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【课件】23.3相似三角形的性质_图文

时间:2013-10-25

1,相似三角形有何特征?
(对应边成比例,对应角相等)

2,识别三角形相似的主要方法有 那些? 两个角对应相等的两个三角形相似。 两边对应成比例且夹角相等的两 个三角形相似 。 三边对应成比例的两个三角形相似。

某技术工人准备按照比例尺3:4的图纸制 作三角形零件,如图,图纸上的△ABC表示 该零件的横断面△A′B′C′,CD和C′D′分别 是它们的高. AB BC CA 1) ' ' ' ' ' ' 各等于多少? AB BC C A D′ D A′ A B′ B
C
AB A' B' ? BC B' C' ? CA C' A' ? 3 4

回顾与思 考

C′

2)△ABC与△A′B′C′相似吗?如果相似 请说明理由,并指出它们的相似比. AB BC CA 3 ? ? ? 因为 4 ' ' ' ' ' '
A B BC C A

所以△ABC∽△A′B′C′ 3)图中还有其它相似三角形吗?请说明理 由. △ ACD∽ △ A′C′D′ △ BCD∽ △ B′C′D′ D′ A′ B′
A D C B

C′

CD 4) C ' D '

等于多少?你是怎么做的?

探 已知△ABC∽△A′B′C′,△ABC与 索 △A′B′C′相似比为k.如果CD和C′D′分别是它
们的高,那么
CD ' ' 等于多少? CD

3 ? ? 4 C' A' C' D'

CA

CD

结论
D C

相似三角形对应高的比等于相似比.

A′
A B

D′

B′

C′

议一议
已知△ABC∽△A′B′C′,△ABC与 △A′B′C′相似比为k. 如果CD和C′D′分别是它们的对应角平分 CD 线,那么 C' D' 等于多少? A′
A D B

D′

B′

C

C′

议一议
已知△ABC∽△A′B′C′,△ABC与 △A′B′C′相似比为k. 如果AD和A′D′分别是它们的对应中线, 那么 AD' 等于多少? '
AD

A′
A D C B

D′

B′

C′

相似三角形性质:

相似三角形对应高的比、对 应中线的比、对应角平分线的 比等于相似比

一,相似三角形的基本性质: 对应边成比例,对应角相等

二,相似三角形的性质:
相似三角形对应高的比、对应中线的 比、对应角平分线的比等于相似比。

看一看:
在4×4正方形网格中
A 2 √10 B

Δ ABC与Δ A?B?C?有什么关系? (相似) 为什么?
C

√2

算一算:
Δ ABC与Δ A?B?C?的相似比 是多少? 2 Δ ABC与Δ A?B?C?的周长比 是多少? 2 面积比是多少? 2

A’ √2 B’ √5 C’ 1

想一想:

你发现上面两个相似三角形的周长比与相似比 有什么关系?面积比与相似比又有什么关系?

周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方

验一验:是不是任何相似三角形都有此关系呢?
你能加以证明吗?

已知:Δ ABC∽Δ A?B?C?,相似比为k.
求证:
ΔABC的周长 ΔA’B’C’的周长

=k

s?ABC s?A?B?C?
A’

=k2

A

B

C

B’

C’

已知:Δ ABC∽Δ A?B?C?,相似比为k. ?ABC 求证: ΔABC的周长
ΔA’B’C’的周长

=k

A

s s?A?B?C?
A’

=k2

B


C
AB BC AC ? ? ?k A?B? B?C? A?C?

B’

C’

证明:∵△ABC∽△A′B′C′,且相似比为k
(相似三角形的对应边成比例)

∴AB=kA?B?,BC=kB?C?,AC=kA?C? ∴
?ABC的周长 AB ? BC ? AC kA? B? ? kB?C? ? kA?C? ? ? ?k ?A?B?C?的周长 A? B? ? B?C? ? A?C? A? B? ? B?C? ? A?C?

已知:Δ ABC∽Δ A?B?C?,相似比为k. ΔABC的周长 ?ABC 求证: =k ΔA’B’C’的周长 ?A?B?C? A A’

s s

=k2

D? C D 如图AD和A?D?分别是BC,B?C?边上的高。 证明: ∵△ABC ∽△A′B′C′,且相似比为k ∴∠B=∠B?(相似三角形的对应角相等) ∵AD和A?D?分别是BC,B?C?边上的高。 ∴∠ADB=∠A?B?C?=90° ∴△ABD∽△A′B′D′ B

B’

C’

(有两个角对应相等的两个三角形相似) 1


BC ? AD AD AB ?ABC的面积 BC AD 2 ? ‘ ’? k ? ? ? ? k ? k ? k2 ‘ ’ AD AB ?A? B?C?的面积 1 B?C? ? A? D? B?C? A? D? 2

?1、相似三角形对应边的比 为 3∶5 , 那 么 相 似 比 为 _________,对应角的角平分 3∶5 3∶5 线的比为______,对应边的 3∶5 中线比为_______,周长的 3∶5 比 为 _____, 面 积 的 比 为 9∶25 _______。

1,把一个三角形变成和它相似的三 角形, (1)如果边长扩大为原来的5倍,那 么面积扩大为原来的 25 倍。

(2)如果面积扩大为原来的100倍, 那么边长扩大为原来的 10 倍。

2,两个相似三角形的一对对应边 分别是35厘米和14 厘米, (1)它们的周长差60厘米,这两 个三角形的周长分别是 100厘米、40厘米 ——————。 (2)它们的面积之和是58平方厘 米,这两个三角形的面积分别 是————————。 50平方厘米、8平方厘米

例1:如图,△ABC~△A'B'C',它 们的周长分别是60厘米和72厘米, 且AB=15厘米,B'C'=24厘米。求: BC、AC、A'B'、A'C'。 A A'
?

