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福建省泉州市高三上学期期末质量检查数学文试题(扫描版)

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比知识你 海纳百 川,比 能力你 无人能 及,比 心理你 处变不 惊,比 信心你 自信满 满,比 体力你 精力充 沛,综 上所述 ,高考 这场比 赛你想 不赢都 难,祝 高考好 运,考 试顺利 。

泉州市 2015 届普通中学高中毕业班单科质量检查

文科数学试题参考解答及评分标准

说明:

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考

生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.

二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容

和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如

果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.

三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.

一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分.

1.C 2.D 3.D 4.C 5.C

6.C

7.B 8.B 9.A 10.A 11.C 12.D

部分试题考查意图说明:

题 3 用代数方法运算量偏大,用几何直观判断比较简单. 向量首先属几何范畴,思考向量问

题的解决方法,应首先考虑从几何直观入手;引入坐标表示向量后,才使向量进入代数范畴,体

现坐标法思想这一课程本质.本题的位置排序,意在检测解题的数形结合意识,检查对课程价值的

认识和对课程本质的把握是否到位.

题6

方法一:注意到直线

z

?

4x

?

5y

的斜率

k1

?

?

4 5

,直线

P3 P4

的斜率

k2

?

?

3 ,平移 3

直线 z ? 4x ? 5y 考察其纵截距的最大值,可判断答案. 方法二:特殊化地取正六边形的边长为1,

分别求出各顶点的坐标,代入 z ? 4x ? 5y ,再比较大小. 本题考查直线的斜率、线性规划等基础
知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、函数与方程思想以及特殊与一般 思想. 本题有意识地不给出具体的坐标(正六边形边长),意在体现对特殊与一般思想的考查.
题 11 本题可再增加一个待定参数(如将圆的方程改为 x2 ? y2 ? 2x ? Ey ? 2 ? 0 )以进一步提高
试题品位,但难度将加大. 直线与圆的位置关系问题,特别强调充分利用平几性质以简化运

算.

题 12 方法一:取焦点 F (c, 0) ,渐近线 y ? b x .则直线 EF : y ? ? a x ? ac ,求得 E(0, ac ) ,

a

bb

b

a2 M(
c

, ab) , FE c

?

(?c, ac), FM b

?

b2 (?
c

, ab) .得 ? c

?

c2 b2

?

e2 e2 ?

1

.再由1

?

?

? 2,解得 e

?

2.

方法二:特殊化,令 e ? 2 ,取焦点 F (c, 0) ,渐近线 y ? 3x ,求直线 EF : y ? ? 1 (x ? c) ,解 3

得 xM

?

c 4

,由 FE

? ? FM

得 ?c

? ?(c 4

? c), ?

?

4 ? (1, 2) ,离心率可以为 3

2,故排除 A、B、C



项.

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分.

13. 28 ;

14. ? 24 ; 25

15. 8 ;

16. 5 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.本小题主要考查统计的基础知识,考查运算求解能力、数据处理能力以及应用意识,考查必

然与或然思想等.满分 12 分.
解:(Ⅰ)众数: 4.9 ;极差: 0.4 .

……………4 分

(Ⅱ)茎叶图如下:

……………8 分

这 20 名学生视力数据的平均数为 x ? 4.7?1+4.8? 6+4.9? 7+5.0? 4+5.1? 2 ? 4.9 , 20

故这 20 名学生视力数据的方差为:

s2

?

1 20

?

2

???

4.7-4.9

?2

?1+?4.8-4.9?2?6+?4.9 ? 4.9?2

?7

? ?5.0

? 4.9?2

?4?

?5.1? 4.9?2

? 2??

= 1 ??0.04 ? 0.06 ? 0 ? 0.04 ? 0.08? ? 0.011.
20

……………12 分

18.本小题主要考查等比数列以及等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与

方程思想、化归与转化思想等. 满分 12 分.
解:(Ⅰ)当 n ? 2 时, Sn ? 2an ? n, ①

Sn?1 ? 2an?1 ? ?n ?1?, ②

……1 分

? ? 由①-②得 Sn ? Sn?1 ? 2? an ? an?1 ?1,整理得 an ? 2an?1 ?1 ,……………3 分

则 an ? 1 ? 2an?1 ? 1 ? 1 ? 2 .

an?1 ? 1

an?1 ? 1

………5 分

所以数列?an ?1? 是公比为 2 的等比数列.
(Ⅱ)当 n ?1 时, S1 ? a1 ? 2a1 ?1,所以 a1 ? 1.

