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河北省定州中学2016届高三数学下学期周练试题(六)

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河北定州中学 2015—2016 学年度第二学期数学周练(六)
一、选择题:共 12 题 每题 5 分 共 60 分

f (m ? m 2 )
1.已知定义在 R 上的可导函数 f ( x) 满足: f ( x) ? f ( x) ? 0 ,则
'

em

2

? m ?1

与 f (1) 的大小关系

是(
2



f (m ? m 2 )
A.

f (m ? m 2 )
> f (1) B.

em

? m ?1

em

2

? m ?1

< f (1)

f (m ? m 2 )
C.

em

2

? m ?1

= f (1)

D. 不确定

2.设 F ( x) ? f ( x) g ( x) 是 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x) ? 0 ,且 g (2) ? 0 , 则不等式 F ( x) ? 0 的解集是( A. (?2, 0) ? (2, ??) C. (??, ?2) ? (2, ??) ) B. (?2, 0) ? (0, 2) D. (??, ?2) ? (0, 2) )

3.已知函数 y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,则不等式 xf′(x)<0 的解集为(

1 1 A.(-∞, 2 )∪( 2 ,2) 1 1 C.(-∞, 2 ∪( 2 ,+∞)

1 B.(-∞,0)∪( 2 ,2) 1 D.(-∞, 2 )∪(2,+∞)

4.在用数学归纳法证明不等式 n=k+1 时,不等式左边应增加 ( )

的过程中,当由 n=k 推到

1 A.增加了一项 2(k ? 1)
1 C.增加了 B 中的两项但减少了一项 k ? 1

1 1 ? B.增加了两项 2k ? 1 2k ? 2

D. 以上都不对

1

m2 ? i 5. 如果复数 1 ? m i 是实数,则实数 m ? (
A. ? 1
?
2

) D. 2

B. 1

C. ? 2

6.

? ? (sin x ? cos x)dx
? 2

的值为(



A.0

? B. 4

C. 2

D.4

1 (? ,0) 7.函数 f(x)=loga(x -ax) (a>0 且 a≠1)在区间 2 内单调递增,则 a 的取值范围是( )
3

?1 ? ? 4 ,1? ? A. ?

?3 ? ? 4 ,1? ? B. ?
3

?9 ? ? ,?? ? ? C. ? 4


? 9? ?1, ? D. ? 4 ?
) D. a ? 0

8.函数 f ( x) ? ax ? x ? 1有极值的充要条件是 A. a ? 0 B. a ? 0 ) C. a ? 0

9.下列求导运算正确的是(

1 1 )? ? 1 ? 2 x A.(x+ x
x ? x C.(3 ) =3 log3e

1 ? B.(log2x ) = x ln 2
D.(x cosx ) =-2xsinx
2

?

10.下列说法正确的是( A.若



f ?( x0 ) 不存在,则曲线 y ? f ( x) 在点 ? x0 , f ( x0 ) ? 处就没有切线;

? x , f ( x0 )? 有切线,则 f ?( x0 ) 必存在; B.若曲线 y ? f ( x) 在点 0
C.若

f ?( x0 ) 不存在,则曲线 y ? f ( x) 在点 ? x0 , f ( x0 ) ? 处的切线斜率不存在;

? x , f ( x0 )? 处的切线斜率不存在,则曲线在该点处没有切线。 D.若曲线 y ? f ( x) 在点 0
1 2 3 x ?2 11.曲线 y= 2 在点(1,- 2 )处切线的倾斜角为(


A.1

? B. 4
2 3

5? C. 4
围成的封闭图形面积为(

? D.- 4


12.由曲线 y ? x , y ? x

2

1 A. 12

1 B. 4

1 C. 3

7 D. 12

二、填空题:共 4 题 每题 5 分 共 20 分 13.在△ABC 中,AB=3,AC=2,∠BAC=60°,M 是 BC 的中点,N 在线段 AM 上,且 BN⊥AM,则向量 BN 在向量 AC 上的投影为

??? ?

??? ?

.

14.同住一间寝室的四名女生,她们当中有一人在修指甲,一人在看书,一人在梳头发,另一人在 听音乐。 ①A 不在修指甲,也不在看书 ②B 不在听音乐,也不在修指甲③如果 A 不在听音乐,那么 C 不在修 指甲 ④D 既不在看书,也不在修指甲⑤C 不在看书,也不在听音乐若上面的命题都是真命题,问她 们各在做什么? A在 B在 C在 D在 .

15.已知 a , b 是不相等的正数,

x?

a? b 2

,y ? a?b

,则 x, y 的大小关系是 ______

z1 ? a ? 2i, z 2 ? 3 ? 4i, 且
16. 若 三、解答题:共 8 题 共 70 分

z1 z 2 为纯虚数,则实数 a 的值为 ______.

