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简单曲线的极坐标方程练习题有答案

时间:2017-09-21


简单曲线的极坐标方程
1.在极坐标系中,求出满足下列条件的圆的极坐标方程 圆心位置 圆心在极点(0,0) 半径为 r 圆心在点(r,0) 半径为 r π 圆心在点(r, ) 2 半径为 r 圆心在点(r,π) 半径为 r 3π 圆心在点(r, ) 2 半径为 r 极坐标方程 ρ=r (0≤θ<2π) ρ=2rcos_θ π π (- ≤θ< ) 2 2 ρ=2rsin_θ (0≤θ<π) ρ=-2rcos_θ π 3π ( ≤θ< ) 2 2 ρ=-2rsin_θ (-π<θ≤0) 过点 P(ρ0,θ0),倾斜角为 α 圆心 C(ρ0 , θ0) , 半径为 r
2 ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ2 0-r =0.

直线位置 图 形 过极点, 倾斜角为 α

极坐标方程 (1)θ=α(ρ∈R) 或 θ=α+π(ρ∈R) (2)θ=α(ρ≥0) 和 θ=π+α(ρ≥0)





过点(a,0),且 与极轴垂直

π π? ρcos_θ=a? ?-2<θ<2?

π? 过点? ?a,2?,且与极轴平行

ρsin_θ=a(0<θ<π)

过点(a,0)倾斜角为 α

ρsin(α-θ)=asin α(0<θ<π)

ρsin(α-θ)=ρ0sin(α-θ0).

3.将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程 2.在极坐标系中,求出满足下列条件的直线的极坐标方程

①x+y=0;②x2+y2+2ax=0(a≠0). (2)将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;并判定曲线形状: 1 ①ρcos θ=2;②ρ=2cos θ;③ρ cos 2θ=2;④ρ= . 1-cos θ
2

1 ④∵ρ= ,∴ρ=1+ρcos θ, 1-cos θ ∴ x2+y2=1+x, 1? 两边平方并整理得 y2=2? ?x+2?, 1 ? 故曲线是顶点为? ?-2,0?,焦点为 F(0,0),准线方程为 x=-1 的抛物线. 4.曲线 x2+y2=2 x2+y2的极坐标方程是____________. 解析:∵x2+y2=ρ2,ρ≥0,∴ρ= x2+y2, ∴x2+y2=2 x2+y2可化为 ρ2=2ρ,即 ρ(ρ-2)=0. 答案:ρ(ρ-2)=0 π? 5.曲线 ρsin? ?θ-4?=0 的直角坐标方程是______________. π? 2 2 解析:∵ρsin? ?θ-4?=0,∴ 2 ρsinθ- 2 ρcos θ=0, ∴ρsin θ-ρcos θ=0,即 x-y=0. 答案:x-y=0 6.圆 ρ=5cos θ-5 3sin θ 的圆心坐标是( 2π? A.? ?5,- 3 ? π? C.? ?5,3? 解析:选 D.∵ρ=5cos θ-5 3 sin θ, ∴ρ2=5ρcos θ-5 3ρsin θ, ∴x2+y2=5x-5 3y, 5 2 5 3? 2 x- ? +?y+ ∴? =25, ? 2? ? 2 ? 5 5 3? ∴圆心 C? ,- ,ρ= 2 ? ?2 y 5π tan θ= =- 3,θ= x 3 25 75 + =5, 4 4 ) 2π? B.? ?5, 3 ? 5π? D.? ?5, 3 ?

[思路点拨] 程,再化简.

