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四川省成都市第七中学2017-2018学年高三数学(理)一诊分推测试(二)试题

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成都七中 2017-2018 学年高三一诊模拟测试(2) 数学理科 一、选择题:最新试卷十年寒窗苦,踏上高考路,心态放平和,信心要十足,面对考试卷,下笔如有神,短信送祝福,愿你能高中,马到功自成,金榜定题名。 1.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐 去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日 减半里,良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问:几日相逢? A.12 日 2.函数 y ? B.16 日 C.8 日 ) D.9 日 x 3 x ?1 2 的图象大致是( ?x ? y ? 3 ? 3.若实数 x, y 满足 ? x ? y ? 3 ,则 ( x ? 1)2 ? y 2 的最小值为( ?x ? 2 y ? 6 ? A. 2 2 B. 10 C. 8 D.10 ) 4.运行如图所示的程序框图, 如果在区间 [0, e] 内任意输入一个 x 的值, 则输出的 f ( x) 值不 小于常数 e 的概率是( ) A. 1 e B. 1 ? 1 e C. 1 ? 1 e D. 1 e ?1 5.已知函数 f ( x) ? f (3x) ,当 x ? [1,3) , f ( x) ? ln x ,若在区间 [1,9) 内,函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 有三个不同零点,则实数 a 的取值范围是( A. ( ) D. ( ln 3 1 , ) 3 e B. ( ln 3 1 , ) 9 3e C. ( ln 3 1 , ) 9 2e ln 3 ln 3 , ) 9 3 3 ? 1( e ex 二、填空题 6.若定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f ' ( x) ? 1 , f (0) ? 4 , 则不等式 f ( x) ? 为自然对数的底数)的解集为 . 三、解答题 7.如图,在底面为菱形的四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , E 为 PD 的中点, AB ? 2 , ?ABC ? ? 3 . (1)求证: PB // 平面 AEC ; (2)若三棱锥 P ? AEC 的体积为 1,求二面角 A ? PC ? B 的余弦值. ? x ? 1 ? cos ? ? 8.在直角坐标标系 xOy 中,已知曲线 C1 : ? ,在以原点 9 ( ? 为参数,? ? R ) y ? sin 2 ? ? ? ? 4 O 为极点, x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中(取相同的长度单位) ,曲线 ? 2 C2 : ? sin(? ? ) ? ? ,曲线 C3 : ? ? 2cos? . 4 2 (1)求曲线 C1 与 C2 的交点 M 的直角坐标; (2)设 A, B 分别为曲线 C2 , C3 上的动点,求 AB 的最小值. 9.已知函数 f ( x) ? ln( x ? 2a) ? ax , a ? 0 . (1)求 f ( x) 的单调区间; (2)记 f ( x) 的最大值为 M (a) ,若 a2 ? a1 ? 0 且 M (a1 ) ? M (a2 ) ,求证: a1a2 ? 1 ; 4 (3)若 a ? 2 ,记集合 {x f ( x) ? 0} 中的最小元素为 x0 ,设函数 g ( x) ? f ( x) ? x ,求证: x0 是 g ( x) 的极小值点. 试卷答案 一、选择题 1-5:DACBB 二、填空题 6. (0, ??) 三、解答题 7.(1)证明:如图,连接 BD 交 S AC 于点 O ,连接 OE , ∵点 O, E 分别为 BD , PD 的中点,∴ OE // PB . 又 PB ? 平面 AEC , OE ? 平面 AEC ,∴ PB // 平面 AEC (2)解: V三棱锥P ? AEC ? V三棱锥P ? ACD ? V三棱锥E ? ACD ? 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? sin ? PA ? 1 ,∴ PA ? 2 3 . 2 3 2 3 ∵底面四边形为菱形, AB ? 2 , ?ABC ? 1 1 1 V三棱锥P ? ACD ? ? ? S ?ACD ? PA 2 2 3 ? 3 , ∴ OA ? OC ? 1 , OB ? OD ? 3 , OB ? OC 如图,以 O 为原点建立空间直角坐标系, PA // z 轴, 则 O(0,0,0) , A(0, ?1, 0) , B( 3,0,0) , C (0,1, 0) , P(0, ?1, 2 3) . 设平面 PBC 的法向量为 n ? ( x, y, z) ∵ BC ? (? 3,1,0) , PC ? (0, 2, ?2 3) , ∴? ? ? BC ? n ? ? 3x ? y ? 0 ? ? PC ? n ? 2 y ? 2 3z ? 0 ,∴ n ? (1, 3,1) . ∵ PA ? 平面 ABCD , OB ? 平面 ABCD ,∴ OB ? PA 又∵ OB ? AC , AC ∴ OB ? 平面 PAC , ∴平面 PAC 的法向量为 OB ? ( 3,0,0) , PA ? A , AC , PA ? 平面 PAC , ∴ cos n, OB ? n ? OB n OB ? 3 5 ? 5 3? 5 由图可知二面角 A ? PC ? B 的平面角是锐角, ∴二面角 A ? PC ? B 的余弦值为 5 . 5 ? x ? 1 ? cos ? 9 5 ? 2 2 8.由 C1 : ? 9 ,得 y ? ? ? 1 ? cos ? ? ? ? ( x ? 1) 2 4 4 y ? sin ? ? ? ? 4 ∴曲线 C1 的普通方程为 y ? ? 由 C2 : ? sin(? ? 5 ? ( x ? 1) 2 ( 0 ? x ? 2

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