17.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0, b 、 c ? R) ,曲线 y ? f ( x) 经过点 P(0, 2a ? 8) 且在
2 2

点 Q(?1, f (?1)) 处的切线垂直于 y 轴,设 g ( x) ? ( f ( x) ?16) ? e 。 (I)用 a 分别表示 b 和 c ;

?x

c (Ⅱ)当 b 取得最小值时,求函数 g ( x) 的单调递增区间。

18.已知函数

f ? x ? ? kx, g ? x ? ?

ln x x .

(1)求函数

g ? x? ?

ln x x 的单调区间;
在区间,

(2)若不等式

f ? x? ? g ? x?

?0, ??? 内恒成立,求实数 k 的取值范围;
3

ln 2 ln 3 ln n 1 ? 4 ? ... ? 4 ? (n ? 2, n ? N ? , e 4 3 n 2e (3)求证: 2 为自然对数的底数).

19.已知函数

f ? x? ?

ln x 1 g ? x ? ? ax ? b x 的图象为曲线 C ,函数 2 的图象为直线 l .

(1)当 a ? 2, b ? ?3 时,求

F ? x? ? f ? x? ? g ? x?

的最大值;

(2) 设直线 l 与曲线 C 的交点横坐标分别为

? x ? x2 ? g ? x1 ? x2 ? ? 2 . x1 , x2 , x ? x2 , 且 1 求证: 1

20 .已知向量

?? ? ?? ? m ? ? e x , ln x ? k ? , n ? ?1, f ? x ? ? , m ? n(k
x

为常数, e 是自然对数的底数 ),曲线

y ? f ? x?

在点

?1, f ?1?? 处的切线与 y 轴垂直, F ? x? ? xe f ' ? x? .
F ? x?
的单调区间; 为正实数), 若对任意

(1)求 k 的值及 (2)已知函数 得

g ? x ? ? ?x2 ? 2ax(a

x2 ??0,1?

,总存在

x1 ? ? 0, ???

,使

g ? x2 ? ? F ? x1 ?

,求实数 a 的取值范围.

4

21.在数列

?an ? 中,已知

a1 ? 2, an?1 ?

2an an ? 1 .

?1 ? ? ? 1? a ? 是等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (1)证明数列 ? n

(2)求证:

? a ? a ? 1? ? 3
i ?1 i i

n

.

22.设数列 (1)求

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且对任意 n ? N ? 都有: ? Sn ? 1?

2

? an S n

.

S1 , S2 , S3 ;

(2)猜想

Sn 的表达式并证明.

0? x?
23. (1)已知

?
2 ,证明: sin x ? x ? tan x ; sin x x 在 x ? ? 0, ? ? 上为减函数.

(2)求证:函数

f ? x? ?

24.设复数

z ? lg ? m 2 ? 2m ? 14 ? ? ? m 2 ? m ? 6 ? i

,求实数 m 为 何值时?

5

(1) z 是实数; (2) z 对应的点位于复平面的第二象限.

6

参考答案 1.A 【解析】 试题分析:设 g ( x) ? e f ( x), 因为 f ( x) ? f ( x) ? 0, 所以 g ( x) ? e ( f ( x) ? f ( x)) ? 0. g ( x) 为 R
x ' ' x '
2 2 上 的 减 函 数 , 又 因 为 m ? m ? 1 ? 0 所 以 m ? m ? 1 , g (m ? m ) ? g (1). 即

2

f (m ? m 2 )

e m?m f (m ? m2 ) ? ef (1), 所以 e m

2

2

? m ?1

> f (1) .故选 A.

考点:1、函数的单调性与导数;2、导数的运算. 【方法点晴】本题主要考查的是导数的运算和应用导数求函数的单调性,属于难题 . 构造新函数

g ( x) ? e x f ( x), 利用导数研究其单调性.注意到已知 f ' ( x) ? f ( x) ? 0, 可得到 g ( x) 为单调减函数,
2 最后由 m ? m ? 1 得到 g (m ? m ) ? g (1). 代入函数解析式即可.

2

2.D 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 所 以 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x). 当 x ? 0 时 ,
' ' '

F ' ( x) ? 0 ,即 F ( x) 在 (??,0) 上单调递增,且 F (2) ? f (2) ? g (2) ? 0 又因为 F (? x) ? ? F ( x), 所
以 F (?2) ? ? F (2) ? 0. F ( x ) 如图所示,所以 F ( x) ? 0 的解集为 (??,?2) ? (0,2). 故选 D.

