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2009-2012年合肥一中冲刺高考最后一卷·理科数学

时间:2014-07-14


合肥一中 2012 冲刺高考最后 1 卷 理科数学试题
参考公式 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)= P(A)+ P(B) ; 如果事件 A,B 相互独立,那么 P(A·B)= P(A) ·P(B) ; 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
k k P( X ? k ) ? Cn p (1 ? p)n?k ;

如果 A 与 B 是两个任意事件, P( A) ? 0 ,那么 P( AB) ? P( A)P(B A) ; 假设两个分类变量 X 和 Y,它们的值域分别为 {x1 , x 2 }和 { y1 , y 2 } ,其样本的 2 ? 2 列联表如下: Y X

y1

y2
b

合计

x1
x2
合计

a
c

a?b

d
b?d

c?d
a?b?c?d

a?c

K2 ?
于 5)

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d 。 (在实际应用中,通常要求 a,b,c,d 都不小 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P( K 2 ? k0 )

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024]

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k0

第 I 卷(选择题,共 50 分)
一. 选择题(本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 共 50 分. 在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符 合题目要求的)

z ? 2 ? i ,其中 i 为虚数单位,则 z 的共轭复数为( ) i A. 2 ? i B. 1 ? 2i C. ? 1 ? 2i D. 1 ? 2i 2、已知等差数列 {an } 满足: a1 ? ?8, a2 ? ?6 .若将 a1 , a4 , a5 都加上同一个数,所得的三个数依次成等
1、已知复数 z 满足
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比数列,则所加的这个数为( A.0 B.1



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C. ?1

D.2

3、已知某几何体的三视图如图所示,其中侧(左)视图是边长为 2 的正 三角形,正(主)视图是矩形,该几何体的体积是( A. 3 3 B. 3 C. 6 D. 6 3
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4、 设 A 、B 是两个非空集合, 定义 A ? B ? {x | x ? A

B 且 x ? A B} , 已知 A ? x | y ?

?

3x ? x

2

?



B ? {y | y ? 2 , x ? 0} ,则 A ? B ? (
A. ?0?

?x

) C. [0,1] D. [1,3]

?1,3?
2

B. ?0? )

(1,3]

5、下列命题错误的是(
2

A.命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为“ 若 x ? 1, 则x2 ? 3x ? 2 ? 0 ” ;


B.若命题 p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p为:?x ? R,x2 ? x ? 1 ? 0 ; C.

?0

1

1 ? x 2 dx ? ?
2

e1 1x

dx ;

D. “ x ? 2 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件; 6、设函数 y ? sin 2x ? 3 cos 2x 的图象关于点 P(x0,0)成中心对称,若 x 0 ? ?? , 0 ,则 x0=( ? 2 ? ? A. ? 2

? ?

?



?

B. ? 3

?

C.

?

?
6
D.

0
?

7、已知两个单位向量 a 和 b 的夹角为 135 ,则当 A. (??, 0) B. (0, 2)

a ? ? b ? 1 时 ? 的取值范围是(
D. ? ??, 0 ? ?



C.

?

2, ??

?

?

2, ??

?
( )

8、已知实数 x , y 满足

x2 y 2 = 1(a > 0, b > 0) ,则下列不等式中恒成立的是 a 2 b2
b x 2a
C. y > -

A. y <

b x a

B. y > -

b x a

D. y <

2b x a

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9、已知定义在 R 上偶函数 f ( x) ,且 f (1) ? 0 ,当 x ? 0 时有 集为( ) B.

xf ' ( x) ? f ( x) ? 0 ,则不等式 xf ( x) ? 0 解 x2

A. {x ?1 ? x ? 0} C. {x x ? 0}

{x x ? 1或 ? 1 ? x ? 0}

D. {x | ?1 ? x ? 1}

10、如图,在 6 块不同区域组成苗圃中种植 A、B 两种不同的植物(两种植物都 要种植) ,要求每块区域只种一种植物,相邻区域不能同时种植植物 A,则各 有 3 块区域分别种植 A、B 的概率是( )

A.

2 21

B.

4 21

C.

1 5

D.

1 10

第 II 卷(非选择题,共 100 分)

二.填空题(本大题有 5 小题, 每小题 5 分, 共 25 分. 请将答案填写在答题卷中的横线上) 11.已知 f ( x) ? ln(1 ? x), 求 lim
x ?0

f ( x) = x
.

12. 如图所示的程序框图中,循环体执行的次数是

13 有两个变量 x 与 y,其一组观测值如下面的 2×2 列联表 所示: y x x1 x2 y1 a 15-a y2 20-a 30+a

当 a 取某些正整数(通常情况下)时,在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下 认为“x 与 y 之间有关系”,试写出 a 的最小值等于 (参考数据: 33.5 ? 1122 .25 ; 33.6 ? 1128 .96 )
2 2
2 14.已知随机变量 X 服从正态分布 N (3, ? ) , P( X ? 6) ? 0.72 ,则 P( X ? 0) ?



15.若函数 y ? f ( x) 对定义域中的每一个值 x1 , 都存在唯一的 x2 , 使 f ( x1 ) f ( x2 ) ? 1 ,则称此函 数为“滨湖函数”,下列命题正确的序号是 ① y ? ln x是“滨湖函数” ; 。 (把你认为正确的序号都填上)

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②y?? ?

?

1 ,x ?0 ; 是“滨湖函数” x ? ? x ? sin x, x ? 0

x ③ y ? e 是“滨湖函数” ;

④ 若 y ? f ( x), y ? g ( x)是“滨湖函数”,定义域相等, 则y ? f ( x) g ( x)是“滨湖函数” ; ⑤ 若 y ? f ( x), y ? g ( x)是“滨湖函数”,定义域相等, 则y ? f ( x) ? g ( x)是“滨湖函数” 三. 解答题(本大题有 6 小题, 共 75 分. 解答应写出字说明, 证明过程或演算步骤) 16. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 △ABC 中 , 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c , 且

4 sin A

A ? s2 i n ?( ? ) A c? o s 2? . 3 2 4

1

(Ⅰ)求角 A 的度数; 1 (Ⅱ)若 A 为锐角,b =4,sinC= sinA,求边 c 的长. 2

17.(本小题满分 12 分)如图,在长方形 ABCD 中, AB ? 3, AD ? 3 。现将 ?ABD 沿 BD 折起,使平 面 ABC ? 平面BCD 。 (Ⅰ)求证 AB ? 平面ACD ; (Ⅱ)求二面角 A-BD-C 的余弦值.

18.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? x ? )e (a ? 0)
2 ax

1 a

(I)求曲线 y ? f ( x) 在点 A(0, f (0)) 处的切线方程; (II)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (III)当 a ? 0 时,若不等式 f ( x) ?

3 ? 3 ? ? 0, 对x ? ?? , ?? ? 恒成立,求 a 的取值范围。 a ? a ?

19.(本小题满分 13 分)一项“过关游戏”的规则规定:在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次,如果这 n 次抛掷 所出现的点数之和大于 2 ,则算过关。 (注:骰子是一个在各面上分别有 1,2,3,4,5,6 点数的均匀正 方体。抛掷骰子落地静止后,向上一面的点数为出现点数) 问: (Ⅰ)某人在这项游戏中最多能连过几关?
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n

(Ⅱ)他连过前 3 关的概率是多少? (Ⅲ)如果此人每天玩一次此“过关游戏” ,连玩十天,每天互不影响;这十天中的能连过前 3 关的天数为 X, 求 X 的期望与方差。 20.(本小题满分 13 分)如图所示,过 A(1, 0) 的动直线依次交抛物线

x2 ? 2 y ,直线 y=x 于点 B、C、D ,求证:

AB AD

?

CB CD



21.(本小题满分 13 分)数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ?

5 ? ? (? ? 0) , n ? 1, 2,3, 2 an

.

(Ⅰ)设 ? c ? 1, , bn ?

5 2

1 ,求数列 ?bn ? 的通项公式; an ? 2

(Ⅱ)求使不等式 an ? an?1 ? 2 成立的 ? 的取值范围 .

