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从一道高考压轴题谈一类数列型不等式的证明

时间:2011-12-04


20lO年1月 总第413期

新一代
New Generation

学科教育与能力培养@

从一道高考压轴题谈一类数列型不等式的证明
曾皓 (四川绵阳南山中学,四川 绵阳621000)

摘要:本文从一道关于高考压轴题,谈一类数列型不等式的证明,以期与大家分享。
关键词:数列;证明;压轴

中图分类号:G632

文献标识码:A

文章编号:1003—2851(2010)01—0058—01

近年来,∑f【k№“型问题’’又成为高考考查的热点问题,并
且常在压轴题中出现,下面给出近几年的高考题,分析处理这类
问题的解题思路。

[(古‘击)]<丁4+丁5 x告一13,<手
方法二:放缩——化归为无穷递缩等比数列求和问题 可以考虑将数列【c。1的通项放大成等比数列【d口1,即寻找常

09四川理科22题:设数列(a日)的前n项和为SD,对任意的正

数m(o<ln<1),使得旦C吐n



m成立,如果存在,则可将它转化为无

整数n,都有an:5S,+1成立,记b.--掣鳖(n∈N+)
”l-a


穷递缩等比数列求和的问题。

(I)求数列(b。}的通项公式; (II)记cn-b”b。,(nEN*),设数列{c。}的前n项和为Tn,求 证:对任意正整数n都有Tn<÷; (III)设数列I b-】的前n项和为R。。已知正实数.y满足:对 任意正整数n,R,S yn恒成立,求.y的最小值。

解:根据已知条件求出cf篆},得导兰面16丁<手(或更小的
数),我们只要能得到—C:m_-i<91_(或更/j、的数),就能达到证明目的. 为此以k为桥梁,利用其有界性,适当放大,就可建立起C,.与cn

的关系式,即旦吐<}。 y
C。

由(I)知b一+÷,...C。-b2。-b。.=1}+}= —丢塾阜>0.T。=∑Ck,因此,(T。}是严格单调递增数列,
(。4)-l
4。I 4+l

本文只就第(H)问展开讨论和研究.

自(D舭砷击'...cn?屯≮-2者+南
先证明:对任意的正整数n,都有c,t<歹1 c。成立。

(16-1)(16+41

。。-

但是想直接利用C,--—{塾—上!_一进行求和,是办不到的,为
(16—1)(16+舢

铮可姜糯<}×丽锦铮丽甄‰<}×


fi须iiE:击4 1+南4<争(六4 1+寿4
+l
7 .



1)

了证明T-<丢,就必须寻找一个形成简单的数列d口作为纽带,原

...............。..]!....一
(4虬1)(4“+1)

令t--4“1只须证:144(4t-1)(t+1)<(64t一1)(16t+1)亡}144(4tz+3t.1)

不等式的证明转化为证明:.1善∑d‘妻。
方法一:裂项——错位两项抵消或运算结果恒为负 若能将裂C。项成两相邻之差的形式,通过错位两项相互抵 消,司将T4化为n项的代数和的形式,达到化简的目的。

<(1024t2+48t?1)‘:,448t2—384t+143>0当t≥4时,448t:-384t+143>0 显然成立。

?二cn<争c“(争)2c“L<(争)。'1C1=4 x(争)“(n≥2) ???c毒手×(争)“(n乏1) ...T。气-十c:+L+cn-争

解:c。屯k.=—害一+{}一=—孕拦-一
4-1
4+l

(16。1)(16+4)

:;i!!£!。.盟笪!.;王,..1一.—L、 (16*-1)(IC"-+})(16"-1)116…-1)3、16“?1
16n.1’

悖扣圳2}。等<持手
一般地,不能直接求和的数列.应该怎样进行转化?可以奇偶 并项、错位相减、倒序相加、裂项相消、放缩控制等常规方法.上面

当n=l时,Tl<下3.当n



2时,球孚+辜

【(击?击)+(击一击阻(击-击)]=4,+}

几种方法都可以一般化解“∑f(k)≤c型问题”,从而为我们寻求
解决这类问题的方法提供启示。

万方数据

58

Ne∞Ge,"r以如,l

从一道高考压轴题谈一类数列型不等式的证明
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 曾皓 四川绵阳南山中学,四川,绵阳,621000 新一代(下半月) THE NEW GENERATION 2010(1)

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_xyd-x201001053.aspx


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