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2014年高校自主招生数学模拟试题_图文

时间:2014-01-19

2013 高校自主招生数学模拟试题
一、选择题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。 1、非空集合 S ①若 m

? {x | m ? x ? l} 满足:当 x ? S 时,有 x 2 ? S .给出如下三个命题:
1 1 ,则 ? l ? 1 ; 2 4
B、 1 C、 2 D、 3

? 1 ,则 S ? {1} ;②若 m ? ?

③若 l

?

1 2 ,则 ? ? m ? 0 其中正确命题的个数是 A、 0 2 2

2、已知 ? , ? 分别满足 ? ? lg ? A、 2

? 1004, ? ? 10? ? 1004, 则 ? ?? ?
C、 2

1004

B、 1004

2008

D、 2008

3、如图,四边形 BDCE 内接于以 BC 为直径的⊙

A ,已知:
的长

3 BC ? 10, cos ?BCD ? , ?BCE ? 30? ,则线段 DE 5
是………………… ( A、 )

D

B

89

B、7
3

3

C、4+3

3

D、3+4

3

C

A

4、如果 sin A、 (0,

? ? cos3 ? ? cos? ? sin ? ,? ? (0, 2? ), 那么 x 的取值范围是
B、 (

?
4

)

? 3?
2 , 4
1998

)

C、 (

? 5?
4 , 4

)

5? , 2? ) D、 ( 4
B.星期三 C. 星期二 D.星期一

E

5、若今天是星期二,则 3

天之后是 A.星期四

6.过椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 上任一点 P,作椭圆 C 的右准线的垂线 PH(H 为垂足) ,延长 PH 到点 Q, 3 2


使|HQ|=λ |PH|(λ ≥1)。当点 P 在椭圆 C 上运动时,点 Q 的轨迹的离心率的取值范围为( A. (0,

3 ] 3

B. (

3 3 , ] 3 2

C. [

3 ,1) 3

D. (

3 ,1) 2

7. 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点为 F1、F2,过椭圆右焦点作直线 l 交椭圆于点 P、Q,则△F1PQ 内 4 3
. A 错误!未找到引用源。 D 错误!未找到引用源。 B 错误!未找到引用源。
3

切圆面积最大值是 C 错误!未找到引用源。 8、设虚数 ?

? 1, 则 ? 2 n ? ? n ? 1 ?

9、有 4 种不同颜色的小球各 5 个,从这 20 个小球中任意取出 5 个,取出的这 5 个小球中,恰有 2 种或 3 种颜色的所有取法是 10、将半径为 R 的球内部装入 4 个半径为 r 的小球,则小球半径 r 可能的最大值是 11、 (本题 10 分)若 x

? 0, y ? 0, z ? 0, 且 xyz ? 1

求证: 1 ?

1 1 1 ? ? ?2 1? x 1? y 1? z

12、 (本题 10 分)已知 P 是 ?ABC 内任一点,且满足 求

??? ? ??? ? ??? ? AP ? xAB ? yAC (x, y ? R)

y ? 2 x 的取值范围.

13、(本题 10 分)有 A、B 两人,他们每人拿了一张卡片,这两张卡片都写着一个正整数,已知两数之 差为 1。但每人只能看见对方手里的数字而不知道自己的。下面是他们两人的一段对话 : A:我不知道我拿的是什么数。 A:我还是不知道我拿的是什么数。 A:我也还是不知道我拿的是什么数。 A:我也知道我拿的是什么数了。 请判断两人拿的分别是什么数? 14 、 ( 本 题 15 分 ) 给 定 两 个 数 列 B:我也不知道我拿的是什么数。 B:我也还是不知道我拿的是什么数。 B:我现在知道我拿的是什么数了。

?xn ? , ?yn ? 满 足 x0 ? y0 ? 1 , xn

?

xn ?1 (n ? 1) , 2 ? xn ?1

2 yn ?1 yn ? (n ? 1) 。证明对于任意的自然数 n,都存在自然数 jn ,使得 yn ? x jn 1 ? 2 y n?1

15、 (本题 15 分)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,过其左焦点 F1 作一条直线交椭圆于 A,B 两点,D ( a, 0) 为 F1 52 42

右侧一点,连 AD、BD 分别交椭圆左准线于 M,N。若以 MN 为直径的圆恰好过

F1 ,求

a 的值。

模拟试题(一)参考答案
1-7 题:DBDCBCD 8、3 或 0 以下为解释:1.

4、

解: sin3 ? ? cos3 ? ? (sin ? ? cos? )
? (sin ? ? cos? )(sin 2 ? ? sin ? cos? ? cos2 ? ?1)
? (sin ? ? cos? )(2 ? sin ? cos? ) ? 0

因为 2 ? sin ? cos ? ? 0 ,所以 sin ? ? cos ? ? 0 ? x ? ? ? ,

? 5? ? ? ?4 4 ?

6 .设 P(x1, y1), Q(x, y) ,因为右准线方程为 x=3 ,所以 H 点的坐标为 (3, y)。又∵ HQ= λ PH,所以

HP ?1 ? PQ 1 ? ?

3(1 ? ? ) ? x ? ? x1 ? ,所以由定比分点公式,可得: ? ,代入椭圆方程,得 ? ? ? y1 ? y

Q 轨迹为

[ x ? 3(1 ? ? )]2 y 2 3?2 ? 2 2 3 ? ? 1 ,所以离心率 e= ? 1 ? 2 ? [ ,1) 。选 C。 2 2 3? 3 3? 2 3?
7、因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的 2 倍,且△F1PQ 的周长是定值 8,所以只需求

出△F1PQ 面积的最大值。设直线 l 方程为 x ? my ? 1 ,与椭圆方程联立得 设P

?3m

2

? 4 y 2 ? 6my ? 9 ? 0 ,

?