考点:1、应用导数求单调性. 【思路点晴】本题主要考查的是应用导数求函数的单调性,属于难题.由 F ( x ) 是奇函数可知, F ( x ) 图像关于 原点对称,只需做出 x ? 0 时 的图像,则整个 F ( x ) 图像就 可以做出来 . x ? 0 时 ,

F ' ( x) ? 0, F ( x) 在 (??,0) 上单调递增 . F (? x) ? ? F ( x), F (?2) ? ?F (2) ? 0. F ( x) 图像上有一
点 (?2,0). 这样 F ( x ) 的大致图像就如图所示, F ( x) ? 0 的解集就是分布在三四象限的图像对于的 x 的集合. 3.B 【解析】

7

1 1 x ? (?? , ) x ? ( ,2) ' ' x ? ( 2 , ?? ) f ( x ) ? 0 , 2 和 2 试题分析:由图知当 时, 当 时 , f ( x) ? 0 而

xf ' ( x) ? 0
1 x ? ( ,2) 2 要求 x 与 f ( x) 异号,所以 x ? (??,0) 和 满足题意.故选 B.
'

考点:1、函数的单调性与导数;2、数形结合. 4.C 【解析】

1 1 1 ? ??? , 2k 当 n ? k ? 1 时 , 左 边 试 题 分 析 : 当 n ? k 时 , 左 边 = k ?1 k ? 2 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ? , 2k 2k ? 1 2k ? 2 故选 C. = k ?2 k ?3
考点:1、数学归纳法. 5.A 【解析】

m 2 ? i (m 2 ? i) ? (1 ? m i) m 2 ? m ? (1 ? m 3 )i m2 ? i ? ? . 1 ? m2 试 题 分 析 : 1 ? m i (1 ? m i) ? (1 ? m i) 由 题 意 知 1? m i 是 实 数 , 所 以
1 ? m3 ? 0, m ? ?1, 故选 A.
考点:1、复数的运算;2、复数的定义. 6.C 【解析】

试题分析:

? ? (sin x ? cos x)dx ? (? cos x ? sin x) | ? ? 2.
2 2 ? 2 ? 2

?

?

故选 C.

考点:1、定积分计算;2、定积分的运算性质. 7.B 【解析】 试 题 分 析 : f(x)=loga(x -ax)
3











(? a ,0) ? ( a ,??).



y ? loga g, g ? x ? ax, g ( x) ? 3x ? a, g ( x) 的 单 调 减 区 间 为
3

'

2

(?

a ,0). 3 单调增区间为

( ? a ,?

a a ) (? ,0). 3 或 ( a ,??). 当 a ? 1 时, f ( x) 的单调减区间为 3 不合题意.当 0 ? a ? 1 时, (? a 1 a 3 ,0). ? ?? , a ? [ ,1). 3 3 所以 4 故选 B. 所以时, 2
8

f ( x) 的单调增区间为

考点:1、复合函数的单调性;2、应用导数求单调性. 【易错点晴】本题主要 考查的是复合函数的单调性,属于中档题.将函数 f ( x) 看作是复合函数,令

g ( x) ? x 3 ? ax, 且 g ( x) ? 0 得到 f ( x) 的定义域是 (? a ,0) ? ( a ,??). 因为 g ( x) 是高次函数,所
以用导数来判断其单调性,再由复合函数“同增异减”求得. 8.C 【解析】
' 2 ' 试题分析:f ( x) ? 3ax ? 1, f ( x) 有极值则 f ( x) ? 0 有解, 即

3ax 2 ? 1 ? 0, x 2 ? ?

1 3a , 所以 a ? 0.

故选 C. 考点:1、函数的极值;2、导数的运算. 9.B 【解析】

1 1 ?log 2 x ?' ? 1 , (x ? )' ? 1 ? 2 , x ' x x x ln 2 B 选项正确. (3 ) ? 3 ln 3, C 选项 x 试题分析: A 选项错误.
错误. ( x cos x) ? 2 x cos x ? x sin x. D 选项错误.
2 ' 2

考点:1、导数的运算法则;2、基本初等函数的导数公式. 10.C 【解析】

试题分析:

f ( x0 ) 不存在只能说明 ?x?0

'

lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ' ( x0 ) ? k 表示在 x0 处斜 ?x 不存在,但

0 ( x , f ( x0 ) 处有切线但 率不存在,这时切线的倾斜角有可能是 90 , A 选项错误 . y ? f ( x) 在点 0

f ' ( x0 ) 不一定存在,B 选项错误. f ' ( x0 ) 不存在说明曲线在点 ( x0 , f ( x0 ) 处切线斜率不存在,故 C
选项正确.切线斜率不存在说明切线是垂直于 x 轴的,D 选项错误. 考点:1、导数的几何意义;2、切线与斜率的关系. 11.B 【解析】 试题分析: f ( x) ? x, k ? f (1) ? 1, 则
' '

tan ? ? k ? 1, ? ?

?

, 4 故选 B.