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参考答案
一、选择题 1、 D 2、 C

z ? i (2 ? i) ? 1 ? 2i ,故 z 的共轭复数为 1 ? 2i 。
公差 d ? 2 ,由 (a4 ? x)2 ? (a1 ? x) (a5 ? x),

得 x ? ?1 。 ? 3 2? 3、 A 该几何体是底边长 2,高为 3 的正三棱柱,即体积 V ? ? ? 4 ?2 ? ? 3?3 3 ? ? 2 ?x 4、 A A ? x | y ? 3 x ? x ? ? x | 0 ? x ? 3? , B ? { y | y ? 2 , x ? 0} ? ? y | 0 ? y ? 1? ,

?

?

B ? A ,故 A? B ? ?A B ? ?0? ??1,3?
5、C

?0

1

1 ? x 2 dx ?

?
4

,

? 1 x dx ? 1

e1

6、 C

? ? k? ? y ? 2sin(2 x ? ) ,由 2sin(2 x0 ? ) ? 0, 得x0 ? ? ,k ?Z 3 3 2 6
(a ? ?b) 2 ? 1, a 2 ? 1, b 2 ? 1, a ? b ? ?
当x ? 0时, y ?

7、 D 8、 D

2 , 得? (? ? 2 ) ? 0 2

b b b 2b x;当x ? 0时, y ? ? x, 故y ? | x |, 即y ? | x| a a a a
'

xf ' ( x) ? f ( x) ? f ( x) ? ? 0即? 9、B 当 x ? 0 时有 ? ?0 2 x ? x ?

?

f ( x) 在 ?0,??? 上单调递增, ? f ( x) 为 R 上偶函数, ? xf ( x) 为 R 上奇函数 x f ( x) f ( x) ? 0, ?0 ? xf ( x) ? 0 , ? x2 ? x x f ( x) f (1) ?0 在 ?0,??? 上单调递增,且 ? x 1

? x ? 0时x ? 1 ,

又? xf ( x) 为 R 上奇函数,

? x ? 0时 ? 1 ? x ? 0

综上,解集为 {x x ? 1或 ? 1 ? x ? 0}

10、C

记 n 块区域中任意种植 A、B 的方法为 an ,则 a1 ? 2, a2 ?3, a n? a n ,故 a6 ? 21,从而在 2 ?a n 1 ? ?

6 块不同区域组成苗圃中种植 A、B 两种不同的植物的方法为 21-1=20,又由插空法得各有 3 块区域分别种 植 A、B 的方法为 C4 ? 4 ,所以概率 P ?
3

4 1 ? 。 20 5

二、填空题 11、1 用导数定义得 1 12、49

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13、8

由题意知:k ? 2.706,而 k=

65? a((30 ? a) ? (15 ? a)(20 ? a)? 15 ? 50 ? 45 ? 20

2



13 ( 13a ? 60) 2 , ? 2.706,即 13a-60>33.5 或 13a-60<-33.5(舍) 90 ? 60

∴a>7.2.∴取 a=8 满足题意. 14、0.28

P( X ? 6) ? 1 ? P( X ? 6) ? 0.72, ? P( X ? 6) ? 0.28, P( X ? 0) ? P( X ? 6)

? P( X ? 0 ) ? 0.28
15、② ③ ①当 x ? 1 时 ln x ? 0 此时不满足, ④ ⑤举反例 三、解答题 16、 (I)由 4sin A sin (
2

A ? ? ? ? ? ) ? cos 2 A ? 3 ? 1 得: 2sin A ?1 ? cos( A ? ) ? ? cos 2 A ? 3 ? 1 2 4 2 ? ?

2sin A(1+sin A) ? 1 ? 2sin 2 A ? 3 ? 1,sin A ?
(II)法 1:

? 2? 3 , 0 ? A ? ? ,? A ? , 或 . 3 3 2


A 为锐角,? A ?

?
3

, sin C ?

1 3 sin A ? 2 4
13 4

由已知得: c ?

1 a ? a , 角 C 为锐角 2

? cos C ?

可得:

sin sinB A ? sin(
由正弦定理

2? 3( 13 ? 1) ? C) ? 3 8

b c 2 13 ? 2 ? 得: c ? . 3 sin B sin C

法 2:由 sin C ?

1 sin A 得: 2c ? a , 由余弦定理知: (2c)2 ? c2 ? 16 ? 8c cos60 2
c? ?2 ? 2 13 3
c?0

即: 3c 2 ? 4c ? 16 ? 0

?c ?

2 13 ? 2 3

17. (I)∵平面 ABC ? 平面BCD ,

平面ABC ? 平面BCD=BC,DC ? BC,DC ? 平面BCD ? DC ? 平面ABC , DC ? AB ? AB ? DC , 又AB ? AD,DC AD=D DC、AD ? 平面ADC ? AB ? 平面ADC

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(??)过A作在平面ABC中,AE ? BC , 又平面ABC ? 平面BCD ? AE ? 平面BCD, 过E在平面BCD中作EF ? BD, 连接AF , 易得AF ? BD, ??AFE是二面角A ? BD ? C的平面角 在直角三角形AEF中,经计算得(铺平后再算) 3 1 EF 1 AF= , EF ? ? COS ?AFE ? ? 2 2 AF 3 1 ? 二面角A ? BD ? C的余弦为 . 3
18、 (1) f '( x) ? e (ax ? 2)( x ? 1), f (0) ? ?
ax

1 , f '(0) ? ?2 a

1 ?0 a 2 (II)令 f ?( x) ? 0, 则 x ? ? , 或x ? 1 a 2 2 当 a ? ?2 时, f ( x)在(??, ? )和(1, ??)上单调递减,在( ? ,1)上单调递增 a a
所以切线方程为 2 x ? y ?

当a ? ?2时,f '( x) ? 0, f ( x)在R上减函数
当 ?2 ? a ? 0 时, f ( x)在(??,1)和(? (III)当 a ? 0 时,

2 2 , ??)上单调递减,在(1,? )上单调递增 a a
2 ( ? ,1) a
减 1 0 极小值

x
f '( x) f ( x)

3 2 (? , ? ) a a
+ 增

?

2 a

(1, ??)
+ 增

0 极大值

3 f (? ) ? 0, f (1) ? 0 a 1 ? f (1) ? ? e a为最小值 a

1 3 ? 3 ? ?? ea ? ? 0对x ? ?? , ?? ? 恒成立 a a ? a ?

?a ? ? 0,ln3?
19、由于骰子是均匀的正方体,所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。 (Ⅰ)因骰子出现的点数最大为 6,而 6 ? 4 ? 2 , 6 ? 5 ? 2 ,因此,当 n ? 5 时,n 次出现的点数之和
4 5

大于 2 已不可能。即这是一个不可能事件,过关的概率为 0。所以最多只能连过 4 关.

n

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(Ⅱ)设事件 An 为“第 n 关过关失败” ,则对立事件 An 为“第 n 关过关成功”. 第 n 关游戏中,基本事件总数为 6 个. 第 1 关:事件 A1 所含基本事件数为 2(即出现点数为 1 和 2 这两种情况) ,
n

? 过此关的概率为: P ( A1 ) ? 1 ? P ( A1 ) ? 1 ?

2 2 ? . 6 3

第 2 关:事件 A2 所含基本事件数为方程 x ? y ? a 当 a 分别取 2,3,4 时的正整数解组数之和. 即有
1 1 1 C1 ? C2 ? C3 ? 1 ? 2 ? 3 ? 6 (个).

? 过此关的概率为: P( A2 ) ? 1 ? P( A2 ) ? 1 ?

6 5 ? . 62 6

第 3 关:事件 A3 所含基本事件为方程 x ? y ? z ? a 当 a 分别取 3,4,5,6,7,8 时的正整数解组数
2 2 2 2 2 2 之和。即有 C2 ? C3 ? C4 ? C5 ? C6 ? C7 ? 1? 3 ? 6 ? 10 ? 15 ? 21 ? 56 (个).

? 过此关的概率为: P( A3 ) ? 1 ? P( A3 ) ? 1 ?