……………6 分 ……………7 分

由(Ⅰ)知 an ?1 ? (a1 ?1) ? 2n?1 ? 2 ? 2n?1 ,所以 an ? 2n ?1,…………9 分

所以 bn ? log2 ?an ?1? ? n.……………10 分

从而

bn

1 ? bn?1

?

1
n ??n ?1?

?

1 n

?

1, n ?1

所以

Tn

=

???1

?

1 2

? ??

?

? ??

1 2

?

1 3

? ??

?

+

? ??

1 n

?

1 n ?1

? ??

?

1?

1 n ?1

?

n n ?1

.……………12



19.本小题主要考查三角函数与解三角形等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查

化归与转化思想、函数与方程思想等.. 满分 12 分.
解: (Ⅰ)由 c ? b ? 2bcos A,得 sinC ?sin B ? 2sin Bcos A .①

……………2 分

在 ?ABC 中,因为 C ? ? ?? A? B? ,所以 sin C ? sin ? A? B? . ……………3 分

代入①式,得 sin? A? B? ?sin B=sin Acos B ? sin Bcos A?sin B ? 2sin Bcos A ,

整理得 sin ? A? B? ? sin B .

……………6 分

因为角 C 为钝角,所以 ? ? ? A ? B ? ? , 0 ? B ? ? ,

2

2

2

所以 A? B ? B ,

故 A ? 2B .

……………7 分

AC BC

BC

(Ⅱ)由正弦定理得

?

?



sin B sin A 2sin B ? cos B

……………8 分

又因为 AC ? 1 ,所以 BC ? 2 AC ?cos B ? cos B . 2

因为角 C 为钝角,所以 0 ? A ? B ? 2B ? B ? ? ,即 0 ? B ? ? ,

2

6

……………9 分 ……………11 分

所以 3 ? cos B ? 1 . 2

? 所以 BC 的取值范围为 ???

3 2

,1????



……………12 分

20.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力、推理 论证能力及运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想等.满分 12 分.
解:(Ⅰ)在面 A1C1 内过点 P 画直线 MN // B1C1 , MN 与棱 A1B1, D1C1 分别交于点 M , N ,再连

接 BM ,CN .……………2 分

理由如下:
∵四棱柱中 B1C1 // BC ,?MN // BC .

D1

A1

N

?M , N, P 与 BC 共面,即所画的线 MN, BM ,CN

P

M

C1

都与 P 和 BC 在同一个平面内. ……5 分 (Ⅱ)锯开后较大木块为四棱柱 AA1MB ? DD1NC .

D

A

H

B1 C
B

若 P 为 A1C1 的中点,则 M 为棱 A1B1 的中点.

? ? 1
SAA1MB ? SAA1B1B ? SMB1B ? 2

3?1

? 4 ? 1 ?1? 2 ? 7 .…6 分 2

取 AB 中点 H ,连接 DH .

ABCD 是边长为 4 的菱形,且 ?DAB ? 600 ,

∴ DH ? AD2 ? AH 2 ? 2ADAH cos?DAH ? 2 3 , ∵ AD2 ? AH 2 ? DH 2 ,∴且 DH ? AB.
侧面 ABCD ? 底面 ABB1A1 ,且平面 ABCD? 底面 ABB1A1 ? AB , 又 DH ? AB, DH ? 平面 ABCD, ?DH ? 平面 ABB1A1 ,……………11 分

…7 分

1

1

?VAA1MB ? DD1NC

?

3 S AA1MB

? DH

?

?7?2 3

3 ? 14 3 .……………12 分 3

21.本小题主要考查圆锥曲线、直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查推理论 证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、分类与整

合思想以及特殊与一般思想等.满分 12 分.
解:(Ⅰ)依题意,可知抛物线 G 的焦点为 F ?1, 0? .

…………1 分

又因为抛物线 G 的顶点在原点,

所以 p ? 2 ,抛物线 G 的标准方程为 y2 ? 4x .