考点:1、导数的几何意义;2、函数的 求导. 12.A 【解析】
1 1 ? 1 1 1 ?1 S ? ? ( x 2 ? x 3 )dx ? ? x 3 ? x 4 ? |1 ? ? . 0? 0 3 4 3 4 12 故选 A. ? ? 试题分析:由图知,封闭图形面积

9

考点:1、定积分的应用;2、幂函数的图像.

27 13. 38
【解析】以 A 为原点、AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系,则 A(0,0) ,B(3,0) ,C(1, 3 ) ,所

M (2,


3 ? ? ? ? ? ? ) N ?? A M 2 , 设A

(2? ,
=

3? ??? ? ???? ??? ? (2? ? 3, 3? ) ) N ? A N A B ? 2 , 2 , ∴B = 因为 AM ? BN ,

???? 24 3 3? 9 12 3 ????? ????2(2? ? 3) ?? ? ? ?0 BN ? (? , ) 19 , 所 以 2 2 19 19 ,所以 所 以 A M ? B N= ,解得 uuu r uuu r BN × AC 27 uuu r uuu r uuu r? 9 ? 3 ? 12 3 27 | AC | B N× A C 19 = 19 ,所以向量 BN 在向量 AC 上的投影为 = 19 = 38 .
【命题意图】本题主要考查向量的线性运算及向量数量积的应用,考查运算求解能力,是基础题. 14.A 听音乐 B 在看书 C 修指甲 D 在梳头发 【解析】 试题分析:由命题①②④可知 ,A,B,D 都不在修指甲,所以 C 在修指甲. ③的逆否命题为如果 C 在 修指甲,那么 A 在听音乐. ③为真命题,则其逆否命题也为真命题,所以 A 在听音乐.由④知 D 不在 看书,所以 D 在梳头发,最后只有 B 在看书. 考点:1、合情推理;2、命题. 15. x ? y 【解析】

a ? b ? 2 ab ? a ? b ? 2 ab ( a ? b)2 x ?y ? ? (a ? b) ? ?? . 2 2 2 试题分析: 因为 a , b 是不相
2 2

x2 ? y2 ? ?
等的正数,所以

( a ? b)2 ? 0, 2 2 2 即 x ? y , x ? y. a ? b ? 2 ab 2 a?b?a?b ,y ? a?b ? , 2 2 结合

【思路点晴】本题主要考查的是如何比较两个数的大小和基本不等式的应用,属于中档题.基于本题 中两个数 x, y 的特点,比较其平方的大小,而

x2 ?

10

基本不等式 a ? b ? 2 ab, (a ? 0, b ? 0). 当且仅当 a ? b 时取等号,可进行比较. 考点:1、比较两个数 的大小;2、基本不等式.

8 16. 3
【解析】

z1 a ? 2i (a ? 2i)(3 ? 4i) 3a ? 8 ? (4a ? 6)i z1 ? ? ? . z 3 ? 4i (3 ? 4i)(3 ? 4i) 25 z 试题分析: 2 因为 2 为纯虚数,所以
8 3a ? 8 ? 0, a ? . 3
考点:1、复数的运算;2、复数的定义.
2 17. (I) c ? 2a ? 8 ; (Ⅱ) b ? 2a .

【解析】 试题分析: (1)点 P(0,2a ? 8) 代入 f ( x) 解析式中,则 c 可用 a 表示,且 f ( x) 在点 Q 处切线垂直
2

c ' f ( ? 1 ) ? 0 于 y 轴,即 可知 b 能用 a 表示.(2) b 取最小值,应用基本不等式可得 a 的取值,从而
b,c 的取值也能计算出来,这样 f ( x) 解析式可以求出来, g ( x) 的解析式也能求出来,再应用导数 求得 g ( x) 的单调增区间. 试题解析: (I)? 经过点 P(0, 2a ? 8)
2
2 ? c ? 2a ? 8 ;

由切线垂直于 y 轴可知 f '(?1) ? 0 ,从而有 ?2a ? b ? 0 , ? b ? 2a

c 2a 2 ? 8 4 4 4 ? ? a ? ? 2 a? ? 4 a? 2a a a a ,即 a ? 2 时取得等号。 (Ⅱ)因为 a ? 0, 而 b , 当且仅当
? f ( x) ? 2x2 ? 4x ? 16, g ( x) ? ( f ( x) ?16) ? e? x ? (2 x2 ? 4x)e? x g '( x) ? (4x ? 4)e? x ? (2x2 ? 4x)e? x (?1) ? e? x (4 ? 2 x2 )
因为 e
?x

?0

? g '( x) ? 0 时 g ( x) 为单调递增函数,即 (? 2, 2) 为单调递增区间
考点:1、导数的几何意义;2、应用导数求函数的单调区间.