56 20 ? . 63 27 2 5 20 100 ? 故连过前三关的概率为: P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? ? ? . 3 6 27 243
(说明:第 2,3 关的基本事件数也可以列举出来)

(Ⅲ)∵X~B(n,p)∴EX=np=

1000 143000 ,DX=np(1-P)= 243 2432

20. 设 B( x1 , y1 ), C( x0 , y0 ), D( x2 , y2 ),

令BA ? ? AD(?1 ? ? ? 0), BC ? kCD(0 ? k ? 1)
则 (1 ? x1 ,0 ? y1 ) ? ? ( x2 ?1, y2 ) ,

( x0 ? x1, y0 ? y1 ) ? k ( x2 ? x0 , y2 ? y0 )

?

y1 y y y 2 ? y22 ( y1 ? y2 )2 ? 2 y1 y2 1 ? ?? , 1 ? 2 ? 1 ? ? ?(? ? ) y2 y2 y1 y1 y2 y1 y2 ?

(1) , (2)

y1 ? y0 y ?y y ?y ( y ? y )2 ? ( y2 ? y0 )2 1 ? ?k , 1 0 ? 2 0 ?? 1 0 ? ?(k ? ) y2 ? y0 y2 ? y0 y1 ? y0 ( y1 ? y0 )( y2 ? y0 ) k
1 ? x0 ? ? ? 1? m 令 AB 的方程: x ? my ? 1 与y ? x联立 解得 ? ?y ? 1 0 ? 1? m ?
x ? my ? 1 与x2 ? 2 y联立 解得 m2 y 2 ? (2m ? 2) y ? 1 ? 0
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(3)

1 2(1 ? m) 1 ?? ? 0, m ? 且m ? 0; y1 ? y2 ? , y1 y2 ? 2 2 2 m m

(4)

2m2 ? 8m ? 4 由( 1)、(4)得-(? + )= , (?1 ? ? ? 0) ? m2 1

(5)

2(1 ? m) 2 2 2 2(1 ? m) 2 ) ? 2? ? 2 2 1 m m 1? m m (1 ? m) 2 由(2)、(3)、(4)得-(k+ )= , 1 1 2(1 ? m) 1 k ? ? m2 1 ? m m2 (1 ? m) 2 ( ?(4m3 ? 18m 2 ? 16m ? 4) 2 m 2 ? 8m ? 4 (1 ? m) 2 m 4 ? ?? , (0 ? k ? 1) 1 2m ? 1 m2 (1 ? m) 2 m 2
由(5) 、 (6)得 -(? +

(6)

1 )=k + (0 ? k ? 1, 0 ? ?? ? 1) ? k


1

? ?? ? k ,

AB AD

?

CB CD

21、 (Ⅰ)由已知, an ?1 ? 2 ?

a ?2 2an 5 1 1 4 ? ?2 ? n ,? ? ? ?2, 2 an an an?1 ? 2 an ? 2 an ? 2

? bn ?1 ? 4bn ? 2,? bn ?1 ? bn ?

1 2 2 2? ? ? 4(bn ? ) ,? ?bn ? ? 是一个首项为 ? ,公比为 4 的等比数列. 3 3 3 3? ?

2 1 1 2 ? ? 4n ?1 ,? bn ? ? 4n ?1 ? 。 3 3 3 3

5 3 3 ? ? , 由 a2 > a1 得 0 ? ? ? ,下面用数学归纳法证明:当 0 ? ? ? 时, an ? an?1 . 2 2 2 5 (ⅰ)当 n ? 1 时, a2 ? ? ? ? 1 ? a1 , 命题成立; 2
(Ⅱ) a1 ? 1, a2 ?
* (ⅱ)假设当 n ? k k ? N 时, ak ? ak ?1 ,那么,当 n ? k ? 1 时, ak ? 2 ?

?

?

5 ? 5 ? ? ? ? ? ak ?1 , 2 ak ?1 2 ak

故由(ⅰ) (ⅱ)得:当 0 ? ? ?

3 * 时,对于任意 n ? N , an 2

? an?1 .

5 25 ? ? 4? ? ? 5 2 4 3 ? an ?1 ? ? ,得 an ? ? . 当 0 ? ? ? 时,令 ? ? ,由 an ? 2 2 an an 2
当1 ? ? ?

3 时, an ? ? ? 2 . 2
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当 0 ? ? ? 1 时, ? ? 2 ,且 1 ? an ? ? ,于是,

? ? an?1 ?
当 n ? log 2

? 1 1 (? ? an ) ? (? ? an ) ? 2 (? ? an?1 ) ? ? an 2 2

?

1 1 (? ? a1 ) ? n (? ? 1) , n 2 2

? ?1 时, ? ? an?1 ? ? ? 2,即an?1 ? 2 ,故 0 ? ? ? 1 不合要求. ? ?2
3 . 2

所以 ? 的取值范围是 1 ? ? ?

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安徽合肥一中 2011 年冲刺高考模拟最后一卷

(数学理)
注意事项: 1.选择题用答题卡的考生,答第 I 卷前,考生务必将自己的姓、准考证 号、试题证号、试题科目用 2B 铅笔涂写在答题卡上。 2.选择题用答题卡的考生,答第 I 卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案 标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷和答题卷的选择题栏 中;不用答题卡的学生,在答第 I 卷时,每小题选出答案后,填涂在答题卷相应的选择题栏上。 3.答第 I I 卷时,考生务必将自己的学校、姓名、考点、准考证号填在答题卷相应的位置上;答题时, 请用 0.5 毫米黑色签字笔 直接答在答题卷上,不要在试题卷上答题。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) S ? 4?R 2 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A· B)=P(A)· P(B) 其中 R 表示球的半径 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式
[来源:学+科+网]

P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k
k k 次的概率 Pn (k ) ? Cn P (1 ? P) n?k

4 V ? ? R3 3

其中 R 表示球的半径

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的,请将答案按要求涂写在答题卡或答题卷上。 1.已知 i 是虚数单位,若 a ? bi ? A.0

i i ? (a, b ? R) ,则 a ? b 的值是 2?i 2?i 2 2 2 B. ? i C. ? D. 5 5 5





2.已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,且 a ? (a ? b) ? 2 ,则 a 与 b 的夹角为 A.





?
6

3 2 2 | 2x ? 5 | 1 ? 1}, B ? {x | log 0.5 ( x 2 ? 4 x ? 4) ? 0}, C ? {x | 2 x ?3 x ?1 ? } ,则“ x ? A B ” 3.若集合 A ? {x | 2x ? 5 2 是“ x ? C ”的 ( )
A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.在极坐标中,过 点(2,0)并且与极轴垂直的直线方程是 A. ? ? 2 cos ? B. ? ? 2sin ? C. ? cos ? ? 2 D. ? sin ? 2

B.

? 4

C.

?

D.

?





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5.已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸 (单位:cm) ,可得这个几何体的表面积是 ( ) A. 2(1 ? 6)cm2 B. 4(1 ? 2)cm2 C. 2(2 ? 6)cm2 D. 2( 3 ? 6)cm2 6.已知数列 {an } 为等差数列,若 值为 A.11 7.双曲线

[来源:Z*xx*k.Com]

a11 ? ?1 ,且它们的前 n 项和 Sn ,有最大值,则使得 Sn ? 0 的 n 的最小 a10
( ) C.20 D.21

B.19

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 的焦点相同,若过右焦点 F 且倾斜角为 60 ? 的直线 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 与椭圆 25 9 a 2 b2
( ) B. ? 2, 4? C. ? 2, 4 ? D. (2, ??)

与双曲线的右支有两个不同交点,则此双曲线实半轴长的取值范围是 A. (2,4)

? x ? 0, ? 2 2 8.已知实数 x, y 满足约束条件 ?3 x ? 4 y ? 4, 则 x ? y ? 2 x 的最小 值是 ? y ? 0, ?
A.





2 5

B. 2 ? 1

C.

24 25

D.1

9.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) ,其导 函数 f '( x ) 的部分图像如图所示,则函数 f ( x ) 的解析式为( A. f ( x ) ? 2sin( x ? C. f ( x ) ? 2sin( x ? )

1 2

?
4 )

)

?
4

1 ? ) 2 4 1 3? ) D. f ( x) ? 4sin( x ? 2 4
B. f ( x ) ? 4sin( ?