B

C B'

C'

例2:有同一块三角形土地的甲、乙 两幅地图,比例尺分别为1:200和 1:500,求甲地图与乙地图的相似 比和面积比。

因为甲、乙两幅地图都与这块三角形土地相似,
所以这两幅地图相似。 设三角形土地的某一边长为a,

甲地图的对应边为a:200,乙地图的对应边为a:500, 所以这两幅地图相似比为 a : a = 5 200 500 2 所以 它们的面积比为25:4

如图,在 ABCD中,E是AB上一 点,AC与DE相交于F,AE:EB=1:2, 求?AEF与?CDF的相似比.若?AEF 的面积为5平方厘米,求?CDF的面积。 D C

F A
E B

求三角形的三条中位线所围成的 在角形与原三角形的面积的比.

如果把一个图形按 1 : 10 的比例 缩小,那么缩小后的图形与原图 形的面积比是多少?.

2、把一个三角形扩大成和它相 似的三角形,(1)如果把边长扩 大为原来的10倍,那么面积扩大 为原来的 100 倍。 (2)如果把面积扩大为原来的10 倍,则边长应扩大为原来 的 10 倍。

3、两个相似三角形对应的中 线长分别是6cm和18cm,若 较大三角形的周长是42cm, 2,则较小三角形 面积是12cm 的周长是 14 cm,面 2。 4 积 cm
3

如图,在△ABC 中,AD:DB=1:2,DE∥BC,若 △ABC的面积为9, A 求S四边形DBCE D E

B

C

如图,在 ABCD中,E为AB延 长线上一点,AB:AE=2:5,若 2,求S S△DFC=12cm △EFB D C F

E A B

如图,在 ABCD 中, 2, AE:EB=1:2 ,若S△AEF=6cm 求S△CDF D C

F
A E

B

在△ABC中,∠C=90°,D是AC上 一点,DE⊥AB于E,若AB=10, BC=6,DE=2,求四边形DEBC的 C 面积
D

A

E


B

A 5.如图,△ABC中,点 D,E,F分别在边 F AB,AC,BC上, D DF∥BC,EF∥AB , AF:FC=2 :3, S△ABC=S, B E
求平行四边形BEFD 的面积。

C

A 如图,△ABC是一 块锐角三角形余料, 边BC=120毫米,高 E N M AD=80毫米,要把它 加工成正方形零件, 使正方形的一边在 B Q D P C BC上,其余两个顶 点分别在AB、AC上, 这个正方形零件的 AE = PN AD BC 边长是多少?
解:设正方形PQMN是符合要求的 △ABC的高AD与PN相交于点E。 设正方形PQMN的边长为x毫米。 因为PN∥BC,所以△APN∽ △ABC 所以

如图,△ABC中,BC=24㎝,高AD=12 ㎝,矩形EFGH的两个顶点E、F在 BC上,另两个顶点G、H在AC、AB 上,且EF:EH=4:3,求EF、EH的长 A K G H

B E

D F



C

如图,D、E是△ABC的边AB、AC 上的点,且∠ADE= ∠C。 求证:AD· AB=AE· AC。

A

D B

E C

如图,D是△ABC的边BC上的点,且 ∠ADB= ∠BAC。 1、图中有相似的三角形吗?为什么? 2、求证:AB2=BC· BD。

A

B

D

C

1.如图在梯形ABCD中,AD∥BC, ∠A =90°,BD⊥ DC,试问(1)请你猜想图中 有相似三角形吗?请写出来,并说明理 由。 (2)如果CD= 3,BC= 5,你能求 出哪些线段的长? A D
∟ B

C

2.如图已知∠1=∠2,若再增加一个条

件能使结论AB· ED=AD· BC成立,则这
个条件可以是_________________。

D
分析:①从角的角 度思考:∠D=∠B 或∠AED=∠C
② 从边的角度思考: AD:AB=AE:AC

A 1 2 C

B

E

如图:在Rt△ABC中,有正方形DEFG, 且E、F在斜边BC上,D、G分别在AB、 2 AC上.试说明:EF =BE· FC B
解: ∵ ∴
∴ ∴ ∴ 四边形DEFG是正方形 ∠DEB=∠GFC=90°, EF=DE=FG.

E
D

又∵ ∠B+∠C=90°,∠B+∠BDE=90° ∠BDE=∠C Rt△BED∽ Rt△GFC BE = GF ∴ ∴ BE = DE FC EF

F
G

EF
EF2=BE· FC

FC

A

C

如图:已知∠BAC=90°,BD=DC, DE⊥BC交AC于E,交BA的延长 2 线于F.试说明:AD =DE· DF C
D
分析: 由AD2=DE· DF,得

E F A B

AD = DE DF AD
故只要说明△ADE∽ △FDA即可

点评:证明乘积式时,可先将乘积式改为比例式,然后找相似三角形(或平行线)

相似三角形的性质: 1.相似三角形对应高的比等于相似比。

2.相似三角形对应中线的比等于相似比。

3.相似三角形对应角平分线的比等于相 似比。
4.相似三角形周长的比等于相似比。

5.相似三角形面积的比等于相似比的
平方。


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