? x1, y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,则 y1 ? y2 ? ?
S?F1PQ ? 1 F1F2 ? y1 ? y2 ? 2 ? 1 9m2 ? 15 ?
2S?F1PQ 8 ?

6m 9 , y1 y2 ? ? ,于是 2 2 3m ? 4 3m ? 4

? y1 ? y2 ?2 ? 4 y1 y2 ? 12
? 1 9m2 ? 9 ?

m2 ? 1

?

3m2 ? 4 ?

?

2



因为

m2 ? 1

?3m

2

?4

?

2

1 m ?1
2

1 m ?1
2

1 , ? 6 16

所以内切圆半径 r ?

9 3 ?。 ,因此其面积最大值是 4 16

解:由四个小球的球心构成的四面体 O1O2O3O4 的棱长为 2r , 它的高为
2 6 r ,四面体的中心 O 到其中一个小球的球心 3
3 4

的距离为其高的 , O1O ?

6 r 2

6 6 r?r ? R?r ? R 2 3? 6

14、解答:由已知得到:

1 2 1 1 1 ? 1? ? ? 1 ? 2(1 ? ) ? { ? 1} xn xn?1 xn xn ?1 xn

为等比数列,首项为 2,公比为 2, 所以

1 1 。 ? 1 ? 2n?1 ? xn ? n?1 xn 2 ?1

( yn?1 ? 1)2 y ? 1 yn?1 ? 1 2 1 1 2 又由已知, yn ? 1 ? ? n ?( ) ? 1 ? ? (1 ? ) 1 ? 2 y n?1 yn y n?1 yn yn?1
由1 ?

解:设 P 是三角形 ABC 内任意一点,连结 AP 并延长, 交边 BC 于点 Q,则可设 AP ? ? AQ, ? ? ? 0,1?
??? ? ??? ? BQ ? ?QC, ? ? (0, ??) .

n 1 1 1 , ? 2 ? 1 ? ? 22 ? yn ? n y0 yn 2 2 ?1
??? ? ????

所以取

jn ? 2n ? 1 即可。

则 AQ ? 于是 x ?

AB ? ? AC ? AB ? ?? AC , , AP ? ? AQ ? 1? ? 1? ?

?
1? ?

,y?

?? ,? x ? y ? ? ? (0,1) . 1? ?

? 0 ? x ?1 ? 于是 x, y 满足 ? 0 ? y ? 1 , ?0 ? x ? y ? 1 ?

根据线性规划可得 y ? 2 x 的取值范围是 (?2,1) .
13、答案解析:答案是 A 为 6、B 为 7。 理由:1、“A:我不知道我拿的是什么数。”说明 B 手上至少是 2。(如是 1 则 A 为 2) 2、“B:我也不知道我拿的是什么数。”说明 A 手上至少是 3。(如是 1 则 B 为 2,如是 2 则 B 为 3) 3、“A:我还是不知道我拿的是什么数。”说明 B 手上至少是 4。(如是 2 则 A 为 3,如是 3 则 A 为 4) 4、“B:我也还是不知道我拿的是什么数。”说明 A 手上至少是 5。(如是 3 则 B 为 4,如是 4 则 B 为 5) 5、“A:我也还是不知道我拿的是什么数。”说明 B 手上至少是 6。(如是 4 则 A 为 5,如是 5 则 B 为 6) 6、“B:我现在知道我拿的是什么数了。”说明 A 手上是 6。(如是 7 以上则 B 不知自己的是什么) 7、“A:我也知道我拿的是什么数了。”说明 B 只可能是 7。 15、解答: F1 ( ?3, 0), 左准线方程为x

??

25 ;AB方程为 y ? k ( x ? 3)(k为斜率) 。 3
2 2k 2 5 ?

? y ? k ( x ? 3) ? 2 2 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 ? (1 6? 2k 5 x) ? 15 k2 0x ? y2 ?1 ? ? ? 25 16
2 150 k2 2 2k5 ? 400 2 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ? ? y1 y2 ? ( k 2 2 1 6? 2 k 5 1? 6 2 k5

得 4? 0 0

0

2 2 k5 6 x ?) ( x 3) ? ? 13 2 ? 2 1 ? 6 k2 5

设 M (?

25 25 (3a ? 25) y1 (3a ? 25) y2 , y3 ), N (? , y4 ) 。由 M、A、D 共线 y3 ? ,同理y4 ? 3 3 3(a ? x1 ) 3(a ? x2 )






????? ???? ? ????? ???? ? ????? ???? ? 16 16 F1M ? (? , y3 ), F1 N ? (? , y4 ),由已知得F1M ? F1 N ? F1M ? F1 N ? 0 3 3



256 256k 2 (3a ? 25)2 y1 y2 256 (3a ? 25)2 , ? =? y3 y 4? ? , 而y 3 y 4 ? ,即 ? 2 9 16 ? 25k 9(a ? x1 )(a ? x2 ) 9 9(a ? x1 )(a ? x2 )
整理得

(1 ? k 2 )(16a2 ? 400) ? 0 ? a ? ?5, 又a ? ?3, 所以a ? 5 。


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