10.把一个正方体的每个角沿各棱的中点都截去一个三棱锥,变成一个新的几何体,那么在新几何体中任 意两个顶点连成直线段,则其位于正方体内部的概率为 ( ) A.

4 11

B.

5 11

C.

6 11

D.

10 11

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
第 13 页 共 40 页

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。请将答案填写在答题卷的相应位置上。 11.将关于 x 的多项式 f ( x) ? 1 ? x ? x2 ? x3 ? 为关于 y 的多项式 g ( y) ? a0 ? a1 y ? a2 y 2 ? 其中 y ? x ? 1 ,则 a0 ? a1 ?

? ? x19 ? x20 表示

? a19 y19 ? a20 y 20 ,


? a20 =

12.设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, 且满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) 。 又当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) ?

1 x ,则当 ?10 ? x ? 10 ,方程 2

1 f ( x ) ? ? 的根的和为 。 2 1 1 1 1 13.如图给出的是计算 ? ? ? ? 的值的一个流程图,其 2 4 6 20
中判断框内的横线上应填入的条件是 。 14.下面是统计某地区一批数学学习是否需要帮助的学生 2×2 列联表,回答能否有 99.9%的把握认为“数 学学习是否需 要帮助与性别有关。 ”答: (填“是”或“否” )
需要 不需要 合计 男 a=70 c=35 105 女 b=30 d=6 5 95 合计 100 100 n=200

K2 ?

n(ad ? bc)2 , (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.100[来 源:Z,xx,k.Com] 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.001 10.828

P( K 2 ? k )
k

15.下面有关四面体的命题: ①每一个四面体都有唯一的外接球; ②每一个四面体都有唯一的内切球; ③每一个四面体都有唯一的与其六条棱都相切的球; ④任何一个三棱柱都可以分解成三个等体积的四面体; ⑤对任意一个四面体,存在一个顶点,使得从该点出发的 三条棱作为边长可以构成一个三角形。 其中正确命题的序号是 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤。请将解答写在答 题 卷的指定区域内。 16. (本小题满分 12 分) 如图,在海中一灯塔 D 的周围有两个观察站 A 和 C。已知观察站 A 在灯塔 D 的正北 5 海里处,观察站 C 在灯塔 D 的正西方。海面上有一船 B,在 A 点测得其 在南偏西 60 ? 方向 4 海里处,在 C 点测得其在北偏西 30 ? 方向上。 (I)求两观测点 A 与 C 的距离;

第 14 页 共 40 页

(II)设 ?BCA ? ? , 求 cos(? ? 45?)

17. (本小题满分 1 2 分) 如图, AB ? 平面 BCD,AB=BC=BD=2,DE//AB,DE=1, ?CBD ? 60? ,F 为 AC 的中点。 (I)求点 A 到平面 BCE 的距离; (II)证明:平面 ABC ? 平面 ACE; (III)求平面 BCD 与平面 ACE 所成二面角的大小。
[来源:学科网]

18. (本小题满分 12 分) 箱中装有 12 张大小、质量一样的卡片,每张卡片正面分别标有 1 到 12 中的一个号码,正面号码 为 n 的卡片反面标的数字是 n ? 9n ? 22 ,卡片正反面用颜色区分。
2

(I)如果任意取出一张卡片,求正面数字不大于反面数字的概率; (II)如果有放回地抽取三张卡片,用 X 表示三张中正面数字不大于反面数字的张数求 X 的分布列和数 学期望。 (III)如果同时取出两张卡片,在正面数学无 3 的倍数的情况下,试求他们反面数字相同的概率。
[来源:学科网 ZXXK]

19. (本小题满分 13 分) 已知 x 轴上有一点列 P 1, P 2, P 3, 最靠近 Pn ?1 的点,设线段 PP 1 2, P 2P 3,

, Pn ,

点 Pn 是把线段 Pn ?1 Pn ?1 作 n 等分的分点中 , 且当 n ? 2 时,

, Pn Pn?1 的长度分别为 a1, a2 , a3 ,

, an ,其中 a1 ? 1.

(I)写出 a2 , a3 和 an (n ? 2, n ? N * ) 的表达式; (II)记 bn ?
[来源:学科网 ZXXK]

an ? 3 (n ? N * ) ,证明: b1 ? b2 ? b3 ? an

? bn ?

1 (n ? N ?). 4

20. (本小题满分 13 分) 如图所示,点 A( p, o)( p ? 0) ,点 R 在 y 轴上运动,点 T 在 x 轴上,N 为动点,且

RT ? RA ? 0, RN ? RT ? 0.
(I)设动点 N 的轨迹 为曲线 C,求曲线 C 的方程; (II)设 P,Q 是曲线 C 上的两个动点 M ( x0 , y0 ) 是曲线 C 上一定点 ,若

PM ? QM ? 0 ,试证明直线 PQ 经过定点,并求出该定点的坐标。

第 15 页 共 40 页

21. (本小题满分 13 分) 已知 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? x 2 ? ax ? 2, e ? 2.718285. (I)求函数 f ( x ) 在 [t , t ? 1] (t ? 0) 上的最小值; (II)存在 x0 ? [1, e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 a 的取值范围; (III)证明:对 一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ?

1 1 ? 成立。 ex x

第 16 页 共 40 页

第 17 页 共 40 页

第 18 页 共 40 页

第 19 页 共 40 页

第 20 页 共 40 页

合肥一中 2010 年高考冲刺最后一卷数学试题(理科)
(考试时间:120 分钟 满分:150 分) 注意事项: 1.选择题用答题卡的考生,答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、试题科目用 2B 铅笔涂 写在答题卡上。 2.选择题用答题卡的考生,答第 I 卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案 标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷和答题卷的选择题栏 中;不用答题卡的考生,在答第 I 卷时,每小题选出答案后,填在答题卷相应的选择题栏上。 3.答题Ⅱ卷时,考生务必将自己的学校、姓名、考点、准考证号填在答题卷相应的位置;答题时, 请用 0.5 毫米的黑色签字笔直接答在答题卷上,不要在试题卷上答题。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) S ? 4?R 2 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A· B)=P(A)· P(B) 其中 R 表示球的半径 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k
k k 次的概率 Pn (k ) ? Cn P (1 ? P) n?k

4 V球 ? ?R 3 3

其中 R 表示球的半径

第 I 卷(选择题,共 50 分)
一、选择题: (每小题 5 分,共 50 分) 1.已知 z ? (1 ? 2sin? ) ? (2cos? ? 3)i(0 ? ? ? ? )是纯虚数, 则? = A. ( )

? 6

B.

? 3

C.

5? 6

D.

?
6



5? 6

2.如图是将二进制数 111111(2)化为十进制数的一个程序框图, 判断框内应填入的条件是 ( ) A. i ? 5 B. i ? 6 C. i ? 5 D. i ? 6 3.已知集合 A ? {x | ( x ? 1)(a ? x) ? 0}, 集合B ? {x || x ? 1| ?

| x ? 2 |? 3}, 且(CR A) ? B ? R, 则实数a 的取值范围是
( A. ( ??, 2) C.[—1,2] B. (?1, ??) D. [?1,1) ? (1, 2] )

4.已知向量 OA ? (3,1), OB ? (2, ?1), OC ? OA, AC / /OB ,

第 21 页 共 40 页

则向量 OC = A. (1,—3) 5.已知函数 f ( x) ? sin( B. (—1,3)



) D. (—6,2) ( )

C. (6,—2)

?
3

? 2 x)( x ? R) ,下面结论错误的是
B.函数 f ( x) 的图像关于直线 x ?

A.函数的最小正周期是 ? C.函数 f ( x) 的区间 [

? ?

, ] 上是增函数 D.函数 f ( x) 的图像关于点 ( , 0) 对称 6 4 6

?