(1)先把公式 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入曲线(含直线)的直角坐标方

(2) 先利用公式 ρcos θ= x, ρsin θ= y, ρ2 =x2+ y2 代入曲线的极坐标方程,再化 简. [解] (1)①将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入 x+y=0 得 ρcos θ+ρsin θ=0, 即 ρ(sin θ+cos θ)=0, 3π 7π ∴tan θ=-1,θ= (ρ≥0)和 θ= (ρ≥0), 4 4 3π 7π ∴直线 x+y=0 的极坐标方程为 θ= (ρ≥0)和 θ= (ρ≥0). 4 4 ②将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入 x2+y2+2ax=0 得 ρ2+2aρcos θ=0,∴ρ=0 或 ρ=-2acos θ. 又 ρ=0 表示极点,而极点在圆 ρ=-2acos θ 上 ∴所求极坐标方程为 ρ=-2acos θ (2)①∵ρcos θ=2,∴x=2,即直线 ρcos θ=2 的直角坐标方程为 x=2, 它表示过点(2,0)且垂直于 x 轴的直线, ②∵ρ=2cos θ,∴ρ =2ρcos θ,即 x +y =2x. ∴(x-1)2+y2=1,即 ρ=2cos θ 的直角坐标方程. 它表示圆心为(1,0),半径为 1 的圆. ③∵ρ2cos 2θ=2, ∴ρ2(cos2θ-sin2θ)=2, 即 ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=2, ∴x2-y2=2, 故曲线是中心在原点,焦点在 x 轴上的等轴双曲线.
2 2 2

5π? ∴圆心 C 的极坐标为 C? ?5, 3 ?. π 7.极坐标方程 ρ=cos( -θ)表示的曲线是( 4 A.双曲线 C.抛物线 ) B.椭圆 D.圆

(2)由圆的极坐标方程 ρ=4cos θ 得 ρ2=4ρcos θ, 化为直角坐标方程为 x2+y2-4x=0, 所以(x-2)2+y2=4, 所以圆心 C(2,0),半径 r=|OC|=2, 如图,在△OCP 中, π ∠POC= ,|OP|=4. 3 由余弦定理,得|PC|2= |OP|2+ |OC|2-2|OP||OC|· cos ∠POC=42+22-2×4×2cos π =12, 3 所以|PC|=2 3. [答案] (1) 3 (2)2 3

π ? 2 -θ ,即 ρ= (cos θ+sin θ), 解析:选 D.∵ρ=cos? 4 ? ? 2 2 ∴ρ = (ρcos θ+ρsin θ), 2
2

∴x2+y2=

2 2 2 2 1 2 2 x+ y,即?x- ? +?y- ? = . 2 2 4? ? 4? 4 ?

8.曲线的极坐标方程为 ρ=tan θ· 1 解析:∵ρ=tan θ· , cos θ

1 ,则曲线的直角坐标方程为__________. cos θ

11.(2015· 高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1:x=-2,圆 C2:(x-1)2+(y -2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 C1,C2 的极坐标方程; π (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ= (ρ∈R),设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△ 4 C2MN 的面积. [解] (1)因为 x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以 C1 的极坐标方程为 ρcos θ=-2,C2 的 极坐标方程为 ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0. π (2)将 θ= 代入 ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得 4 ρ2-3 2ρ+4=0,解得 ρ1=2 2,ρ2= 2. 故 ρ1-ρ2= 2,即|MN|= 2. 1 由于 C2 的半径为 1,所以△C2MN 的面积为 . 2

∴ρcos 2θ=sin θ,∴ρ2cos2θ=ρsinθ, ∴x2=y. 答案:x2=y 9.直线 2ρcos θ=1 与圆 ρ=2cos θ 相交的弦长为________. [解析] (1)由公式 x=ρcos θ,y=ρsin θ,得直线 2ρcos θ=1 的直角坐标方程为 2x =1, 圆 ρ=2cos θ?ρ2=2ρcos θ 的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0?(x-1)2+y2=1, 1 1 由于圆心(1,0)到直线的距离为 1- = ,所以弦长为 2 2 2 1?2 1-? ?2? = 3.

π 4, ?,则|CP|= 10.已知圆的极坐标方程为 ρ=4cos θ,圆心为 C,点 P 的极坐标为? ? 3? ________.


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