 AB 与 CD AB 与 GH BC 与 AD CD 与 FG BD 与 EF BD 与 GH AB 与 GF EF 与 GH

AB 与 EF CD 与 EF BD 与 EH CD 与 GH

AB 与 EH CD 与 EH BD 与 GH EH 与 GF

α ∩ β = l ,则有( ) A. a 、 b 同时与 l 相交 B. l 至少与 a 、 b 中一条相交 C. l 至多与 a 、 b 中一条相交 D. l 与 a 、 b 中一条平行,一条相交 6. 如图正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中:
(1) 与对角线 AC1 成异面的直线的棱有 多少条? (2)与 AB 成异面直线的棱有多少条? (3)与 BD 成异面直线的棱有多少条? (4)正方体 12 条棱中异面直线共有多 少对?

(答题时间:40 分钟) 【模拟试题】 模拟试题】 1. a 、 b 异面, b 、 c 异面,则 a 、 c 的关
系为( ) A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 以上均有可能 2. 三个角为直角的四边形为( ) A. 一定为矩形 B. 一 定为空间四边形 C. 以上均有可能 D. 以 上均不正确 3. AB、CD 分别是两条异面上线段,M、N 分别是它的中点,则有( ) A.

7. 如图,E、F、G、H、M、N 为四面体 ABCD 各棱中点,求证:EF、GH、MN 三条 线既交于一点且两两平分。

MN =

1 ( AC + BD ) 2

B.

MN <

1 ( AC + BD ) 2

8. 不共面直线 a 、 b 、 c 交于一点 O,M、 P ∈ a , N ∈ b , Q ∈ c ,求证:MN、PQ 为 异面直线。

【试题答案】 试题答案】
1. D 6. 2. C 3. B 4. B 5. B

(1)6 条, BB1 , DD1 , A1 D1 , A1 B1 , CD,CB (2)4 条, B1C1 ,C1C , A1 D1 , D1 D (3)6 条, AA1 , CC1 , A1 B1 , B1C1 ,

C1 D1 , D1 A1
(4)24 对,与 AB 异面的共 4 对,12 条棱 ∴ 48 对,每一对数两遍 7. 证明:

48 = 24 2

G 分

1 ? AC ? ? 2 ? ? EH // GF ? = 1 GF // AC ? =2 ? ? EF , GH 互相平分 EH // =
同理

EHF

ENFM

∴ EF、MN 互相平

EF、GH、MN 三条线交于一点且互相平 分 8. 证明: 假设 MN、 为共面直线 PQ 面 β 过 MN、PQ ∴ MN 、 PQ ? β ∴ 存在平

a?β

0∈ β

c ? β 即 a 、 、 ? 共面 β b c ∴ b?β ∴ 与已知矛盾 ∴ 假定不成立 ∴ 原命题真


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