5? 对称 12

6. 等差数列 {an } “ n ? m(n ? N * ) ” 的前n项和为Sn , 公差d ? 0. 若存在正整数 m(m ? 3), 使得am ? Sm , 则 是“ Sn ? an ”的 A.既不充分也不必要条件 C.必要不充分条件 7.设双曲线 B.充分不必要条件 D.充要条件 ( )

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线与圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1 只有一个公共点,则双曲线 2 a b
( B.3 C. )

的离心率为 A.

3 2

6 2

D. 3

8.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,与直线 AD、B1C、 A1C1 都相交的直线 ( ) A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有且仅有三条 D.有无数条 9.第四届全国体育大会期间,5 名志愿者被安排参加三个 不同比赛项目的接待服务工作,则每个项目至少有一 人参加的安排方法有 ( ) A.60 种 B.150 种 C.240 种 D.540 种

?1? | x ? 1|, x ? (??, 2) ? , 则函数 F ( x) ? xf ( x) ? 1 的零点个数为( 10.已知函数 f ( x) ? ? 1 f ( x ? 2), x ? [2, ?? ) ? ?2
A.4 B.5 C.6 D.7



第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.从一堆苹果中任取 5 只,称得它们的质量分别为(单位:克)x、127、y、125、123,且平均质量为 125,则该样本方差 s2 的最小值为 。

第 22 页 共 40 页

?2 x ? y ? 0 1 x 1 y ? 12.已知实数 x、y 满足 ? 4 x ? 3 y ? 12 ? 0, 则z ? ( ) ? ( ) 的最小值为 2 4 ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?



13.对任意的实数 a、b, a ? 0, 不等式 | 2a ? 3b | ? | 2a ? 3b |?| a | (| x ? 1| ? | x ? 1|) ,则实数 x 的取值 范围是 。

14. 由 x 轴、 y 轴和直线

? x ? a ? cos? x y ? ? 1 围成的三角形的三边与曲线 ? (? 为参数) 共有 4 个公共点, 3 4 ? y ? b ? sin ?

则动点(a,b)所形成区域的面积为 。 15.已知矩形 ABCD 中 AB=4,BC=3,将其沿对角线 AC 折起,形成四面体 ABCD,则以下命题正确的是: (写出所有正确命题的序号) ①四面体 ABCD 体积最大值为

24 ; 5

②四面体 ABCD 中,AB⊥CD; ③四面体 ABCD 的侧视图可能是个等腰直角三角形; ④四面体 ABCD 的外接球表面积是 25π 三、解答题(本题共 75 分) 16. (本题满分 12 分) 已知△ABC 中, (b ? a)(sin B ? sin A) ? a sin B, 又cos 2 C ?cos C ?1 ?cos( A ? B ). (I)试判断△ABC 的形状; (II)求 cos C 的值。

17. (本题满分 12 分) 如图所示,是合肥一中教学区示意图,现有甲乙丙丁 4 人来校加全国中学语文十校论坛,4 人只 能从校门进入校园,甲丁必从同一校门进校,甲乙丙 3 人从哪个校门进校互不影响,且每人从任何一 校门进校都是等可能的。 (I)求仅有一人从西大门进入学校的概率; (II)设 4 人中从西大门进入校园的人数为随机变量 ? ,求 ? 的数学期望和方差; (III)设随机变量 ? ( x) ? ?

(? ? x, x ? {0,1, 2,3}) ?3x , 求E? 的最大值。 ?4? ? x (? ? x, x ? {0,1, 2,3})

第 23 页 共 40 页

18. (本题满分 12 分) 如图,△ABC 和△A1AC 是正三角形,平面 A1AC⊥底面 ABC,A1B1⊥//AB,A1B1=AB=2, (I)求直线 AA1 与平面 AB1C 所成角的正弦值大小; (II)已知点 D 是 A1B1 的中点,在平面 ABCD 内搁一点 E,使 DE⊥平面 AB1C,求点 E 到 AC 和 B 的距离。

19. (本题满分 12 分) 过曲线上一点与以此点为切点的切线垂直的直线,叫做曲线在该点的法线. 已知抛物线 C 的方程为 y ? ax2 (a ? 0, x ? 0).点M ( x0 , y0 ) 是 C 上任意点,过点 M 作 C 的切线 l, 法线 m。 (I)求法线 m 与抛物线 C 的另一个交点 N 的横坐标 xN 取值范围; (II)设点 F 是抛物线的焦点,连接 FM,过点 M 作平行于 y 轴的直线 n,设 m 与 x 轴的交点为 S,n 与 x 轴的交点为 K,设 l 与 x 轴的交点为 T,求证∠SMK=∠FMN

第 24 页 共 40 页

20. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

a 2 x ? 4 x ? ln x 有两个极值点。 2

(I)求实数 a 的取值范围; (II)若存在实数 a,使函数 f ( x)在区间 [b, b ? 2] 上单调递增,求实数 b 的取值范围。

21. (本题满分 14 分) 数列 {an }满足a1 ? 1, a2 ? 2,
2 an?2 an 2 ?1 ? ? , n ? 1, 2,3, 2 an an ? 1

(I)求证: an ?1 ? an ?

1 , (n ? 1, 2,3 ) an

(II)求证: 2n ? 1 ? an ? 3n ? 2 ; (III)令 bn ?

an?1 n

,(n ? 1, 2,3, ), 判断bn 与bn?1 的大小,并说明理由。

第 25 页 共 40 页

合肥一中 2010 年冲刺高考最后一卷数学(理)参考答案
一、选择题:ACCBC DDDBC 8 1 二、填空题:11. 12. 5 64 三、解答题: 16.(本小题满分 12 分) 13. [?2, 2] 14.
47 ? 6? 12

15.①③④

解:(Ⅰ)由 cos 2C ? cos C ? 1 ? cos( A ? B) 得 cos C ? cos( A ? B) ? 1 ? cos 2C ,

cos( A ? B) ? cos( A ? B) ? 2sin 2 C ,即 sin A sin B ? sin 2 C ,根据正弦定理,
ab ? c 2 , ??①,又由正弦定理及 (b ? a)(sin B ? sin A) ? a sin B 可知

b2 ? a 2 ? ab ,??②,由①②得 b2 ? a 2 ? c 2 ,

所以 ?ABC 是直角三角形,且 B ? 90? ;

????????8 分

(Ⅱ)∵ A ? C ? 90? ,∴ sin 2 C ? sin A sin B ? sin A ? cos C , 从而 cos2 C ? cos C ? 1 ? 0 ,解得 cos C ?
?1 ? 5 . 2 ?1 ? 5 ?1 ? 5 或 cos C ? (舍去),即 2 2

cos C ?

?????12 分

17.(本小题满分 12 分) 8 1 1 1 2 2 解:(Ⅰ) P , 1 ? C2 ( ) ( ) ? 3 3 27 即仅有一人从西大门进入学校的概率是 (Ⅱ)
8 ; 27

????????4 分

?

0
2 ( )3 3

1
1 1 1 2 2 C2 ( )( ) 3 3

2
1 2 1 2 ( )( ) 2 ? ( ) 2 ( ) 3 3 3 3

3
1 1 2 2 C2 ( ) ( ) 3 3

4
1 ( )3 3

P
E? ? 0 ?

340 8 8 6 4 1 4 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? ; D? ? ???????8 分 243 27 27 27 27 27 3 43 66 (Ⅲ)当 x ? 0 时, E? (0) ? 0 ;当 x ? 1 时, E? (1) ? ;当 x ? 2 时, E? (2) ? ; 27 27 47 36 当 x ? 3 时, E? (3) ? ;当 x ? 4 时, E? (4) ? ; 27 27 66 综上,当 x ? 2 时, ( E? ) max ? E? (2) ? ?????12 分 27
第 26 页 共 40 页

18.(本小题满分 12 分) 解:∵平面 A1 AC ? 底面 ABC ,作 AO ? AC 于点 O , 1 ∴ AO ? 底面 ABC . 1 又 A1B1 ? AB ? 2 , ?ABC 和 ?A1 AC 是正三角形,知 ?ABC ? ?A1 AC ? 60? , ∴ AO ? 1 , OA1 ? OB ? 3 , BO ? AC ?????2 分

故以 O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz ,则
A(0, ?1, 0) , B( 3,0,0) , A1 (0, 3,0) , C (0,1, 0) , AA1 ? (0,1, 3) .