18. (1) 【解析】

g ? x?

k? ? 0, e ? ,单调递减区间为 ?e, ??? ; 2e ; 的单调递增区间为 (2) (3)证明见解析.

1

试题分析: (1)求出

g ? x?

的导数,并求出其零点和符号变化情况,即可得到其在

?0, ??? 上的单调
11

性; (2)不等式

f ? x? ? g ? x?

k?


ln x ? h(x) x2 ,利用导数在研究其单调性的基础上,得到其最大

ln x 1 1 ? ? 2 4 2e x ,根据不等 值,即得 k 的范围; (3)根据要证明不等式的形式,利用(2)的结论可得 x
式的性质逐项相加,即可得证.

试题解析: (1)

? g ? x? ?

ln x 1 ? ln x ? g '? x? ? 0, ?? ? ? x ,故其定义域为 x 2 令 g ' ? x ? ? 0 ,得 ,

0? x ? e,



g ' ? x? ? 0

,得 x ? e 故函数

g ? x? ?

ln x x 的单调递增区间为 ? 0, e ? 单调递减区间为 ? e, ??? .

? x ? 0, kx ?
(2) 当x在

ln x ln x ln x 1 ? 2 ln x ,? k ? 2 h ? x? ? 2 h '? x? ? h ' ? x? ? 0 x x 令 x 又 x3 令 解得 x ? e ,

?0, ??? 内变化时, h ' ? x ? , h ? x ? 变化如下表

由表知,当 x ?

e 时函数

h ? x?

1 1 k? 2e . 有最大值,且最大值为 2 e ,所以

ln x 1 ln x 1 1 ? ln 2 ? ln 3 ? ... ? ln n ? 1 ? 1 ? 1 ? ... ? 1 ? ? ? 4 ? ? 2 ? ? 4 2 34 n4 2e ? 22 32 n2 ? 2e x 2e x , 2 (3)由(2)知 x


1 1 1 1 1 1 1? 1 ? 1? ?1 1? ? 1 ? 2 ? ... ? 2 ? ? ? ... ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ? ? 1? ? 1 2 2 3 n 1? 2 2 ? 3 ? n ?1? n ? 2 ? ? 2 3 ? n ? n ?1 n ? ,
? ln 2 ln 3 ln n 1 ? 1 1 1 ? 1 ln 2 ln 3 ln n 1 ? 4 ? ... ? 4 ? ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ? ? ? 4 ? ... ? 4 ? 4 4 2 3 n 2e ? 2 3 n ? 2e 即 2 3 n 2e .

考点:利用导数研究函数的单调性和极值、最值及不等式的证明. 【方法点睛】 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值、 最值, 属于中档题.研究函数问题, 首先要把握好定义域优先的原则,这是研究单调性时最常见的错误,判断符号可以列表也可以串根 来解答;第二问解决含参数的函数的恒成立时,能分离参数的优先考虑分离参数,转化为求定函数

12

的最值问题;证明不等式应先分析要证不等式的形式,考虑其前问的结论间的联系,合理构造,利 用不等式的性质合理变形达到证明的目的. 19. (1) 【解析】 试题分析: (1)由 a ? 2, b ? ?3 知: 为 x ? 1 ,研究

F ? x ?max ? 2

; (2)证明见解析.

F '? x? ?

1 ? ln x 1 ? ln x ? x 2 ? 1 ? F '? x? ? 0 x2 x2 ,观察可得 的解

F '? x?



?0, ??? 上的符号,得其单调性,求得其极值即得其最值; x ? x2 , (2)设 1

1 2 ?1 ? 2 ? x2 ? x1 ? ax2 ? bx2 ? ? ax12 ? bx1 ? ? ? x ? x2 ? g ? x1 ? x2 ? ? 2 ,只需要证明 2 x1 ? x2 ,结合题意可 ?2 ? 要证 1 ln x2 ? ln x1 ?
变 形 为

2 ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 , 也 就 是

? x2 ? x1 ? ln

x2 ? 2 ? x2 ? x1 ? x1 , 构 造 函 数

G ? x ? ? ln

x x1 ? ?1 x1 x ,利用导数研究其单调性求其最值即可证明.

试 题 解 析 :( 1 )

? a ? 2, b ? ?3,? F ? x ? ?

ln x 1 ? ln x 1 ? ln x ? x 2 ? x ? 3, F ' ? x ? ? ? 1 ? x x2 x2 令

F '? x? ? 0

x ??0 , 1 ? 时 , F ' ? x ? ? 0 , F ? x? 单 调 递 增 , 当 x ? ?1, ??? 时 , , 则 x ?1 , 当
单调递减,

F ' ? x ? ? 0 ,F ? x ?

? F ? x ?max ? F ?1? ? 2

.

