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高中数学 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)学案 新人教A版必修4

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1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
学习目标:1.掌握 y=sin x,y=cos x 的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和 最值. 2.掌握 y=sin x,y=cos x 的单调性,并能利用单调性比较大小. 3.会求函数 y=Asin(ω x+φ )及 y=Acos(ω x+φ )的单调区间. 学习重点:y=sin x,y=cos x 的单调性与最值。 学习难点:函数 y=Asin(ω x+φ )及 y=Acos(ω x+φ )的单调区间 【学法指导】 1.在研究正弦、余弦函数的性质时,要充分借助正弦、余弦曲线,注意数形结合思想方法 的运用. 2.正弦函数和余弦函数在定义域上都不是单调函数.研究正弦函数的变化趋势时首先选取

?-π ,3π ?这一周期区间,然后推而广之;研究余弦函数的变化趋势时首先选取[-π , ? 2 2 ? ? ?
π ]这一周期区间,然后根据周期推广到整个定义域. 3.研究形如 y=Asin(ω x+φ )或 y=Acos(ω x+φ )的单调性时,注意 A、ω 的符号对函数 单调性的影响以及整体换元思想方法的应用. 一.知识导学 正弦函数、余弦函数的性质: 函数 y=sin x y=cos x

图象

定义域 值域 对称性 奇偶性 周期性 最小正周期: 最小正周期: 对称轴: 对称中心: ; 对轴称: 对称中心: ;

单调性

在______________________ 上单调递增; 在_______________ ________ 上单调递减

在________ 在

___________ 上单调递增; 上单调递减

最值

在_________________时,ymax=1; 在_______________时,ymax=1; 在________________时,ymin=-1 在__________________时,ymin=-1

二.探究与 发现 【探究点 一】正、余 弦函数的定 义域、值域 正弦曲线:

余弦曲线:

由正、 余弦曲线很容易看出正弦函数、 余弦函数的定义域都是实 数集 R,值域都是 . 对于正弦函数 y=sin x,x∈R 有: 当且仅当 x= 时,取得最大值 1;当且仅当 x= 时,取得最小值-1. 对于余弦函数 y=cos x,x∈R 有: 当且仅当 x= 时,取得最大值 1;当且仅当 x= 小值-1. 【探究点二】正、余弦函数的单调性 正弦函数和余弦函数都是周期函数,且周期都是 2π ,首先研 究它们在一个周期区间上函数值的变化情况,再推广到整个定义 域.

时,取得最

? π 3π ? (1)函数 y=sin x,x∈?- , ?的图象如图所示: 2 ? ? 2
观察图象可知: 当 x∈__________时,曲线逐渐上升,是增函数,sin x 的值由-1 增大到 1; 当 x∈__________时,曲线逐渐下降,是减函数,sin x 的值由 1 减小到-1. 推广到整个定义域可得: 当 x∈___________________________时,正弦函数 y=sin x 是增函数,函数值由-1 增 大到 1; 当 x∈___________________________时,正弦函数 y=sin x 是减函数,函数值由 1 减小 到-1. (2)函数 y=cos x,x∈[-π ,π ]的图象如图所示:

观察图象可知: 当 x∈__________时,曲线逐渐上升,是增函数,cos x 的值由-1 增大到 1; 当 x∈__________时,曲线逐渐下降,是减函数,cos x 的值由 1 减小到-1. 推广到整个定义域可得: 当 x∈___________________________时,正弦函数 y=cos x 是增函数,函数值由-1 增 大到 1; 当 x∈___________________________时,正弦函数 y=cos x 是减函数,函数值由 1 减小 到-1. 【探究点三】函数 y=Asin(ω x+φ )(或 y=Acos(ω x+φ ))(A>0)的单调性 确定函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0)单调区间的方法是: 当 ω >0 时,把 ω x+φ 看成一个整体,视为 X。 π π 若把 ω x+φ 代入到 y=sin X 的单调增区间,则得到 2kπ - ≤ω x+φ ≤2kπ + 2 2 (k∈Z), 从中解出 x 的取值区间就是函数 y=Asin(ω x+φ )的增区间. π 3 若把 ω x+φ 代入到 y=sin X 的单调减区间,则得到 2kπ + ≤ω x+φ ≤2kπ + 2 2 π (k∈Z), 从中解出 x 的取值区间就是函数 y=Asin(ω x+φ )的减区间. 当 ω <0 时,先利用诱导公式把 x 的系数转化为正数后,再根据复合函数确定单调区间 的原则(即同则增,异则减)求解. 余弦函数 y=Acos(ω x+φ )的单调区间类似可求.