由 AA1 ? BB1 ,可得 B1 ( 3,1, 3) . ∴ AB1 ? ( 3, 2, 3) , AC ? (0, 2,0)
? ? n ? AB1 ? 3x ? 2 y ? 3 ? 0 设平面 AB1C 的法向量为 n ? ( x, y,1) ,则 ? , ? ?n ? AC ? 2 y ? 0

解得 n ? (?1, 0,1) 由 cos ? AA1 , n ??
AA1 ? n 3 6 ? ? 4 | AA1 | ? | n | 2 2

?????6 分

而 AA1 与平面 AB1C 所成角,即向量 AA1 与平面 AB1C 的法向量所成锐角的余角, 所以 直线 AA1 与平面 AB1C 所成角的正弦值为 (几何方法也,对照给分) (Ⅱ)连接 A1 B ,取 AC 中点 O ,连接 A1O 、 BO , 易得 AO ? AC ,所以 AC ? 平面 A1OB , 1
6 ;?????7 分 4

AC ? A1B ,又四边形 AA1B1B 是正方形,所以 AB1 ? A1B ,
又 A1B ? AC ,∴ A1B ? 平面 AB1C ,过 D 作 DF // A1B ,很明显 DF 交 AB 于 E , 此时点 E 到 AC 和

B 的距离分别是 1、

3 3 . 2

?????12 分

第 27 页 共 40 页

19.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)易得直线 m 的方程: y ? y0 ? ?
1 ( x ? x0 ) 与 y ? ax 2 联立得 2ax0

ax 2 ?

1 1 x 1 2 2 , xN ? ? 2 ? x0 , ? ? ax0 ? 0 ,∴ xN ? x0 ? ? 2 ? x0 2a 2a x0 2ax0 2a

易得 xN ? (??, ?

2 2 ] [ , ??) 2 2
2 2 ] [ , ??) ; 2 2

即 xN 取值范围是 (??, ?

?????6 分
x0 x ,∴ T ( 0 , 0) 2 2

(Ⅱ)由题意得 l 的方程 y ? y0 ? 2ax0 ( x ? x0 ) ,令 y ? 0 得 xT ?
x0 1 | ,又 MF 方程: y ? ? 2 4a
2 ax0 ?

此时 T 到直线 n 的距离为 |

x0

1 4a ( x ? 0) ,设 T 到 MF 距离为 d ,

则d ?

2 | (ax0 ?

1 x0 x0 ) ? | 4a 2 4a ?| x0 | , 2 1 2 2 x0 ? (ax0 ? )2 4a
?????13 分

∴ ?TMK ? ?FMT , ?SMK ? ?FMN . 20. (本小题满分 13 分) 解(Ⅰ) f ?( x) ? ax ? 4 ? ①当 a ? 0 时,

1 ax 2 ? 4 x ? 1 ? ( x ? 0) ,由题意: a ? 0 ,又 x x

1 ? 0 , f ?( x) ? 0 两根异号,不合题意; a 2 ②当 a ? 0 时, ? 0 可知 ? ? 16 ? 4a ? 0 ,即 0 ? a ? 4 , a

此时由 f ?( x) ? 0 得 x1 ? 由下表

2? 4?a 2? 4?a , x2 ? , a a

?????4 分

x
f ?( x ) f ( x)

(0, x1 )
+ ↗

x1
0

( x1 , x2 )


x2
0

( x2 , ??)
+ ↗

第 28 页 共 40 页

故当 0 ? a ? 4 时,函数 f ( x) 的两个极值点.

?????6 分

(Ⅱ)结合(Ⅰ)可得“ ?a ? (0, 4) ,使 ax2 ? 4 x ? 1 …0 对 x ? [b, b ? 2] 恒成立” ,
1 1 1 1 由 [b, b ? 2] ? (0, ??) 得 b ? 0 ,又 4 ? ?( ) 2 ? 4 ? ? ?( ? 2) 2 ? 4 恒成立,∴ x ? 2 x x x 1 1 1 b ? 2 ? 或 b … ,从而 b … .(其它解法参照给分) ?????13 分 2 2 2 21. (本小题满分 13 分)
2 an ? 2 an ?1 ? 1 解:(Ⅰ)由于 a1 ? 1 , a2 ? 2 , ,易知对 ?n …1 , an ? 0 . ? 2 an an ? 1 2 an ? 2 an ?1 a a a a an ? 2 an ?1 ? 1 ? 可得 n2? 2 n?1 ? n2?1 n ,从而 , ? 2 1 1 an?1 ? 1 an ? 1 an an ? 1 an ?1 ? an ? an ?1 an

当 n …1 时,

依此递推可得

an ?1 an ?1 a2 2 ? ? ??? ? ? ? 1 ,从而 1 1 1 1 an ? an ? 2 ? a1 ? 1? an an ? 2 a1 1

an ?1 ? an ?

1 , (n ? 1, 2,3, ???) an

?????4 分
1 1 可知: ?n …1 , an …1 成立,即 0 ? 2 ? 1 , an an

(Ⅱ)显然,由 a1 ? 1 , an ?1 ? an ?

2 当 n …2 时, an ? (an?1 ?

1 2 1 2 2 2 ) ? an ?1 ? 2 ? 2 ,故 2 ? an ? an ?1 ? 3 ,于是 an?1 an?1

2 2 2 ? an ? an ?1 ? 3 2 2 2 ? an ?1 ? an?2 ? 3 2 2 2 ? an ?2 ? an ?3 ? 3

????
2 2 2 ? a3 ? a2 ? 3 2 2 ? a2 ? a12 ? 3

2 将经上各式相加得 2(n ?1) ? an ? a12 ? 3(n ?1) ,即得

2n ?1 剟an

3n ? 2 ;(亦可用数学归纳法)
第 29 页 共 40 页

?????9 分

(Ⅲ)解法一:

bn ?1 a n 1 n 1 n ? n?2 ? (1 ? 2 ) ? (1 ? ) bn an ?1 n ? 1 2n ? 1 n ? 1 an ?1 n ? 1 4n 2 ? 4n ? 1 ,故 bn?1 ? bn . ?????13 分 4n 2 ? 4n ? 1

?

2 n(n ? 1) 2(n ? 1) n ? ? (2n ? 1) (2n ? 1) n ? 1

解法二: bn?1 ? bn ?

an? 2 a a 1 1 ? n?1 ? (an ?1 ? ) ? n?1 an?1 n ?1 n n ?1 n

?

1 2 [ n ? ( n ? 1 ? n )an ?1 ] ? n(n ? 1)an?1

1 [ n ? ( n ? 1 ? n )(2n ? 1)] n(n ? 1)an?1

?

1 [ n ( n ? 1 ? n ) ? (2n ? 1)] n(n ? 1)( n ? 1 ? n )an?1
1 [ n(n ? 1) ? (n ? 1)] n(n ? 1)( n ? 1 ? n )an?1

?

?

1 ( n ? n ? 1) ? 0 n ( n ? 1 ? n )an?1

所以 bn?1 ? bn .
2 2 解法三: bn ?1 ? bn ? 2 2 an a2 an 1 1 2 ?2 ?1 ? n?1 ? (an ? ? 2) ? ?1 2 n ?1 n n ?1 an?1 n

?
?

a2 1 1 1 1 2n ? 1 (2 ? 2 ? n?1 ) ? (2 ? ? ) n ?1 an?1 n n ?1 2n ? 1 n
1 1 1 ( ? )?0 n ? 1 2n ? 1 n

2 2 从而 bn ?1 ? bn ,因此 bn ?1 ? bn .

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第 30 页 共 40 页

安徽省合肥一中 2009 冲刺高考最后一卷 数学试题(理)
(考试时间:120 分钟满分:150 分) 参考公式: 如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 如果事件 A , B 相互独立,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 如事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
k k n ?k P n (k ) ? Cn P (1 ? P)

棱锥的体积公式: V ?

