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椭圆与双曲线又一性质的妙用

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20 0 9年第 1 期  1 福建 中学数学  4  3 椭圆 与双 曲线又 一性 质 的妙用  江志杰  福建省惠安第 三中学 ( 6 l0) 32O   设  ( , ( 口 )  ≠0 . 则 K  :K : )     m ∞ : 一 。 性质 1 设 A、B是椭 圆  + =l   的左 、右顶  点 ( 或上 、下顶点 ) ,点 P是椭 圆上异于 A、B的任  一 ,   从 而  :一  1 一 = 一 旦 .  a  A os   m   点,则  ?   =一 .     由 KA  ̄ T  —一1 得  (   ) 1     m 一 =一 ? 证 明  设 P(o Y ) 中X ≠± ( Y ≠± , x ,o 其 0 口 或 。 6)   : , 解 得  则乓+  : , 理  一 a‘:  ( 整 得   1整 得 一  或 理   a‘   b‘   a‘ 蓝  :   ) H o 一2 PY -0 b , ..   : 一   a =2 > )a √   ( 0 , = 2.故存在 a √ 使得 O、 a = 2 M、   S 三点共线.   ( 或整理得  例 2( 06年高考湖北卷 ) 设 ( , ) 20   A B 分别为   椭 圆  + :1 ,     6>0 的左 、 ) 右顶 点 , 椭圆长半轴  的 长 等 于 焦 距 , 且  x  a‘ xo+ a  xq— a  a‘   .   : 一   x o一 0 Xn一0     a   ) ,故  .   :一 .     日   类似地 ,双 曲线上的点也有如下性质 :   X=4为它 的右 准线.   (I)求椭 圆的  方程 ;   (I I)设 P为右  准 线 上 不 同 于 点  ( 0 4,)的任 意一 点 ,   \ \     J 性质 2 设  、 是双 曲线  + = 的左 、右      1 顶 点 ,点 P 是双 曲线上 异于  、   ^2   ,  / O   、 ~ .   ——/ N  P   B   的任一点 ,则  K  。   P Kp   - ’   2 7. 该 性 质 在解 决 直线 与 圆锥 曲线 的位 置 关 系 问  看 亘 线 A  P分 别 与 椭 圆 相  于 异 于 A、 P, B的 点 M、   题 , 其是有关 顶点弦 问题 等方面 ,有 着简化推理  尤 运算过程 、帮助寻找解题思路 的作用.   Ⅳ,证明点 B在 以 MN为直径 的圆内.   解 (I)椭 圆的方程 为 X +   2 =2 = 1 .过程略.   例 1 20 年高考 福建卷 ) 已知 A、 ( 09   B分别 为   (I 证 明 设 点 P 4,) ≠0 , M (l ), I) ( ,f ) ( x,     曲线 c:   +。 ( Y :l y≥0, 口>0 与  轴 的左 、右 两  ) N( ,2 其 中 X≠ 2  ≠ 2 Y 2 0 x Y)( 2 I ± ,2 ± tl <   Y =   = 个交点 。直线 , 过点  且与 轴 垂直 ,S为 , 上异于  点  的一点 ,连结 A S交曲线 c于点  ( )若曲线 C为半圆 ,点 7为圆弧 A I 1 B的三等  分点 ,试求 出点 S的  标 ;   (I I )如 图 ,   点  是 以 船 为直  径 的 圆

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