…………3 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知抛物线的准线方程为 x ? ?1 .
设 A? x1, y1 ?, D? x2, y2 ? .

………4 分

根据抛物线的定义,得 AF ? x1 ?1, DF ? x2 ?1,

………5 分

所以 AB ? AF ? BF ? x1 ?1?1? x1 .

……………6 分

同理可得 CD ? x2 .

方法一:若直线 AD 的斜率存在,设直线 AD : y ? k ? x ?1? (显然 k ? 0 ).

? ? 由

?? ? ??

y ? k ? x ?1?
y2 ? 4x,

,



k

2

x2

?

2k2 ? 4

x?k2 ? 0,

则有 x1 ? x2 ? 1,从而| AC | ? | BD |? x1x2 ? 1.

若直线 AD 斜率不存在,则直线 AD : x ?1,

……………7 分 ……………8 分

此时 x1 ? x2 ? 1,亦有| AB | ? | CD |? x1x2 ? 1 .

综上可知,| AB | ? | CD |恒为定值,且此定值为1.

……………9 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知当直线 AD 斜率存在时,

AD

?

AF

?

DF

? x1 ? x2 ? 2 ?

2k 2 k

?
2

4

?

2

?

4k 2 ? k2

4

?

a

,……………10



所以 k 2 ?1 ? a ,即 k2 4

k ?2, k2 ?1 a

因为 O?0,0? 到直线 AD 的距离为 d ? k ? 2 ,
k2 ?1 a

所以

S? AOD

?

1 2

?d

?

AD

? 1? 2

2 ?a ? a

a;

……………11 分

当直线 AD 斜率不存在时,则 x1 ? x2 ? 1, AD ? x1 ? x2 ? 2 ? 4 ,即 a ? 4 ,

此时亦有 S? AOD

?

1 2

?1? 4

?

2

?

a.

综上, S?AOD ? a .

……………12 分

方法二:显然直线 AD 的斜率不为零,故设直线 AD : x ? my ?1.



? ? ?

x ? my ?1, y2 ? 4x,



y2

?

4my

?

4

?

0



则有 y1 ? y2 ? 4m, y1 ? y2 ? ?4 ,

……………7 分

从而| AC | ? | BD |? x1x2 ? (my1 ?1)(my2 ?1)

? m2 y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ?1 ? m2 ? 4m ? m(?4m) ?1 ? 1 .

即证得| AB | ? | CD |恒为定值,且此定值为1.

……………9 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,

AD ? 1? m2 ( y1 ? y2 )2 ? 4y1y2 ? 4(1? m2 ) ? a ,
因为 O?0,0? 到直线 AD 的距离为 d ? 1 ? 2 ,
m2 ?1 a

……………10 分 ……………11 分

所以 S? AOD

?

1 2

?d

?

AD

? 1? 2

2 ?a ? a

a.

……………12 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,

S? AOD

?

S? AOF

?

S? FOD

?

1 2

(|

y1

|

?

|

y2

|)

?1 2

( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ? 2 1? m2 .

又因为 AD ? 1? m2 ( y1 ? y2 )2 ? 4y1y2 ? 4(1? m2 ) ? a ,

………10 分 ……………11 分

所以 S?AOD ? a .

……………12 分

22.本小题主要考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力及应用意识,考

查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等.满分 14 分.

解:(Ⅰ)因为函数 f (x) ? 2(a ?1) x ,所以 f ?(x) ? a ?1 . x

……………2 分

设直线 y ? x ?1与函数 y ? f (x) 的图象相切于点 (x0 , y0 ) ,

? ?

y0

?

2(a

? 1)



? ?

y0

?

x0

? 1,

? ??

a ?1 ? 1, x0

x0

,



? ? ? ? ?

x0

?

1

? a

2(a ?1) ?1 ? 1, x0

x0

,

解得

? ? ?

x0 y0

? 1, ? 2,

?? a ? 0.

所以所求的 a ? 0 . (Ⅱ)记 h(x) ? f (x) ? g(x) ,

……………4 分

则 h(x) ? 2 x ? ln x ? bx ,其定义域为?x | x ? 0? .

