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初高中数学衔接教材3

时间:2014-10-12


初高中数学衔接教材
第三讲 一元二次方程的判别式
b 2 b 2 ? 4ac ) ? 2a 4a 2
一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ,用配方法将其变形为:( x ?
2

(1) 当 b ? 4ac ? 0 时,右端是正数.因此,方程有两个不相等的实数根:

x?

?b ? b2 ? 4ac 2a
b 2a

2 (2) 当 b ? 4ac ? 0 时,右端是零.因此,方程有两个相等的实数根: x1,2 ? ?

(3) 当 b ? 4ac ? 0 时,右端是负数.因此,方程没有实数根.
2

由于可以用 b ? 4ac 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况. 因此, 把 b ? 4ac 叫
2 2

做一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的根的判别式,表示为: ? ? b ? 4ac
2

【例 1】不解方程,判断下列方程的实数根的个数: (1) 2 x ? 3x ? 1 ? 0
2

(2) 4 y 2 ? 9 ? 12 y

(3) 5( x2 ? 3) ? 6 x ? 0

解:(1) ? ? (?3)2 ? 4 ? 2 ?1 ? 1 ? 0 ,∴ 原方程有两个不相等的实数根. (2) 原方程可化为: 4 y ? 12 y ? 9 ? 0
2

,∴ ? ?( ? 1 22) ? 4 ? 4 ? 9 ? 0 原方程有两个相等的实数根. (3) 原方程可化为: 5x ? 6 x ? 15 ? 0
2

,∴ ? ?( ? 62 ) ? 4 ? 5 ?1 5 ? ?2 6 4 ? 0 原方程没有实数根. 说明:在求判断式时,务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式. 【例 2】已知关于 x 的一元二次方程 3x ? 2 x ? k ? 0 ,根据下列条件,分别求出 k 的
2

范围: (1) 方程有两个不相等的实数根; (3)方程有实数根; 解: ? ? (?2) ? 4 ? 3 ? k ? 4 ? 12k
2

(2) 方程有两个相等的实数根 (4) 方程无实数根.

1 ; 3 1 (3) 4 ? 12 k ? 0 ? k ? ; 3
(1) 4 ? 12k ? 0 ? k ?

(2) 4 ? 12k ? 0 ? k ?

1 ; 3 1 (4) 4 ? 12 k ? 0 ? k ? . 3

【例 3】已知实数 x 、 y 满足 x2 ? y 2 ? xy ? 2x ? y ? 1 ? 0 ,试求 x 、 y 的值. 解:可以把所给方程看作为关于 x 的方程,整理得: x2 ? ( y ? 2) x ? y 2 ? y ? 1 ? 0 由于 x 是实数,所以上述方程有实数根,因此:

? ? [?( y ? 2)]2 ? 4( y 2 ? y ? 1) ? ?3 y 2 ? 0 ? y ? 0 ,
代入原方程得: x ? 2 x ? 1 ? 0 ? x ? ?1.
2

综上知: x ? ?1, y ? 0


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