( 2) )不妨设 证

x1 ? x2 要证 ? x1 ? x2 ? g ? x1 ? x2 ? ? 2 ,只需证

? x1 ? x2 ? ? ?

1 ? a ? x1 ? x2 ? ? b ? ? 2 ?2 ? ,只需

2 ? x2 ? x1 ? 1 1 2 a ? x1 ? x2 ? ? b ? a x22 ? x12 ? b ? x2 ? x1 ? ? 2 x1 ? x2 ,证 2 x1 ? x2 ,

?

?

1 2 ?1 ? 2 ? x2 ? x1 ? ax2 ? bx2 ? ? ax12 ? bx1 ? ? 2 x1 ? x2 . ?2 ? 证
? ln x1 1 ln x2 1 1 1 ? ax1 ? b, ? ax2 ? b,? ln x1 ? ax12 ? bx1 ,ln x1 ? ax2 2 ? bx2 x1 2 x2 2 2 2 ,

ln x2 ? ln x1 ?
只需证

2 ? x2 ? x1 ? 2 ? x2 ? x1 ? x x ln 2 ? ? x2 ? x1 ? ln 2 ? 2 ? x2 ? x1 ? x1 x1 ? x2 ,即 x1 x1 ? x2 ,即证 ,令

H ? x ? ? ? x ? x1 ? ln

x x x x x ? 2 ? x ? x1 ? , x ? ? x1 , ?? ? , H ' ? x ? ? ln ? 1 ? 1 G ? x ? ? ln ? 1 ? 1 x1 x1 x x1 x ,令 ,
13



G '? x? ?

x ? x1 ?0 x ? ? x1, ??? G? x ?G ? x ? ?? x2 , 在 单 调 递 增 ,
,

x0 ?G1 ? ?

, 即

H '? x? ? 0

?H ? x?



x ? ? x1, ???

单 调 递 增 .

H ? x ? ? H ? x1 ? ? 0

, 即

H ? x ? ? ? x ? x1 ? ln

x ? 2 ? x ? x1 ? ? 0 ?? x1 ? x2 ? g ? x1 ? x2 ? ? 0 x1 , .

考点:利用导数研究函数的单调性、最值及分析法、综合法等. 【方法点睛】本题考查了利用导数在研究函数的单调性、最值中的应用及分析法、综合法等数学证 明方法,考查考生的运算求解能力,推理论证能力及转化与化归等数学思想和方法,对考生的数学 思维要求较高,有一定的探索性,综合性强,难点大,是高考压轴题中的常见题型.本题解答的难点 是第(2)通过分析、变形及题中两个函数解析的特征把要证明的不等式变形得到新函数

G ? x ? ? ln

x x1 ? ?1 x1 x ,通过研究求新函数单调性,得其最值达到证明的目的,这也是这类问题最常 ? 1? ?1 ? 1 ? ?? 0 ? a ? 1? 2 ? 0, 2 ? 2 ? ?; e . 的增区间为 ? e ? ,减区间为 ? e (2)

见的处理策略. 20. (1) k ? 1 , 【解析】 试题分析: (1) 利用向量平行的条件求出函数

F ? x?

y ? f ? x?

, 在求出此函数的导函数, 函数在点

?1, f ?1??

f ? ?1? ? 0 F ? x? 处的切线垂直于 y 轴,根据 即可求得 k 的值;从而得到函数 的解析式,求出函数 F ? x?
函数 于 的定义域,然后令导函数为零求出极值点,借助导函数在各区间内的符号变化情况即可得到 的单调区间; (2)对于任意

F ? x?

x2 ??0,1?

,总存在

x1 ? ? 0, ???

,使得

g ? x2 ? ? F ? x1 ?

等价

g ? x ?max ? F ? x ?max g ? x?

,根据(1)的结论求出函数 在

F ? x?

的最大值,根据二次函数的知识在分类讨

论的基础上求出

?0,1? 上的最大值,得到 a 的不等式,分类求出 a 的取值范围.

1 ? ln x ? k ln x ? k x f ? x? ? , ? f ' x ? ? ? ex ex 试 题 解 析 :( 1 ) 由 已 知 可 得 :
f ' ?1? ? 1? k ? 0,? k ? 1,? F ? x ? ? xe x f ' ? x ? ? e

, 由 已

知,

?1 ? x ? ? ln x ? 1? ? 1 ? x ln x ? x ?x ? ,
1 e2 ,

? F ' ? x ? ? ? ln x ? 2



F ' ? x ? ? ? ln x ? 2 ? 0 ? 0 ? x ?

14



F ' ? x ? ? ? ln x ? 2 ? 0 ? x ?

? 1? ?1 ? 1 ? ?? ? 0, 2 ? 2 ? 2 ?F ? x? ?. e , 的增区间为 ? e ? ,减区间为 ? e

(2)? 对任意

x2 ??0,1?