(i)函数 y ? f (x) ? g(x) 在定义域内有两个极值点的必要条件是

导函数 h' (x) 在定义域?x | x ? 0? 内有两个零点.

……………5 分

h?(x) ? 1 ? 1 ? b ? ?bx ? x ?1(x ? 0) .

xx

x

令 h?(x) ? 0 ,得 bx ? x ?1 ? 0 .

令 t ? x ,则 t ? 0 .
所以, h' (x) 在定义域?x | x ? 0? 内有两个零点等价于方程 bt2 ? t ?1 ? 0 有两个不

等的正实根 t1 , t2 ,

……6 分

等价于

? ? ? 1? 4b ? 0,

?

? ??t1t2

?

t1

?

t2

?

1 b

?

0,

解得

0

?

b

?

1 4



……………7 分



0

?

b

?

1 4

时,设

h' ( x)

在定义域?x

|

x

?

0?

内的两零点分别为

x1 ,x2

,且

x1

?

x2



则 h?(x) ? ?bx ? x ?1 ? ?b( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ?b(x ? x1)(x ? x2 ) .

x

x

x( x ? x1 )( x ? x2 )

因为 x ? 0,b ? 0, 0 ? x1 ? x2 , 所以,当 x ? (0, x1) 时, h '(x) ? 0 ;当 x ? (x1, x2 ) 时, h '(x) ? 0 ;当 x ? (x2 , ??) 时, h '(x) ? 0 .

所以, x1, x2 都是函数 h(x) ? f (x) ? g(x) 的极值点,即函数 y ? f (x) ? g(x) 在定

义域内有两个极值点.
所以 0 ? b ? 1 . 4

……………9 分

(ii)由(i)知方程 bx ? x ?1 ? 0 的两根为 x1, x2 ,



x1 ? x2 ?

x1 ?

x2

?

1 b



从而

x1

?

x2

?

1 b2



x1

?

x2

?

(

x1 ?

x2 )2 ? 2

x1 ?

x2

?

1 b2

?2 b

.

……………10 分

因为 g(x1) ? g(x2 ) ? ln x1 ? bx1 ? ln x2 ? bx2 ? ln(x1 ? x2 ) ? b(x1 ? x2 ) ,

所以

g(x1)

?

g(x2 )

?

1 ?2ln b ? b(b2

?

2) b

?

?2ln b ?

1 b

?

2

.

又因为 f (x1 ) ? f (x2 ) ? 2

x1 ? 2

x2

? 2, b

…………11 分

所以 g(x1 ) ? g(x2 ) ? 1 ? b ln b ? b . f (x1 ) ? f (x2 ) 2

……………12 分

记 k(b) ? 1 ? b ln b ? b(0 ? b ? 1) .,则 k?(b) ? ?ln b ? 2 .

2

4

方法一:解

k?(b)

?

?

ln

b

?

2

?

0,可得 b

?

1 e2

?

(0,

1) 4



解 k?(b)

?

? ln b ? 2

?

0 ,得

1 e2

?

b

?

1 4





k?(b)

?

? ln b

?

2

?

0 ,得

0

?

b

?

1 e2

.

………13 分

所以,当

b

?

(0,

1 e2

)

时,

k

?b?

单调递增;当

b

?

(

1 e2

,

??)

时,

k

?b?

单调递减.

所以当 b

?

1 e2

时, k ?b?

取得最大值,即 k(b)max

?

1 k(e2 )

?

1 e2

?

1 2



所以 g(x1 ) ? g(x2 ) ? 1 ? 1 成立. f (x1 ) ? f (x2 ) e2 2

……………14 分

方法二:令

k?(b)

?

? ln b

?

2

?

0,可得 b

?

1 e2

? (0,

1) 4

.

当 b 变化时, k ?b? 与 k??b? 的变化情况如下表:

b k '(b)

1 (0, e2 )
大于 0

11

(e2

,

) 4

小于 0

k (b)

单调递增 单调递减

………13 分

所以当 b ?

1 e2

时, k ?b? 取得最大值,即 k(b)max

1 ? k( ) ?
e2

1 e2

?

1 2



所以 g(x1 ) ? g(x2 ) ? 1 ? 1 成立. f (x1 ) ? f (x2 ) e2 2

……………14 分


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