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北京四中高二数学期中测试(17-18)

时间:2017-11-30

北京四中 2017~2018 学年度第一学期期中测试高一年级数学学科

高一数学 期中测试卷
试卷分为两卷,卷(I)100 分,卷(II)50 分,共计 150 分 考试时间:120 分钟

卷(I) 一.选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.设集合 A ? {1, 2,6} , B ? {2, 4} ,则 A ? B ? A. {2} 2.函数 y ?
2 4 ? x2

B. {1, 2, 4} 的定义域为 B. (??, ?2) ? (2, ??)
4

C. {1, 2, 4,6}

D. {2, 4}

A. (?2, 2)

C. [?2, 2]

D. (??, ?2] ? [2, ??)

3. 2log6 2 ? log6 9 ? 8 3 ? A. 14 B. ?14 C.12 ,则方程 f ( x) ? 1 的解是 C. 2 或 4 D.± 2 或 4 D. ?12

?3 ? x 2 4.若函数 f ( x) ? ? ? x ?3
A. 2 或 2

?1 ? x ? 2 2? x?5

B. 2 或 3

5.若函数 f ( x) ? x3 ,则函数 y ? f (?2 x) 在其定义域上是 A.单调递增的偶函数 C.单调递减的偶函数
4 2

B.单调递增的奇函数 D.单调递减的奇函数

6.若 a ? 2 3 , b ? 4 5 , c ? log3 0.2 ,则 a, b, c 的大小关系是 A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. b ? a ? c D. c ? a ? b

7.函数 y ? 3?3?4 x? x 的单调递增区间是 A. (??, 2] B. [2, ??) C. [1, 2] D. [1,3]

2

1

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8.李老师骑自行车上班,最初以某一速度匀速行进,中途由于自行车发生故障,停下修车耽 误了几分钟,为了按时到校,李老师加快了速度,仍保持匀速行进,结果准时到校.在课堂 上,李老师请学生画出自行车行进路程 s(千米)与行进时间 x(秒)的函数图象的示意图, 你认为正确的是

9.已知 f (10x ) ? x ,则 f (5) ? A. 105 B. 510 C. log5 10 D. lg 5

10.某同学在研究函数 f ? x ? ?

x ? x ? R? 时,分别给出下面几个结论: | x | ?1

①函数 f ? x ? 是奇函数; ②函数 f ? x ? 的值域为 ? ?1 , 1? ; ③函数 f ? x ? 在 R 上是增函数; 其中正确结论的序号是 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③

二.填空题: (本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11.若集合 A ? [0, 2] ,集合 B ? [1,5] ,则 A ? B ? 12.函数 y ? 2x ? 4 的零点是 . . . . . .

13.函数 f ( x) ? log3 (2 x ?1) ( x ? [1, 2] )的值域为

14.函数 f ( x) ? 3x ? 1 ,若 f [ g ( x)] ? 2 x ? 3 ,则一次函数 g ( x) ? 15.若函数 f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) 的反函数的图象过点 (2,?1) ,则 a ?

2x ? 1 16.若函数 f ( x) ? x 是奇函数,则使 f ( x) ? 3 成立的 x 的取值范围是 2 ?a

2

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三.解答题(本大题共 3 小题,共 26 分) 17. (本小题满分 6 分) 已知:函数 f ( x) ? ( x ? 2)( x ? a) ( a ? R ) , f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [0,3] 上的最小值.

18. (本小题满分 10 分) 某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券类稳健型产品的收益与投资 额成正比,投资股票类风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比. 已知两类产品各投 资 1 万元时的收益分别为 0.125 万元和 0.5 万元,如图:

(Ⅰ)分别写出两类产品的收益 y(万元)与投资额 x(万元)的函数关系; (Ⅱ) 该家庭有 20 万元资金, 全部用于理财投资, 问: 怎么分配资金能使投资获得最大收益, 最大收益是多少万元?