1 sh 3

第Ⅰ卷(选择题
题目要求的. ) 1.已知全集

共 55 分)

一、选择题: (本大题共 11 小题,每小题 5 分,共 55 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合

? {0,1,3,5,7,9}, A (CU B) ? {1}, B ? {3,5,7},那么 (Cu A) (Cu B) ?
B.{0,9} C. ? D. {7}

A.{0,3,7}

2.已知复数 Z,映射 f : Z —— ? Zi ,则 2 ? 3i 的原象是 A. 3 ? 2 i B. 2 ? 3i C. 3 ? 2 i D. 2 ? 3i

a (a ? b) ? (a ? b) f ( ) ??1, x ? 1 b (a ? b, a, b ? 0) 的值为 3.设函数 f ( x) ? ? ,则 1,0 ? x ? 1 2 ?
A. a B. b C. a , b 中较小的数 D. a , b 中较大的数

4.已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 ,过顶点 A1 在空间作直线 l ,使直线 l 与直线 AC 和 BC1 所成的角都等 于 60°,这样的直线 l 可以作 A.4 条 5.下列命题: (1)已知 a,b,c,d ? R 若 a ? c ,或 b ? d ,则 a ? b ? c ? d . (2) ?x ? N , x ? x
3 2

B.3 条

C.2 条

D.1 条

第 31 页 共 40 页

(3)若 m ? 1 ,则方程 x ? 2 x ? m ? 0 无实数根.
2

(4)存在一个四面体没有外接球. 其中是真命题的个数是 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

6.函数 f ( x) ? ln(sin x ? cos x) 的图象大致形状是

7.若不等式 | sin x ? 2 | ? | sin x ? 4 |? a 有解,则 a 的取值范围是 A. a ? 4 B. a ? 4 C. a ? 8 D. a ? 8

8. O 是平面上一定点, A 、 B 、 C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足

? AB ? O P? O A ?? ?? B A | B | ?s i n
A.外心

AC ? ?? , 则) P 的轨迹一定通过 ?ABC 的 ?,? ? [ 0 sC i n A? |C |
C.重心
2

B.内心

D.垂心

9.在区间 [ ?11] 上任取两个数 a, b ,则关于 x 的方程 x ? ax ? b ? 0 的两根都是负数的概率 A.

1 12

B.

1 48

C.

1 36

D.

1 24

10.设 F1,F2 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, A 和 B 是以 O 为圆心,以 | OF1 | 为半径的圆 a 2 b2

与该左半椭圆的两个交点,且 ?F2 AB 是等边三角形,则椭圆的离心率为

A.

3 2

B.

1 2

C.

2 2

D. 3 ? 1

11.如果存在 1,2,3?, n 的一个排列 a1 , a2 , a3 ,

an ,使得 k ? ak (k ? 1, 2,3,

, n) 都是完全平方数,

就称 n 为“滨湖数” .试问:在集合{11,13,15,17}中哪些是“滨湖数” A.11,13,15 B.11,15 C.11,13,17 D.13,15,17

第 32 页 共 40 页

第Ⅱ卷(非选择题 共 95 分)
二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上) 12.如图 2009 年五一晚会举办的青年歌手大赛上,七位评委为某选手 打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据 的平均数和方差分别为 ,

13.一个算法的程序框图如右图所示,若该程序输出的结果 为

4 ,则判断框中应填入的条件是 5



14.已知数列 {an } 中, an ? ?n2 ? ?n ,且 {an } 是递减数列, 求实数 ? 的取值范围是 15.P 是 ?ABC 内部一点, 直线 AP 、BP 、CP 分别交 BC 、CA 、

PD PE PF ? ? ? 1 .类比这一结论,在 AD BE CF 空间四面体 ABCD 中, P 为空间四面体 ABCD 内部一点,直线

AB 于 D 、 E 、 F ,则

AP 、 BP 、 CP 、 DP 分别交面 BCD 、 ACD 、 ABD 、 ABC 于
E 、 F 、 G 、 H ,则类似的结论为:
16.参数方程 ? .

? x ? cos ? (sin ? ? cos ? ) ( ? 为参数) ? y ? sin ? (sin ? ? cos? )

表示的曲线上的点与直线 ? sin ? ? 2 的距离的最大 值是 .

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (12 分) 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、C 所对的边分别是 a 、b 、c ,且 AB ? AC ? 的面积) . (1)求 sin
2

8 S ?ABC (其中 S?ABC 为 ?ABC 3

B?C ? cos 2 A 的值; 2

(2)若 b ? 2, ?ABC 的面积 S?ABC ? 3 ,求 a 的值.

第 33 页 共 40 页

18. (12 分) 一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为 6 的两个全等的等腰直角三角形. (1)请画出该几何体的直观图,并求出它的体积; (2)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为 6 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 ?如何组拼?试证明 你的结论; (3)在(2)的情形下, E 、 F 分别是正方体 ABCD ? A1B1C1D1 棱 BC 、CD 上的点,且 BE ? CF . (Ⅰ)当 E 、 F 在何位置时, B1F ? D1E ; (Ⅱ) G 是正方体 ABCD ? A1B1C1D1 是棱 DD1 上的中点,求此时二面角 C1 ? EG ? C 的正弦值的取 值范围.

19. (12 分) (1)已知 a 、 b 、 c 是正常数, a , b , c 互不相等, x,y,z ? (0, ??) ,

求证:

a 2 b 2 c 2 (a ? b ? c) 2 ,指出等号成立的条件; ? ? ? x y z x? y?z
2 9 49 1 ? ? ( x ? (0, )) 的最小值,并求出相应的 x 的值. x 1 ? 3x 1 ? x 3

(2)利用(1)的结果,求函数 f ( x) ?

第 34 页 共 40 页

20. (12 分) 在合肥一中组织的一次优秀青年教师联谊活动中,有一个有奖竞猜的环节,主持人准备了 A 、 B 、C 三个相互独立的问题,并且宣布:幸运观众答对问题 A 可获奖金 1000 元,答对问题 B 可获奖金 2000 元, 答对问题 C 可获奖金 3000 元,先答哪个题由观众自由选择,但只有第一个问题答对,才能再答第二题、 第二题答对才能再答第三题,否则终止答题,若你被选为幸运观众,且假设你答对问题 A 、 B 、 C 的概 率都

1 . 2

(1)记先回答问题 A 的奖金为随机变量 X ,求 X 的分布列及期望. (2)你觉得应先回答哪个问题才能使你获得更多的奖金?请说明理由.

21. (13 分) 已知抛物线 y 2 ? 4 x 上两个动点 B 、 C 和点 A(1, 2) ,且直线 BC 过点 P(5, ?2) , (1)求证直线 AC 与直线 AB 垂直 (2)试判断三角形 ABC 的面积有无最大值,如果有求出最大值,如果没有说明理由.

22. (14 分)

O, 由原点 O 向曲线 C : y ? x ? 3ax ? bx(a ? 0) 引切线, 切点 P 再由 P1 引曲线 C 的 1 ( x1 , y1 ) 不同于点
3 2

切线,切于不同于 P1 的点 P 2 ( x2 , y2 ) ,如此继续作下去,??,得到点列 {P n ( xn , yn )} . (1)求 x1 ; (2)求 xn 与 xn ?1 的关系; (3)若 a ? 0 ,试比较 xn 与 a 的大小.

第 35 页 共 40 页

合肥一中 2009 冲刺高考最后一卷 数学(理)参考答案及部分解析
一、选择题: 1—5 BADBA 二、填空题: 12.84.8 2.16 13. i ? 4 ? 14. (??,3) 6—11 ACCBDD

PE PF PG PH ? ? ? ?1 AE BF CG DH

16.

3? 2 2
8 AB ? AC ? S ?ABC 3 8 1 ? bc cos A ? ? bc sin A 3 2 3 ? tan A ? 4 1 ? cos 2 A 1 ? 3cos 2 A 1 1 2 B?C ? cos 2 A ? ? cos 2 A ? ? ? 从而 sin 2 2 2 2 2

17.解: (1)

3(1 ? tan 2 A) 23 ? 2(1 ? tan 2 A) 25
(2) S ?ABC ?

