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2010届广东惠州市高三第三次调研考试——文科数学

时间:2011-07-17


广东省惠州市 2010 届高三第三次调研考试 数学试题(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效 参考公式:锥体的体积公式 v ?

1 Sh ,其中 s 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3
2

球的表面积公式 S ? 4? R

一.选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
x 1. 已知集合 M ? ? x | x ? 1? , N ? x | 2 ? 1 ,则 M ? N =

?

?



) D. ?x | 0 ? x ? 1 ? )

A. ?

B. ?x | x ? 0?

C. ?x | x ? 1 ?

2.已知 a 是实数, (a ? i)(1 ? i) 是纯虚数( i 是虚数单位) ,则 a =( A.1 B.-1 ) C. 2 D.- 2

3. cos2 6000 等于( A. ?

3 2

B.

3 2

C. ?

3 2

D.

1 2
( ).

4.设条件 p : a ? 0 ;条件 q : a 2 ? a ? 0 ,那么 p 是 q 的什么条件 A.充分非必要条件 C.充分且必要条件 B.必要非充分条件 D.非充分非必要条件

5.如图,在半径为 R 的圆内随机撒一粒黄豆,它落在阴影部分内接正三 角形上的概率是( ) A.

3 4
?x

B.

3 3 4

C.

3 4?
) C.1

D.

3 3 4?

(第 5 题图)

6.方程 2 A.2

? x 2 ? 3 的实数解的个数为(
B.3

D.4

7.设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 , 前 n 项和为 Sn ,则

S4 ?( a2



A. 2

B. 4

C.

15 2

D.

17 2

? ? ? ? ? 8. 已知向量 a ? (3, 4) , b ? (2, ?1) , 如果向量 a ? xb 与 b 垂直, x 的值为 则 (
A.
23 3



B.

3 23

C.2

D. ?

2 5

9.如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是一个直径为 1 的圆,那么这个几何体的全 面积为 A. ( B. 2π ) C. 3π D. 4π
俯视图 主视图 左视图

3 π 2

(第 9 题图)

10.小明中午放学回家自己煮面条吃,有下面几道工序:①洗锅盛水 2 分钟;②洗菜 6 分钟; ③准备面条及佐料 2 分钟;④用锅把水烧开 10 分钟;⑤煮面条和菜共 3 分钟。以上各 道工序,除了④之外,一次只能进行一道工序。小明要将面条煮好,最少要用( 分钟。 A.13 B.14 C.15 D.23 二.填空题: (本大题每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题后的横线上) (一)必做题(11~13题) 11.对任意非零实数 a , b ,若 a ? b 的运算原理如右 图程序框图所示,则 3 ? 2 = 12. 已知 f ( x) ? x ? 3xf ?(2), 则f ?(2) =
2

)

开始 输入 a, b 是 . 输出



a ? b?



?x ? 0 ? 13. 已知 x, y 满足条件 ? y ? x ( k 为常数) , ?2 x ? y ? k ? 0 ?
若 z ? x ? 3 y 的最大值为 8,则 k = .

b ?1 a

输出

a ?1 b

结束 (第 11 题图)

(二)选做题(14 ~15 题,考生只能从中选做一题;两道题都做的,只记第一题的分) 14. 坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系 xOy 中, P(x,y ) 是椭圆 ( 点 上的一个动点,则 S ? x ? y 的最大值为 15. (几何证明选讲选做题)如图,平行四边形 ABCD 中,

x2 ? y2 ? 1 3

. D F E (第 15 题图) B C

AE : EB ? 1: 2 , ?AEF 的面积为 6,
则 ?ADF 的面积为 A .

三.解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分,要求写出必要的解答过程) 16. (本小题满分 12 分)已知 tan ? ? ? (1)求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求函数 f ( x) ? 2 sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) 的最大值.