19. (本小题满分 10 分) 已知:函数 f ( x) ? loga ? x ?1? ? loga ?1 ? x ? ( a ? 0 且 a ? 1 ). (Ⅰ)求函数 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)判断函数 f ( x) 的奇偶性,并加以证明; (Ⅲ)设 a ?
1 ,解不等式 f ( x) ? 0 . 2

3

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卷(II) 1.设集合 A ? {x | x2 ? x ? 0} , B ? {x | x ? 2 ? 0} ,则 {x | ( x2 ? x)( x ? 2) ? 0} ? A. ?R ( A ? B) B. (?R A) ? B C. A ? (?R B) D. ?R ( A ? B)

1 1 2.已知函数 f ( x) ? log 1 [( )2 x ? 2 ? ( ) x ? 2] ,则满足 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是 3 3 3

A. (??, 0)

B. (0, ??)

C. (??, ?1)

D. (?1, ??)

3.下表是某次测量中两个变量 x , y 的一组数据,若将 y 表示为关于 x 的函数,则最可能的 函数模型是

x
y

2
0.63

3
1.01

4
1.26

5
1.46

6
1.63

7
1.77

8
1.89

9
1.99

A.一次函数模型

B.二次函数模型

C.指数函数模型

D.对数函数模型

4.用二分法求方程 x2 ? 1 ? 3 x 的一个近似解时,已经确定有根区间为 (0,1) ,则下一步可确 定这个根所在的区间为 .

5. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数, 当 x ? 0 时,f ( x) ? x2 ? 2x , 如果函数 g ( x) ? f ( x) ? m 恰有 4 个零点,则实数 m 的取值范围是 .

6.函数 f ( x) ? a x ? loga ( x ?1)( a ? 0 且 a ? 1 )在区间 [0,1] 上的最大值与最小值之和为 a ,则 a 的值是 .

7.已知函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c ,若 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,且 f (0) ? 3 . (Ⅰ)求 b , c 的值; (Ⅱ)试比较 f (bm ) 与 f (cm ) ( m ? R )的大小. 8 .集合 A 是由满足以下性质的函数 f ( x) 组成的:对于任意 x ≥ 0 , f ( x) ?[?2, 4] 且 f ( x) 在
[0, ??) 上是增函数.

1 (Ⅰ)试判断 f1 ( x) ? x ? 2 与 f 2 ( x) ? 4 ? 6 ? ( ) x ( x ≥ 0 )是否属于集合 A ,并说明理由; 2

( Ⅱ )对 于( Ⅰ )中 你认为属 于集合 A 的函 数 f ( x) ,证明 :对于 任意 的 x ≥ 0 ,都 有 . f ( x) ? f ( x? 2)? 2 f (x? 1)
4

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班级 姓名




成绩

卷(I) 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11 12

13

14

15

16

三.解答题(本大题共 3 小题,共 26 分) 17. (本小题满分 6 分)

5

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18. (本小题满分 10 分)

19. (本小题满分 10 分)

6

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班级

姓名 卷(II)

成绩

一.选填题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1 2 3

4

5

6

二.解答题: (本大题共 2 小题,共 20 分) 7. (本小题满分 10 分)

7

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8. (本小题满分 10 分)

8

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参考答案 卷(I)

CABC

D B AC D D

2 4 1 11. [1, 2] ;12.2;13. [0,1] ;14. x ? ;15. ;16. (0,1) ; 3 3 2

17.解: f ( x) ? ( x ? 2)( x ? a) ? x2 ? (2 ? a) x ? 2a , (Ⅰ)函数 f ( x) 图象的对称轴为 x ?
2?a ? 1,则 a ? 0 ; ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3 分 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? x2 ? 2x ? ( x ?1)2 ?1 , 因为 x ? 1?[0,3] ,所以 f ( x)min ? f (1) ? ?1. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6 分

18.解: (Ⅰ)投资债券类稳健型产品的收益满足函数: y ? kx ( x ? 0 ) , 由题知,当 x ? 1 时, y ? 0.125 ,则 k ? 0.125 ,即 y ? 0.125x , ┈┈┈┈┈┈2 分 投资股票类风险型产品的收益满足函数: y ? k ? x ( x ? 0 ) , 由题知,当 x ? 1 时, y ? 0.5 ,则 k ? 0.5 ,即 y ? 0.5 x , ┈┈┈┈┈┈┈4 分

