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2012-2013-1概率统计试题A卷及答案

时间:2014-01-12


2012-2013 学年

1

学期

概率论与数理统计(A 卷) 课程考试试题

拟题学院(系): 适 用 专 业:

数理学院

拟题人:

张菊芳 陈 宁

全校相关专业 校对人: (答案写在答题纸上,写在试题纸上无效) 一、填空题(每小题 3 分,共 15 分)

1. 已知 P( A) ? 0.4 , P( AB) ? 0.2 , P( B) ? 0.5 ,则 P( A ? B) ? _________; 2. 电灯泡的使用寿命在 1000 小时以上的概率为 0.2 ,则 3 个灯泡在使用 1000 小时后,最 多只有 1 个灯泡损坏的概率为_________; 3. 设随机变量 X 服从指数分布,且 E ( X ) ? 2 ,则 Var (2 X ? 1) ? _________; 4. 设 E ( X ) ? 5 , Var ( X ) ? 0.25 ,利用切比雪夫不等式估计 P{3 ? X ? 7} ? _________;

?? x? ?1 , 0 ? x ? 1, 5. 设总体 X 的密度函数为 f ( x ) ? ? X 是样本均值,则 ? 的矩估计量为__. 其他, ?0,
二、选择题(每小题 3 分,共 15 分) 1. 设 A, B 为两个事件,若 A ? B ,则下列结论中( )恒成立;

A) 事件 A与B 互斥
1 11

B) 事件 A与B 互斥 C ) 事件 A与B 互斥 D) 事件 A与B 互斥
) ;

2. 掷两颗均匀骰子,则出现点数之和等于 6 的概率为(

A)

B)

5 11

C)

5 36

D)

1 36

3 .设二维随机向量 ( X , Y ) 服从区域 G ? {( x, y ) | 0 ? x ? 1, 0? y ? 2}上的均匀分布,则

1 P{max( X , Y ) ? } ? ( 2 7 A) 8
2

) ;

B)

1 8
2

C)

5 8

D)

1 4
) ;

4. 设 X ~ N (1,3 ) , Y ~ N (0, 4 ) , ? XY ? ?

1 ,则 Cov( X , X ? Y ) ? ( 2
C) 6 D) 0
2

A) 3

B) ?3

5. 设 X 1 , X 2 , ?, X n 是总体 X 的一个样本,已知 E ( X ) ? ? ,Var ( X ) ? ? , X 是样本

第 1 页,共 2 页

1

均值,则以下不正确的是(

).

A) X i (1 ? i ? n) 是 ? 的无偏估计量 C ) X i2 (1 ? i ? n)是? 2 的无偏估计量
三、计算题(每小题12分,共24分)

B) X 是 ? 的无偏估计量 D)
1 n ( X i ?X ) 2 是 ? 2 的无偏估计量 ? n ? 1 i ?1

1. 甲袋中有 2 个白球、 2 个红球,乙袋中有 3 个白球、1 个红球,先从甲袋中任取 2 个球放 入乙袋中,然后从乙袋中任取 1 个球, (1)求从乙袋中取到红球的概率; (2)若已知从乙袋中 取到了红球,求从甲袋中取出的 2 个球都是红球的概率; 2. 设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x) ? ?

? Ax(1 ? x), 0 ? x ? 1, 试求: 其他, ?0,

(1)常数 A ;(2) X 的分布函数;(3) P{ ? X ? } . 四、计算题(第1、2小题每小题8分,第3小题14分,共30分) 1.袋中装有标上号码 1,2,2 的 3 个球,从中任取一个,并且不放回,然后再从中任取一 球,以 X , Y 分别表示第一、二次取到球上的号码数,求: (1) X 与 Y 的联合分布律; (2) P{X ? Y } ; 2. 设随机变量 X ~ U (0,1) ,试求 Y ? 1 ? e
2X

1 4

1 2

的概率密度; .

