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2012广州二模数学(文科)试题及答案

时间:2013-01-30


2012 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 数 学(文科)
2012.4 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 l20 分钟。 注意事项: 1.答卷前。考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢 笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试 室号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相 应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信 息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在 试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题 目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上 新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。 漏涂、错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
1 参考公式:锥体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 3 一、选择题:本大题共 8 小题。每小题 5 分.满分 40 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的 1.已知集合 A 满足 A ? {1,2},则集合 A 的个数为
A.4 B.3 C.2 D.1 2.已知 i 为虚数单位,复数 z1 ? a ? i , z2 ? 2 ? i ,且 | z1 |?| z2 | ,则实数 a 的值为

A.2

B.-2
2

C.2 或-2

D.± 或 0 2

3.已知双曲线 x ?

y2 ? 1的虚轴长是实轴长的 2 倍,则实数 m 的值是 m

A. 4

B.

1 4

C. ?

1 4

D.-4

4.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加 数学竞赛,他们取得的成绩(满分 l00 分)的茎叶图如图 l, 其中甲班学生的平均分是 85,乙班学生成绩的中位数是 83.则 x ? y 的值为 A.7 B.8 C.9 D.10

5. 已知向量 OA =(3, -4),OB =(6, -3),OC =(m, m+1),

??? ?

??? ?

????

若 AB ∥ OC ,则实数 m 的值为 A. ?

??? ?

????

3 2

B. ?

1 4

C.

1 2

D.

3 2

6 已知函数 f ( x ) ? ex ? e? x ? 1 (e 是自然对数的底数),若 f ( a ) ? 2 ,则 f ( ?a ) 的值为
A.3 B.2 C.1 D.0

7.已知两条不同直线 m 、 l ,两个不同平面 ? 、 ? ,在下列条件中,可得出 ? ? ?

的是 A. m ? l , l ∥ ? , l ∥ ?
C. m ∥ l , l ? ? , m ? ? 8.下列说法正确的是

B. m ? l , ? ? ? , m ? ?
D. m ∥ l , m ? ? , l ? ?

1 在其定义域上是减函数 x B.两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件

A.函数 f ( x ) ?

C.命题“ ?x ? R,x2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R,x2 ? x ? 1 ? 0 ” D.给定命题 P、q,若 P ? q 是真命题,则 ? P 是假命 题
9.阅读图 2 的程序框图,该程序运行后输出的 k 的值为 A.9 B.10 C.11 D.12
2 2 10 . 已 知 实 数 a , b 满 足 a ? b ? 4a ? 3 ? 0 , 函 数

f ( x? )

a s i? x n

b c1的最大值记为 ?( a,b ) , ?(a ) ?o s x , 则 b

的最小值为 A.1 B.2 C. 3 ? 1 D.3

二、填空题:本大题共 5 小题。考生作答 4 小题.每小题 5 分,满分 20 分。 (一) 必做题(11~l3 题) 11.不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是
2



12.如图 3,A,B 两点之间有 4 条网线连接,每条网线 能通过的最大信息量分别为 1,2,3,4.从中任取两条 网线,则这两条网线通过的最大信息量之和为 5 的概率 是 . 13.已知点 P 是直角坐标平面 xOy 上的一个动点, |OP|= 2 (点 O 为坐标原点), M(-1, 则 cos ? OPM 点 0),

的取值范围是 . (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,若等边三角形 ABC(顶点 A,B,C 按 7? ? 顺时针方向排列)的顶点 A,B 的极坐标分别为(2, ),(2, ),则顶点 C 的极坐标 6 6 为 .
15.(几何证明选讲选做题)如图 4,AB 是圆 O 的直径,延 长 AB 至 C,使 BC=208,CD 是圆 O 的切线,切点为 D, 连接 AD,BD,则

AD 的值为 BD



三、解答题:本大题共 6 小题。满分 80 分.解答须写出 文字说明、证明过程和演算步骤。 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? (cos x ? sin x )(cos x ? sin x ) . (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)若 0 ? ? ?

?
2

,0 ? ? ?

?
2

,且 f (

?

1 ? 2 ) ? , f ( ) ? ,求 sin( ? ? ? ) 的值. 2 3 2 3

17.(本小题满分 l2 分) 甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表所示
食物类型 维生索C(单位/kg) 维生素D(单位/kg) 成本(元/k) 甲 300 700 5 乙 500 100 4 丙 300 300 3

某工厂欲将这三种食物混合成 100kg 的混合食物,设所用食物甲、乙、丙的重量分别为 x kg、 y kg、z kg. (1)试以 x、y 表示混合食物的成本 P; (2)若混合食物至少需含 35000 单位维生素 C 及 40000 单位维生素 D,问 x、y、z 取什么值时, 混合食物的成本最少? 18.(本小题满分 14 分) 某建筑物的上半部分是多面体 MN-ABCD,下半部分是长方体 ABCD-A1B1C1D1(如图 5).该 建筑物的正(主)视图和侧(左)视图如图 6, 其中正(主)视图由正方形和等腰梯形组合而成, 侧(左) 视图由长方形和等腰三角形组合而成. (1)求线段 AM 的长; (2)证明:平面 ABNM ? 平面 CDMN; (3)求该建筑物的体积.

19.(本小题满分 14 分)

已知对称中心为坐标原点的椭圆 C1 与抛物线 C2: x2 ? 4 y 有一个相同的焦点 F1,直线 l : y ? 2 x ? m 与抛物线 C2 只有一个公共点. (1)求直线 l 的方程; (2)若椭圆 C1 经过直线 l 上的点 P,当椭圆 C1 的离心率取得最大值时,求椭圆 C1 的方程及点 P 的坐标.
20.(本小题满分 14 分)
* 已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,对任意 n ? N ,都有 an ? 0 且 S n ?

( an ? 1 )( an ? 2 ) , 2

令 bn ?

ln an?1 。 ln an

(1)求数列{ an }的通项公式; (2)使乘积 b1 ? b2 ? ? k 为整数的 k( k ? N ) 叫“龙数”,求区间[1,2012]内的所有“龙数”之和; ... b
*

(3)判断 bn 与 bn ?1 的大小关系,并说明理由. 21.(本小题满分 l4 分)

1 已知函数 f ( x ) ? ln x ? ax 2 ? x,a ? R. 2

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)是否存在实数 a,使得函数 f ( x ) 的极值大于 0?若存在,求 a 的取值范围; 若不存在,说明理由.


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