(Ⅱ)设投资债券类稳健型产品 x 万元( 0 ? x ? 20 ) ,则投资股票类风险型产品 20 ? x 万元, 由题知总收益 y ? 0.125x ? 0.5 20 ? x ( 0 ? x ? 20 ) , 令 t ? 20 ? x ( 0 ? t ? 20 ) ,则 x ? 20 ? t 2 ,
1 1 5 1 y ? 0.125(20 ? t 2 ) ? 0.5t ? ? t 2 ? t ? ? ? (t ? 2) 2 ? 3 , 8 2 2 8

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6 分

当 t ? 2 ,即 x ? 16 时, ymax ? 3 (万元)

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9 分

答:投资债券类稳健型产品 16 万元,投资股票类风险型产品 4 万元,此时受益最大为 3 万元. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10 分

?x ?1 ? 0 19.解: (Ⅰ)由题知: ? , ?1 ? x ? 0

解得: ?1 ? x ? 1 ,所以函数 f ( x) 的定义域为 (?1,1) ; ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3 分
9

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(Ⅱ)奇函数, 证明:因为函数 f ( x) 的定义域为 (?1,1) ,所以对任意 x ? (?1,1) ,

f (? x) ? loga (? x ? 1) ? loga (1 ? (? x)) ? ?[loga ( x ?1) ? log a (1 ? x)] ? ? f ( x)
所以函数 f ( x) 是奇函数; ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6 分

?x ?1 ? 0 ? (Ⅲ)由题知: log 1 ( x ? 1) ? log 1 (1 ? x) ,即有 ?1 ? x ? 0 ,解得: ?1 ? x ? 0 , 2 2 ?x ?1 ? 1? x ?

所以不等式 f ( x) ? 0 的解集为 {x | ?1 ? x ? 0}.

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10 分

卷(II)
1 1 4. (0, ) ;5. ?1 ? m ? 0 ;6. ; 2 2 b 7.解: (Ⅰ)由已知,二次函数的对称轴 x ? ? 1 ,解得 b ? 2 , 2

D

C

D

又 f (0) ? c ? 3 , 综上, b ? 2 , c ? 3 ; (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 , 所以, f ( x) 在区间 (??,1) 单调递减,在区间 (1, ??) 单调递增. 当 m ? 0 时, 3m ? 2m ? 1 ,所以 f (2m ) ? f (3m ) . 当 m ? 0 时, 3m ? 2m ? 1 ,所以 f (2m ) ? f (3m ) . 当 m ? 0 时, 3m ? 2m ? 1 ,所以 f (2m ) ? f (3m ) 8.解: (Ⅰ) f1 ( x) ? A , f2 ( x) ? A ,理由如下: 由于 f1 (49) ? 5 ? 4 , f1 (49) ?[?2, 4] ,所以 f1 ( x) ? A .
1 对于 f 2 ( x) ? 4 ? 6 ? ( ) x ( x ≥ 0 ) , 2 1 因为 y ? ( ) x 在 [0, ??) 上是减函数,且其值域为 (0,1] , 2
10

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4 分

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10 分

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1 所以 f 2 ( x) ? 4 ? 6 ? ( ) x 在区间 [0, ??) 上是增函数. 2 1 所以 f2 ( x) ≥ f (0) ? ?2 ,且 f 2 ( x) ? 4 ? 6 ? ( ) x ? 4 , 2

所以对于任意 x ≥ 0 , f ( x) ?[?2, 4] . 所以 f2 ( x) ? A ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6 分

1 3 1 1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得, f ( x ? 2) ? 4 ? 6 ? ( ) x ? 2 ? 4 ? ? ( ) x , f ( x ? 1) ? 4 ? 6 ? ( ) x ?1 ? 4 ? 3 ? ( ) x , 2 2 2 2 2

所以
1 1 3 1 3 1 2 f ( x ? 1) ? [ f ( x) ? f ( x ? 2)] ? 2[4 ? 3 ? ( ) x ] ? [4 ? 6 ? ( ) x ? 4 ? ? ( ) x ] ? ? ( ) x ? 0 , 2 2 2 2 2 2

所以对于任意的 x ≥ 0 ,都有 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 f ( x ? 1) .

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10 分

11


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