3.设二维随机向量 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x, y ) ? ?

?8 xy, 0 ? x ? y ? 1, 其他, ?0,

(1)求边缘概率密度 f X ( x), fY ( y) ;(2)判别 X 与 Y 是否独立;(3)求 E( XY ) . 五、计算题(每小题 6 分,共 12 分) 1.在总体 X ~ N (8, 20 ) 中抽取容量为 100 的样本,试求样本均值与总体均值的差的绝对 值大于 3 的概率; (已知 ?(1.5) ? 0.9332, ?(0.15) ? 0.5596 ) 2. 设 X 1 , X 2 , ?, X n 是来自总体 X 的样本, X 的概率密度为 f ( x ) ? ? 中,未知参数 ? ? 0 ,求参数 ? 的极大似然估计量. 六、证明题(4 分) 设 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 是 来 自 正 态 总 体 X ~ N (0, 2) 的 样 本 , 试 证 明 : 统 计 量
2

?? e ? ? x , x ? 0, ?0,

x ? 0,



( X1 ? X 2 )2 ? ( X 3 ? X 4 )2 2 服从 ? 分布,并求其自由度. 4

第 2 页,共 2 页

2

2012-2013 学年 案 拟题学院(系) : 数理学院 适用专业: 全校

1

学期

概率论与数理统计(A) 试题标准答 拟 题 人: 张菊芳 张菊芳

书写标准答案人:

(答案要注明各个要点的评分标准) 一、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 1.0.8;2. 0.104 ;3. 16. ;4. 0.9375(或 15/16) ;5. 二、选择题(每题 3 分,共 15 分) 1.C; 2. C ; 3. A; 4. A; 5. C. 三、计算题(每小题 12 分,共 24 分) 1.解:设 Ai ? {从甲袋中取出了i个红球},i ? 0,1, 2 , B ? {从乙袋中取的是红球} ,则

X 1? X

P( A0 ) ?

2 1 1 2 C2 C2 C2 2 C2 1 1 ? , P ( A ) ? ? , P ( A ) ? ? , 1 2 2 2 2 C4 6 C4 3 C4 6

P( B | A0 ) ?

1 6

2 3 P( B | A1 ) ? , P( B | A2 ) ? 6 6

……………………4 分

(1)由全概率公式, P( B) ?

? P( A )P( B | A )
i ?0 i i

2

……………………6 分

1 1 2 2 1 3 1 ? ? ? ? ? ? ? , 6 6 3 6 6 6 3
(2)由贝叶斯公式, P( A2 | B) ?

…………………..8 分 ……………… 10 分

P( B | A2 ) P( A2 ) P( B)

1 3 1 ? ? ?3 ? 6 6 4
2.解: (1)

……………12 分 ……..………2 分

?

?

??

f ( x)dx ?? Ax(1 ? x)dx ? 1 ,
0

1

A(

x 2 x3 1 A ? ) |0 ? ? 1 , A ? 6 2 3 6

……..………3 分

(2) F ( x) ?

?

x

??

f (t )dt

…………..…4 分

第 3 页,共 2 页

3

x?0 ?0, ? ? x ? ? ? (6t ? 6t 2 )dt , 0 ? x ? 1 0 ? x ?1 ? ?1,

…………..……7 分

x?0 ?0, ? ? ?3x 2 ? 2 x3 , 0 ? x ? 1 ?1, x ?1 ?
(3) P{ ? X ? } ?

………..………9 分

1 4

1 2

?
1 2

1 2 1 4

(6 x ? 6 x 2 )dx ?

11 32

…………12 分

或 P{ ? X ? } ? F ( ) ? F ( ) ?

1 4

1 2

1 4

11 32 1 2 1 ? ? , 3 2 3
…………4 分

四、计算题(第 1、2 小题每小题 8 分,第 3 小题 14 分,共 30 分) 1.解:(1) X ? 1, 2; Y ? 1, 2 , P{ X ? 1, Y ? 1} ? 0, P{ X ? 1, Y ? 2} ?