? 1 π? 请同学们根据上面介绍的方法,写出求函数 y=sin?- x+ ?单调递增区间的求法. 3? ? 2

例 1.利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小.

? π? ? π? (1)sin?- ?与 sin?- ?; ? 18? ? 10?
(2)sin 196°与 cos 156°;

? 23 ? ? 17 ? (3)cos?- π ?与 cos?- π ?. ? 5 ? ? 4 ?
小结 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时, 应先将异名化同名, 把不在同一单调区 间内的角用诱导公式转化到同一单调区间,再利用单调性来比较大小. 跟踪训练 1。比较下列各组数的大小. 49 ? 37 ? (1)sin?- π ?与 sin π ; 3 ? 6 ? (2)cos 870°与 sin 980°.

? 1 π? 例 2.求函数 y=1+sin?- x+ ?,x∈[-4π ,4π ]的单调减区间. 4? ? 2

小结 确定函数 y=Asin(ω x+φ )或 y=Acos(ω x+φ )单调区间的基本思想是整体换元思 想,即将 ω x+φ 视为一个整体.若 x 的系数为负,通常利用诱导公式化为正数再求 解.有时还应兼顾函数的定义域. 跟踪训练 2。求函数 y=

log 1

2

(cos 2x)的单调递增区间.

例 3.求函数 y=sin2x-sin x+1,x∈R 的值域.

小结 形如 f(x)=asin2x+bsin x+c(a≠0)的函数值域问题,可以通过换元转化为二次函 2 数 g(t)=at +bt+c 在闭区间[-1,1]上的最值问题.要注意,正、余弦函数值域的 有界性,即当 x∈R 时,-1≤sin x≤1,-1≤cos x≤1 对值域的影响. 跟踪训练 3。求函数 y=cos2x+4sin x 的最值及取到最大值和最小值时的 x 的集合.

三.巩固训练

? π? 1.函数 f(x)=sin?x+ ?的一个递减区间是 ( 6? ? ? π π? A.?- , ? ? 2 2?
B.[-π ,0] ( )

) D.?

2 ? ? 2 C.?- π , π ? 3 ? ? 3

?π ,2π ? ? ?2 3 ?
D. sin 2>cos

2.下列不等式中成立的是 ? π? ? π? A. sin?- ?>sin?- ? ? 8? ? 10? 1

B. sin 3>sin 2

7 ? 2 ? C. sin π >sin?- π ? 5 ? 5 ?

四.小结 1.求函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)单调区间的方法是: π π 把 ω x+φ 看成一个整体,由 2kπ - ≤ω x+φ ≤2kπ + (k∈Z)解出 x 的范 2 2 π 3 围,所得区间即为增区间,由 2kπ + ≤ω x+φ ≤2kπ + π (k∈Z)解出 x 的范围, 2 2 所得区间即为减区间.若 ω <0,先利用诱导公式把 ω 转化为正数后,再利用上述整体

思想求出相应的单调区间. 2.比较三角函数值的大小,先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数 值的大小比较,再利用单调性作出判断. 3.求三角函数值域或最值的常用求法 将 y 表示成以 sin x(或 cos x)为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方或利 用函数的单调性等来确定 y 的范围.


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