(6 分)

1 1 bc sin A ? ? 2c sin A ? c sin A ? 3 2 2 3 3 3 tan A ? ? sin A ? ? c ? ?5 4 5 sin A 4 cos A ? ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 13 5
(12 分)

? a ? 13

18.解: (Ⅰ)该几何体的直观图如图 1 所示,它是有一条侧棱垂直于底面的四棱 锥,其中底面 ABCD 是边长为 6 的正方形,高为 CC1 ? 6 , 故所求体积是 V ?

1 2 ? 6 ? 6 ? 72 (3 分) 3

(Ⅱ)依题意,正方体的体积是原四棱锥体积的 3 倍,故用 3 个这样的四 棱锥可以拼成一个棱长为 6 的正方体,其拼法如图 2 所示. 证明:∵面 ABCD 、面 ABB1 A 1 、面 AA 1D 1 D 为全等的正方形, 于是 VC1 ? ABCD ? VC1 ? ABB1 A1 ? VC1 ? AA1D1D ,故所拼图形成立. (6 分)

第 36 页 共 40 页

(Ⅲ) (1)设 BE ? CF ? 6 ? x 如图建立直角坐标系,则

A(6, 0, 0)C(0,6,0) B(6,6,0) D1 (0,0,6)C1 (0,6,6) B1 (6,6,6) F (0, x,0) E( x,6,0)

? B1F ? (?6, x ? 6, ?6), D1E ? ( x,6, ?6) B1F ? D1E ? ?6x ? 6( x ? 6) ? 36 ? 0
? B1F ? D1E
即无论 E , F 在何位置,只要 BE ? CF ,从而有 B1F ? D1E

0, 3) (2)由题设 G (0,

EG ? (?x, ?6,3)CG ? (0, ?6,3)C1G ? (0, ?6,3)
设平面 C1EG 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 平面 CGE 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 则 n1.EG ? ?xx1 ? 6 y1 ? 3z1 ? 0

n1.C1G ? ?6 y1 ? 3z1 ? 0 从而取 n1 ? (?

12 ,1, ?2) x

n2 .EG ? ?xx2 ? 6 y2 ? 3z2 ? 0, n2 .CG ? ?6 y2 ? 3z2 ? 0
从而取 n2 ? (0,1, 2) ,设所求二面角度数为 ?

cos ? ? cos n1 , n2 ?

n1 n2 ? | n1 || n2 |

?3 ? 144 ? 2 2 ? 2 ? 5 ? (1 ? 2 ) ? x ?
(12 分)

? 5 ? ?2 5 ? x ? (0, 6]? cos ? ? ? ? ,0? ? sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? ,1? ? ? ? 5 ? ? 5 ?

第 37 页 共 40 页

19. (1)

x, y, z ? 0, a, b, c ? 0 ,

∴ ( x ? y ? z )(

a 2 b2 c 2 ? ? ) x y z

? a 2 ? b2 ? c 2 ?

xb2 ya 2 zb2 yc2 za 2 xc2 ? ? ? ? y x y z x z
xb 2 ya 2 zb 2 yc 2 za 2 xc 2 ?2 ?2 y x y z x z

? a 2 ? b2 ? c2 ? 2

? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ac

? (a 2 ? b 2 ? c 2 )
当且仅当 xb ? ya, zb ? yc, za ? xc 即 (2) f ( x) ?

x y z ? ? 时,等号成立。 a b c

(6 分)

22 32 72 (2 ? 3 ? 7)2 122 ? ? ? ? ? 72 2 x 1 ? 3x 1 ? x (2 x ? 1 ? 3x ? 1 ? x) 2

(1 ? 3x ? 0, 2 x ? 0,1 ? x ? 0)
当且仅当

1 2 x 1 ? 3x 1 ? x ? ? 即 x ? 时, “=”成立, 6 2 3 7
(12 分)

? ( f ( x))min ? 72
20. (1)

X P
EX ?

0

1000

3000

4000

6000

1 2

1 8

1 8

1 8

1 8
(6 分) (12 分)

14000 ? 1750 8

(2)先答 C,方法同上。 21. (1)设 B( x1, y1 ), C( x2 , y2 ) 很明显 AB, BC 斜率存在, 则 K AB K AC ?

y1 ? 2 y2 ? 2 16 ? (1 分) x1 ? 2 x2 ? 2 ( y1 ? 2)( y2 ? 2)

第 38 页 共 40 页

y12 y ? y1 易得 BC 方程为: 2 4 2 ? , y1 y2 y2 ? y1 ? 4 4 x?
即 4 x ? ( y1 ? y2 ) y ? y1 y2 ? 0 又 P 在 BC 上,?2( y1 ? y2 ) ? y1 y2 ? ?20 由 1°2°可得 k AB k AC ? ?1, AB 与 AC 垂直 (8 分) (2)设 BC 方程: x ? m( y ? 2) ? 5 与 y 2 ? 4 x 联立得: y 2 ? 4[m( y ? 2) ? 5] 即 y 2 ? 4my ? 4(2m ? 5) ? 0

2.

? y1 ? y2 ? 4m, y1 y2 ? ?4(2m ? 5)
2 2 2 则 | BC |? 4 1 ? m | y1 ? y2 |? 4 1 ? m m ? 8m ? 20

3

设 A 到 BC 距离为 d ,则 d ?

| 4m ? 4 | 1 ? m2

? S?ABC ?

1 BC ? d ? 8 |1 ? m | m 2 ? 8m ? 20 2

2 4 3 2 设 1 ? m ? t 则 S ?ABC ? 8 | t | t ? 6t ? 13 ? 8 t ? 6t ? 13t 4 3 2 2 2 2 设 g (t ) ? t ? 6t ? 13t ? t ? ?(t ? 3) ? 4 ? ? ,由于 t ? 0

? g (t ) 无最大值,三角形 ABC 的面积无最大值
22.解(1) y? ? 3x ? 6ax ? b .
2

(13 分)

过点 P 1 ( x1 , y1 ) 的切线 l1 的方程是
3 y ? ( x1 ? 3ax12 ? bx1 ) ? (3x12 ? 6ax1 ? b)( x ? x1 ),( x1 ? 0) .

? x13 ? 3ax12 ? bx1 ? ? x1 (3x12 ? 6ax1 ? b),? 2 x13 ? 3ax12 ( x1 ? 0),? x1 ?
(2)过点 P n ?1 ( xn ?1 , yn ?1 ) 的切线 ln ?1 的方程是
3 2 2 y ? ( xn ?1 ? 3axn?1 ? bxn?1 ) ? (3xn?1 ? 6axn?1 ? b)( x ? xn?1 ) .

3a . (4 分) 2

由 ln ?1 过曲线 C 上点 P n ( xn , yn ) 知
第 39 页 共 40 页

3 2 3 2 2 xn ? 3axn ? bxn ? ( xn ?1 ? 3axn?1 ? bxn?1 ) ? (3xn?1 ? 6axn?1 ? b)( xn ? xn?1 ) , 2 2 2 xn ? xn?1 ? 0,? xn ? xn xn?1 ? xn ?1 ? 3a( xn ? xn?1 ) ? b ? 3xn?1 ? 6axn?1 ? b , 2 2 (9 分) xn ? xn xn?1 ? 2xn ?1 ? 3a( xn ? xn?1 ) ? 0 ,同除以 xn ? xn ?1 得 xn ? 2 xn ?1 ? 3a ? 0 .

(3)由(2)得 xn ?1 ? ?

1 3 1 xn ? a,? xn ?1 ? a ? ( xn ? a ) . 2 2 2 1 a 故数列 {xn ? a} 是以 x1 ? a ? 为首项,公比为 ? 的等比数列, 2 2 a 1 1 ? xn ? a ? (? ) n ?1 ,? xn ? [1 ? (? ) n ]a . 2 2 2 1 1 a ? 0,? 当 n 为正偶数时, xn ? [1 ? (? ) n ]a ? [1 ? ( ) n ]a ? a ; 2 2 1 n 1 n 当 n 为正奇数数时, xn ? [1 ? (? ) ]a ? [1 ? ( ) ]a ? a …….. (14 分) 2 2

第 40 页 共 40 页


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