2 1 1 2 1 1 P{ X ? 2, Y ? 1} ? ? ? , P{ X ? 2, Y ? 2} ? ? ? 3 2 3 3 2 3
即联合分布律为

Y

X
1 2

1 0 1/3

2 1/3 1/3 …………5

分 (2) 分 2.解:X 的密度函数为 f X ( x ) ? ?

1 1 2 P{ X ? Y } ? P{ X ? 1, Y ? 1} ? P{ X ? 1, Y ? 2} ? P{ X ? 2, Y ? 2} ? 0 ? ? ? 3 3 3
?1, 0 ? x ? 1, ?0, 其他.

…8

…………1 分

y ? 1 ? e2 x 在区间(0,1)内, y? ? 2e2 x ? 0, 2 ? y ? 1 ? e2 ,

1 1 x ? h( y ) ? ln( y ? 1), h?( y ) ? 2 2( y ? 1)

…………4 分

第 4 页,共 2 页

4

? f X (h( y )) | h?( y ) |, 2 ? y ? 1 ? e 2 , fY ( y ) ? ? , 其他. ?0,
? 1 , 2 ? y ? 1 ? e2 ? 2( y ? 1) ?? ?0, 其他 ?
3.解(1) f X ( x) ?

…………6 分

………………8 分

?

?

??

f ( x, y)dy

…………..2 分 …………4 分

1 2 ? ? ?x 8 xydy, 0 ? x ? 1 ?4 x(1 ? x ), 0 ? x ? 1 ?? ?? 其他 ?0 , ? 0 , 其他 ?

fY ( y) ? ? f ( x, y)dx
??
y 3 ? ? ?0 8 xydx, 0 ? y ? 1 ?4 y , 0 ? y ? 1 ?? ?? ?0 , 其他 ? , 其他 ?0

?

…………….6 分

…………8 分

(2)X 与 Y 不相互独立,因为 f ( x, y ) ? f X ( x) fY ( y ) (3) E( XY ) ?

…………10 分 …………12 分

? dx? xy ?8xydy
0 x
1 0

1

1

? 8?

x 2 (1 ? x3 ) 4 dx ? 3 9

…………14 分

五、计算题(每小题 6 分,共 12 分)

1.解: 因为

X ?8 X ?8 ? ~ N (0,1) , 2 20 / 100

…………2分

| X ?8| 3 P{| X ? 8 |? 3} ? P{ ? } ? 2[1 ? ?(1.5)] 2 2
? 2[1 ? 0.9332] ? 0.1336
2.解:对于给定样本值 x1 , x2 , ?, xn ,当 xi ? 0 时,似然函数为

…………4分 …………6分

L(? ) ? ? ? e ? ? xi ? ? n e
i ?1

n

??

? xi
i ?1

n

………………2 分

第 5 页,共 2 页

5

取对数得, ln L(? ) ? n ln ? ? ?

?x ,
i ?1 i

n

d ln L(? ) n n ? ? ? xi ? 0 d? ? i ?1

………………4 分

?? ? 的极大似然估计为 ?

n

?x
i ?1

n

?

1 x

i

?? ? 的极大似然估计量为 ?
六、证明题(4 分)

1 X

…………………6 分

证: 因 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 相互独立且均服从 N (0, 2) ,X 1 ? X 2 ~ N (0, 4),

X3 ? X4 ~ N (0,1), 2 X ? X4 X ? X2 且 1 与 3 相互独立, 2 2

X1 ? X 2 ~ N (0,1) , 2
……………2 分

同理,

? X ? X2 ? ? X3 ? X4 ? 2 所以 ? 1 ? ?? ? ~ ? (2) 2 2 ? ? ? ?

2

2

………………4 分

第 6 页,共 2 页

6


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