1 5 , cos ? ? , ? , ? ? (0, ? ) 3 5

17.(本小题满分 12 分)某高校在 2009 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔 试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如下左图所示. (1)请先求出频率分布表中①、②位置相应数据,再在答题纸上完成下列频率分布直方 图; (2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样 抽取 6 名学生进入第二轮面试,求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? (3)在(2)的前提下,学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受 A 考官进行面试, 求:第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率? 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 合计 分组 频数 5 ① 30 20 10 100 频率 0.050 0.350 ② 0.200 0.100 1.00

?160,165? ?165,170?
?170,175? ?175,180?
[180,185]

18.(本小题满分 14 分) P 如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? AC , PA ? 面ABCD , 点 E 是 PD 的中点。 (1)求证: AC ? PB ; (2)求证: PB // 平面AEC 19. (本小题满分 14 分)
3

E A D B

(第 18 题图) C 设函数 f ? x ? ? x ? bx ? cx( x ? R) ,已知 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 是奇函数。
2

(1)求 b 、 c 的值。 (2)求 g ( x) 的单调区间与极值。

20.(本小题满分 14 分)

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点。 a 2 b2 3 (1)设椭圆 C 上点 ( 3, ) 到两点 F1 、 F2 距离和等于 4 ,写出椭圆 C 的方程和焦点坐 2
设 F1 、 F2 分别是椭圆 C : 标; (2)设 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程; (3)设点 P 是椭圆 C 上的任意一点,过原点的直线 L 与椭圆相交于 M , N 两点,当直线

PM , PN 的斜率都存在,并记为 k PM , k PN ,试探究 kPM ? KPN 的值是否与点 P
及直线 L 有关,不必证明你的结论。

21. (本小题满分 14 分) 函数 f (x) 对任意 x ? R 都有 f ( x) ? f (1 ? x) ? (1)求 f ( ) 的值. (2) 数列{an} 满足:an = f (0) + f (

1 2

1 2

数列 ?an ? 是等差数列吗?请给予证明; (3)令 bn

1 2 n ?1 ) ? f ( ) ? ?? ? f ( ) ? f (1) , n n n

?

4 4a n ? 1

2 2 2 2 , Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ?? ? bn , S n ? 32 ?

16 . n

试比较 Tn 与 Sn 的大小.

惠州市 2010 届高三第三次调研考试
数学试题(文科)答案
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 D 2 B 3 D 4 A 5 D 6 A 7 C 8 D 9 A 10 C

x 1.【解析】? N ? { x 2 ? 1} ,? N ? {x x ? 0},?M ? N ? {x 0 ? x ? 1} . ∴选 D

2.【解析】? (a ? i)(1 ? i) ? (a ? 1) ? (a ? 1)i 是纯虚数,? a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 .∴选 B 3.【解析】 cos 2 6000 ? cos1200 ? ?

1 1 ? .∴选 D 2 2

4.【解析】 p ? q, 但是 q 不能推出 p. ∴选 A

3 3 3 3 1 2 3 3 2 2 5.【解析】 ? S圆 ? ? R , S? ? 3 ? R sin120? ? .∴选 D R ?p? 42 ? ?R 4? 2 4 ?x 2 6.【解析】构造函数 y ? 2? x 与 y ? 3 ? x2 ,由图像可知有两个交点,故方程 2 ? x ? 3 的
实数根的个数为 2。∴选 A

a1 (1 ? 24 ) S 15 ? 15a1 , a2 ? a1 ,? 4 ? .∴选 C 1? 2 a2 2 ? ? ? ? ? ? ? 8.【解析】 a ? (3, 4), b ? (2, ?1), a ? xb ? (3 ? 2x, 4 ? x),?(a ? xb) ? b , 2 ? 2(3 ? 2 x) ? (4 ? x) ? 0, x ? ? .∴选 D 5 1 2 1 3 9.【解析】由三视图知空间几何体为圆柱,∴全面积为 π ? ( ) ? 2 ? 2π ? ?1 ? π ,∴ 2 2 2
7.【解析】 S4 ? 选 A. 10.【解析】①洗锅盛水 2 分钟+④用锅把水烧开 10 分钟(同时②洗菜 6 分钟+③准备面条 及佐料 2 分钟)+⑤煮面条和菜共 3 分钟=15 分钟。∴选 C 二 .填空题(本大题每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题后的横线上) 11.2 ; 12. ?2 ; 13.-6 ; 14.2 ; 15. S?ADF ? 18

