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排列组合知识点与方法归纳

时间:2018-06-27


排列组合知识点与方法归纳
一、 知识要点
1. 分类计数原理与分步计算原理 (1) 分类计算原理(加法原理):

完成一件事,有 n 类办法,在第一类办法中有 m1 种不同的方法,在第二类办 法中有 m2 种不同的方法,??,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完 成这件事共有 N= m1+ m2+?+ mn 种不同的方法。 (2) 分步计数原理(乘法原理):

完成一件事,需要分成 n 个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方法,做第 2 步有 m2 种不同的方法,??,做第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N= m1× m2×?× mn 种不同的方法。 2. 排列 (1) 定义 )个元素的所有排列的个数,叫做从 n 个不 .

从 n 个不同元素中取出 m(

同元素中取出 m 个元素的排列数,记为 (2) 排列数的公式与性质

a) 排列数的公式: 特例:当 m=n 时, b) 排列数的性质:

=n(n-1)(n-2)?(n-m+1)= =n!=n(n-1)(n-2)?×3×2×1 规定:0!=1

(Ⅰ) (Ⅲ) 3. 组合 (1) 定义

=

(Ⅱ)

a) 从 n 个不同元素中取出

个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取

出 m 个元素的一个组合 b) 从 n 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个不同 表示。

元素中取出 m 个元素的组合数,用符号 (2) 组合数的公式与性质

a) 组合数公式:

(乘积表示)

(阶乘表示) 特例: b) 组合数的主要性质: (Ⅰ) 4. 排列组合的区别与联系 (1) 排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关,而排列不仅与选取的元素有 关,而且还与取出元素的顺序有关。因此,所给问题是否与取出元素的顺序有关,是判断这 一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。 (2)注意到获得(一个)排列历经“获得(一个)组合”和“对取出元素作全排列” 两个步骤,故得排列数与组合数之间的关系: (Ⅱ)

二、经典例题
例 1、某人计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60、70 元的单片软件和盒装 磁盘,要求软件至少买 3 片,磁盘至少买 2 盒,则不同的选购方式是( A .5 种 B.6 种 C. 7 种 D. 8 种 )

解:注意到购买 3 片软件和 2 盒磁盘花去 320 元,所以,这里只讨论剩下的 180 元如 何使用,可从购买软件的情形入手分类讨论: 第一类,再买 3 片软件,不买磁盘,只有 1 种方法; 第二类,再买 2 片软件,不买磁盘,只有 1 种方法;

第三类,再买 1 片软件,再买 1 盒磁盘或不买磁盘,有 2 种方法;第四类,不买软件,再买 2 盒磁盘、 1 盒磁盘或不买磁盘,有 3 种方法; N=1+1+2+3=7 种不同购买方法,应选 C。 于是由分类计数原理可知,共有

例 2、在

中有 4 个编号为 1,2,3,4 的小三角形,要在每一个小三角形中涂上

红、蓝、黄、白、黑五种颜色中的一种,使有相邻边的小三角形颜色不同,共有多少种不同 的涂法? 解:根据题意,有相邻边的小三角形颜色不同,但“对角”的两个小三角形可以是相 同颜色,于是考虑以对角的小三角形 1、4 同色与不同色为标准分为两类,进而在每一类中 分步计算。 第一类:1 与 4 同色,则 1 与 4 有 5 种涂法,2 有 4 种涂法,3 有 4 种涂法, 故此时 有 N1=5×4×4=80 种不同涂法。 第二类:1 与 4 不同色,则 1 有 5 种涂法,4 有 4 种涂法,2 有 3 种涂法,3 有 3 种涂 法,故此时有 N2=5×4×3×3=180 种不同涂法。 种。 例 3、用数字 0,1,2,3,4,5 组成无重复数字 4 位数,其中,必含数字 2 和 3,并且 2 和 3 不相邻的四位数有多少个? 解:注意到这里“0”的特殊性,故分两类来讨论。 第一类:不含“0”的符合条件的四位数,首先从 1,4,5 这三个数字中任选两个作排 列有 种; 进而将 2 和 3 分别插入前面排好的两个数字中间或首尾位置, 又有 =36 个。 种排法, 综上可知,不同的涂法共有 80+180=260

于是由分步计数原理可知,不含 0 且符合条件的四位数共有

第二类:含有“0”的符合条件的四位数,注意到正面考虑头绪较多,故考虑运用“间 接法”:首先从 1,4,5 这三个数字中任选一个,而后与 0,2,3 进行全排列,这样的排列 共有 个。

其中,有如下三种情况不合题意,应当排险: (1)0 在首位的,有 个; 个 个 =30 个

(2)0 在百位或十位,但 2 与 3 相邻的,有 (3)0 在个位的,但 2 与 3 相邻的,有 因此,含有 0 的符合条件的四位数共有 于是可知,符合条件的四位数共有 36+30=66 个

例 4、某人在打靶时射击 8 枪,命中 4 枪,若命中的 4 枪有且只有 3 枪是连续命中的, 那么该人射击的 8 枪,按“命中”与“不命中”报告结果,不同的结果有( A.720 种 B.480 种 C.24 种 D.20 种 )

分析:首先,对未命中的 4 枪进行排列,它们形成 5 个空挡,注意到未命中的 4 枪“地 位平等”,故只有一种排法,其次,将连中的 3 枪视为一个元素,与命中的另一枪从前面 5 个空格中选 2 个排进去, 有 种。 例 5、 (1) (2)若 (3) ,则 n= ; ; ; 种排法, 于是由乘法原理知, 不同的报告结果菜有

(4)若

,则 n 的取值集合为



(5)方程 解:

的解集为



(1)注意到 n 满足的条件 ∴原式= =

(2)运用杨辉恒等式,已知等式

所求 n=4。 (3)根据杨辉恒等式 原式= =

=

=

(4)注意到这里 n 满足的条件 n≥5 且 n∈N 在①之下,

*



原不等式

∴由①、②得原不等式的解集为{5,6,7,?,11} (5)由 义,原方程组可化为 注意到当 y=0 时, 无意

由此解得 是原方程组的解。

经检验知


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