,总存在

x1 ? ? 0, ???

,使得

g ? x2 ? ? F ? x1 ? ,? g ? x ?max ? F ? x ?max



x?
(1)知,当

1 ?1? 1 F ? 2 ? ? 1? 2 2 2 e ,对于 g ? x ? ? ? x ? 2ax ,其对称轴为 e 时, F ? x ? 取得最大值 ? e ?
g ? x ?max ? g ? a ? ? a 2 ,? a 2 ? 1 ? 1 e2 , 从 而 0 ? a ? 1 , 当 a ? 1 时 ,

x ? a 当 0 ? a ?1 时 ,

1 1 1 g ? x?m a x? g 1 ? a ? 1? 2 0 ? a ? 1? 2 ?1? ? 2 a? 1 ,? 2a ? 1 ? 12? e ,从而 e 时,综上可知: e .
考点:导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、给定区间上的最值及不等式的恒成立和有解 等. 【方法点睛】本题考查了根据导数的几何意义求过函数图象上某点的切线,利用导数研究函数的单 调性及在给定区间上的最值问题,考查了分类讨论及转化的数学思想,属于难题.本题解答的难点是 第(2)问中对条件“对任意

x2 ??0,1?

,总存在 和

x1 ? ? 0, ???

,使得

g ? x2 ? ? F ? x1 ?

”的处理,解答

时应逐个分析,把问题转化为求函数

g ? x?

F ? x?

在给定区间上的最大值问题,结合二次函数和导

数知识最终把问题转化为关于参数 a 的不等式来求解.

21. (1) 【解析】

an ?

2n 2n ? 1 ; (2)证明见解析.

1 ?1 an ?1 2an 1 ?1 an ?1 ? a a ? 1 n n 试题分析: (1)把递推关系 变形,利用等比数 列的定义证明 是常数即可,根据
?1 ? ? ? 1? a ? 的通项公式,整理即可得到数列 ?an ? 的通项公式; 证明的结论,求出数列 ? n ( 2 )对数列

的通项公式放缩 列的前 n 项和,即可得证.

?a ? a
n

n

?1??

an ? an ? 1? ?

?2

2i
n

? 1?

2

?

?2

n

? 1?? 2 n ? 2 ?

2n

,采用裂项法求出放缩后数

an ?1 ?
试 题 解 析 :( 1 ) 由

2an 1 1 1 ? ? an ? 1 两 边 取 倒 数 , 得 an?1 2an 2 , 即

? 1 1? 1 1 1 ? 1 ? ? ? 1? ,? a1 ? 2, ? 1 ? an?1 2 ? an ? a1 2 ,
15

? 数 列

?1 ? ? ? 1? ? an ? 是 首 项 为
n ?1

1 2

, 公 比 为

1 2

的 等 比 数 列 ,

?

1 1 ?1? ?1 ? ? ? ? an 2 ?2?
? an ?

2 ?1? ? ? ? ? ,? an ? n 2 ?1 . ?2?
ai ? ai ? 1? ?
,当 i ? 2 时,

n

n

(2)

2n 2i , ? a a ? 1 ? i ? 1, 2,3,..., n ? ? ? i i 2 ? i 2n ? 1 2 ? 1 ? ?
?

? 2i ? 1?

2i

2

?

? 2 ? 1?? 2 ? 2 ?
i i

2i

2i ?1 1 1 ? i ?1 ? i i i ?1 ? 2 ? 1?? 2 ? 2 ? 2 ? 1 2 ? 1

,

? ? ai ? ai ? 1? ? a1 ? a1 ? 1? ? a2 ? a2 ? 1? ? ... ?
i ?1

n

an ? an ? 1? ?
.

1 ? ? 1 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?? 1 ? 2 ??? 2 ? 3 ? ? ... ? ? n?1 ? n ? ? 2 ? 1 ? n ?3 2 ?1 ? 2 ?1 2 ?1 ? ? 2 ? 1? ? 2 ? 1 2 ?1 ? ? 2 ?1 2 ?1 ?
i 2

2i

ai ? ai ? 1? ?
另解:当 i ? 2 时,
n

? 2 ? 1? ? 2
i 2

2i

?

i ?1

? 1?? 2

2i

i ?1

2? 1 1 ? ? ? i ?1 ? i ?1 ? , ? 2? 3 ? 2 ?1 2 ?1 ?

? ? ai ? ai ? 1? ? a1 ? a1 ? 1? ? a2 ? a2 ? 1? ? ... ?
i ?1

an ? an ? 1? ?