a ?1 3 ?1 ? ? 2 ,填 2. b 2 ' ' ' ' ' 12.【解析】 f ( x) ? 2 x ? 3 f (2) ,? f (2) ? 2 ? 2 ? 3 f (2),? f (2) ? ?2 .填 ?2 13.【解析】由可行域可知,目标函数 z 的最大值在 y ? x 与 2 x ? y ? k ? 0 的交点处取得, k k k 4 联立方程组可得交点 ( ? , ? ) ,? z ? ? ? k ? ? k ? 8,? k ? ?6 ,填-6. 3 3 3 3
11.【解析】? a ? 3, b ? 2, a ? b ,? 输出 14.【解析】设 x ? 3 cos? , y ? sin ? ,? S ? 3 cos ? ? sin ? ? 2sin(? ? 为2 15.【解析】由题意可得 ?AEF ∽ ?CDF , 且相似比为 1 : 3 ,由 ?AEF 的面积为 6,

?

3

) ,? 最大值

得 ?CDF 的面积为 54,又 S ?ADF ︰ S ?CDF = 1 : 3 ,所以 S?ADF ? 18 ;

三.解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分,要求写出必要的解答过程) 16. (本题满分 12 分) 解: (1)由 cos ? ?

5 , ? ? (0, ? ) 5

得 sin ? ?

2 5 5

, tan ? ? 2 ……………2 分

1 ? ?2 tan ? ? tan ? 于是 tan(? ? ? ) = ? 3 ? 1 . ……………………………6 分 2 1 ? tan ? tan ? 1? 3 1 1 3 (2)因为 tan ? ? ? , ? ? (0, ? ) 所以 sin ? ? ………………9 分 , cos ? ? ? 3 10 10
f ( x) ? ? 3 5 5 5 2 5 sin x ? cos x ? cos x ? sin x ? ? 5 sin x …………11 分 5 5 5 5

f ( x) 的最大值为 5 . ………………………………………………………………12 分
17. (本题满分 1 2 分) 解: (1)由题可知,第 2 组的频数为 0.35 ?100 ? 35 人, …………… 1 分 第 3 组的频率为

30 ? 0.300 , ………2 分 100

频率分布直方图如右: ……………………………… 5 分 (2)因为第 3、4、5 组共有 60 名学生,所以 利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生,每 组分别为:

30 ? 6 ? 3 人, ………… 6 分 60 20 ? 6 ? 2 人, ………… 7 分 第 4 组: 60 10 ? 6 ? 1 人, ………… 8 分 第 5 组: 60
第 3 组: 所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人。 (3) 设第 3 组的 3 位同学为 A1 , A2 , A3 ,第 4 组的 2 位同学为 B1 , B2 ,第 5 组的 1 位同学为 C1 , 则从六位同学中抽两位同学有 15 种可能如下: ( A , A2 ) , ( A , A3 ) , ( A , B1 ) , ( A , B2 ) , 1 1 1 1

( A1, C1 ) , ( A2 , A3 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , C1 ), ( A3 , B1 ), ( A3 , B2 ), ( A3 , C1 ), ( B1 , B2 ),
( B1 , C1 ), ( B2 , C1 ), …………………………………………………………………………10 分
其中第 4 组的 2 位同学为 B1 , B2 至少有一位同学入选的有: ( A , B1 ), ( A1 , B2 ), 1

( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A3 , B1 ), ( B1 , B2 ), ( A3 , B2 ), ( B1 , C1 ), ( B2 , C1 ), 9 中可能, …………11 分
所以其中第 4 组的 2 位同学为 B1 , B2 至少有一位同学入选的概率为 18. (本题满分 14 分)

9 3 ? …………12 分 15 5

证明: (1)? PA ? 面ABCD, AC ? 面ABCD ,∴ PA ? AC ……2 分 又? AB ? AC, PA ? AC ? A, PA ? 面PAB, AB ? 面PAB E

P

B ? AC, PA ? AC ? A, PA ? 面PAB, AB ? 面PAB …………5 分
∴ AC ? 面PAB ∴ AC ? PB …………7 分 D

A C (2)连结 BD 交 AC 于点 O ,并连结 EO, ? 四边形 ABCD 为平行四边形 ∴ O 为 BD 的中点 又? E 为 PD 的中点 ∴在 ?PDB 中 EO 为中位线, EO // PB …………………………14 分

B

? PB ? 面AEC, EO ? 面AEC ∴ PB // 面AEC
19. (本题满分 14 分)

解:(1)∵ f ? x ? ? x3 ? bx2 ? cx ,∴ f ? ? x ? ? 3x2 ? 2bx ? c 。……………………1 分 从而 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? (3x2 ? 2bx ? c) = x3 ? (b ? 3) x2 ? (c ? 2b) x ? c 是一个奇函数,………………4 分 所以 g (0) ? 0 得 c ? 0 ,由奇函数定义得 b ? 3 ;…………………………7 分 (2)由(1)知 g ( x) ? x3 ? 6 x ,从而 g ?( x) ? 3x2 ? 6 ,由此可知,

(??, ? 2) 和 ( 2, ??) 是函数 g ( x) 是单调递增区间;

(? 2, 2) 是函数 g ( x) 是单调递减区间;………………………………11 分
g ( x) 在 x ? ? 2 时,取得极大值,极大值为 4 2 , g ( x) 在 x ? 2 时,取得极小值,极小值为 ?4 2 。……………………14 分
20. (本题满分 14 分)

解: (1)由于点 ( 3,

( 3) 3 ) 在椭圆上, 2 ? a 2

2

(

3 2 ) 2 ?1 b2

得 2 a =4, …………2 分 ……4 分

椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3 x2 y 2 ? ?1 4 3

,焦点坐标分别为 (?1, 0), (1, 0)

(2)设 KF1 的中点为 B(x, y)则点 K (2 x ? 1, 2 y) 把 K 的坐标代入椭圆 中得

………………………5 分 ……………7 分

(2 x ? 1) 2 (2 y ) 2 ? ?1 4 3
2

线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程为 ( x ? ) ?

1 2

y2 ?1 3 4

………………………8 分

(3)过原点的直线 L 与椭圆相交的两点 M,N 关于坐标原点对称 设 M ( x0 , y0 ) N ( ? x0 , ? y0 ),

p( x, y) ,
x0 2 y0 2 x2 y 2 ? 2 ? 1 ,2 ? 2 ? 1 a2 b a b
……10 分

M , N , P 在椭圆上,应满足椭圆方程,得

kPM ? KPN =

b2 y ? y0 y ? y0 y 2 ? y02 =? 2 ? ? 2 a x ? x0 x ? x0 x ? x02

……………………………13 分

故: kPM ? KPN 的值与点 P 的位置无关,同时与直线 L 无关, 21. (本题满分 14 分) 解: (1)因为 f ( ) ? f (1 ? 分 (2)令 x ?

………………14 分

1 2

1 1 1 1 1 1 ) ? f ( ) ? f ( ) ? .所以 f ( ) ? .……2 2 2 2 2 2 4

1 1 1 1 ,得 f ( ) ? f (1 ? ) ? , n n 2 n 1 n ?1 1 )? . 即 f( )? f( …………………………………………………………4 n n 2
1 n ?1 a n ? f (0) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f (1) , n n n ?1 1 ) ? ? ? f ( ) ? f (0) 又 a n ? f (1) ? f ( n n
两式相加:



1 n ?1 n ?1 2a n ? [ f (0) ? f (1)] ? [ f ( ) ? f ( )] ? ? ? [ f (1) ? f (0)] ? …… n n 2
7分 所以 an ?

n ?1 n ?1?1 n ?1 1 , n ? N ? ,又 a n ?1 ? a n ? ? ? . 4 4 4 4

故数列{an} 是等差数列.………………………………………………………………9 分 (3) bn

?

4 4a n ? 1

?

4 , n
1 1 1 ? 2 ??? 2 ) 2 2 3 n

∴ Tn

2 2 2 ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 16(1 ?

? 16[1 ?

1 1 1 ? ??? ] ………………………………12 分 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)
1 1 1 1 1 ) ? ( ? ) ??? ( ? )] 2 2 3 n ?1 n

? 16[1 ? (1 ?

1 16 ? 16(2 ? ) ? 32 ? ? Sn , n n
所以 Tn

? S n ……………………………………………………………………14 分


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