2? 1 1 ? 2? 1 1 ? ? ? 1 ? 3 ?? ? 2 ? 4 ? ? 2 ?1? 3 ? 2 ?1 2 ?1 ? 3 ? 2 ?1 2 ?1 ?
1 2

21

2? 1 1 ? 2? 1 1 1 ? 8 ?... ? ? n?1 ? n?1 ? ? 2 ? ?1 ? ? n ? n?1 ? ? 2 ? ? 3 3 ? 2 ?1 2 ?1 ? 3 ? 3 2 ?1 2 ?1 ? 9 .
考点:等比数列的定义、通项公式及数列的裂项法求和.

1 2 3 n S1 ? , S2 ? , S3 ? Sn ? 2 3 4; n ? 1 ,证明见解析. 22. (1) (2)猜想
【解析】

? S ? 1? 试题分析: (1)根据数列的项和和之间的关系,由 n
Sn ?

2

? an S n

? S ? 1? 可得 n

2

? ? S n ? S n ?1 ? S n ,



1 2 ? Sn?1 ,即可求得 S1 , S2 , S3 的 值; (2)可用用数学归纳法证明,先验证 n ? 1 时,猜想正确,
Sk ?

假设当 n ? k 时,猜想正确,即

1 k Sk ?1 ? 2 ? Sk ,代入整理即可. k ? 1 ,那么 n ? k ? 1 时,

16

? Sn ? 1?
试 题 解 析 :( 1 )

2

? ? Sn ? Sn?1 ? Sn ,? Sn ?

1 2 ? Sn?1 , 又

? S1 ? 1?

2

? S12



1 2 3 ? S1 ? , S 2 ? , S3 ? 2 3 4. Sn ? n 1 n 1 S1 ? , ? n ? 1 ,下面用数学归纳法证明:①当 n ? 1 时, 2 n ? 1 2 猜想正确; Sk ? k k ?1 , 那 么 , n ? k ?1 时 , 由

(2)猜想

② 假 设 当 n?k

时 , 猜 想 正 确 , 即

Sk ?1 ?

1 1 k ?1 ? ? k 2 ? Sk 2 ? ? k ? 1? ? 1 k ?1 ,
Sn ? n n ? 1 对任意 n ? N ? 均成立.

猜想也成立, 综上知,

考点:归纳猜想及数学归纳法证明恒等式. 23. (1)证明见解析; (2)证明见解析. 【解析】 试题分析: (1) 构造函数

f ? x ? ? sin x ? x, g ? x ? ? x ? tan x

, 求导 (切化弦后用商的法则求导) ; (2)

0? x?
直接求导,讨论

? ?

, ? x?? 2 2 两种情况(利用第一问结论).

试题解析: (1) 设

f? x ? ?n s ix ? xg , x

a t nx ?x ? ? ?

, 则

f ?? x ??c o sx 1 ?? 0

, 所以

f ? x?

? ?? ? 0, ? 在? 2 ?


上 单 调 递 减 , 所 以

f ? x ? ? f ? 0? ? 0

即 sin x ? x ? 0 , 所 以 sin x ? x

? ?? sin x cos 2 x ? sin 2 x 1 0, ? g ? x? ? x ? , g? ? x ? ? 1? ? 1 ? ? 0 g ? x? ? 2 ? 上单调递减, ? cos x cos 2 x cos 2 x ,所以 在
所以

g ? x ? ? g ? 0? ? 0

即 x ? tan x ? 0 ,所以 x ? tan x ,综上可知 sin x ? x ? tan x ;

0? x?
(2)求导,根据第(1)问的结论,讨论

? ?

, ? x?? 2 2 两种情况下导函数的符号即可.

考点:利用导数研究函数的单调性和最值并证明不等式. 24. (1) m ? 3 ; (2) ?5 ? m ? ?1 ? 15 . 【解析】

17

试题分析: (1)要使 z 是实数,应满足对数的真数大于零且虚部等于零; (2) z 对应的点位于复平 面的第二象限应满足实部小于零即“真数大于零且小于 1 ” ,同时虚部大于零,列出不等式组即可求 得实数 m 的取值范围.

试题解析: (1)

?m2 ? m ? 6 ? 0 ? ?m?3 ? 2 ? ?m ? 2m ? 14 ? 0

(舍去 ?2 ).

2 2 ? ?lg ? m ? 2m ? 14 ? ? 0 ? ?0 ? m ? 2m ? 14 ? 1 ?? 2 ? 2 ?m ? m ? 6 ? 0 m ? m ? 6 ? 0 ? ? (2) ?

?m2 ? 2m ? 14 ? 0 ?m ? ?1 ? 15或m ? ?1 ? 15 ? ? ? ?m2 ? 2m ? 15 ? 0 ? ??5 ? m ? 3 ?m2 ? m ? 6 ? 0 ?m ? ?2或m ? 3 ? ?5 ? m ? ?1 ? 15 ? ?
考点:复数的相关概念.

18


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