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选修数学圆锥曲线题型含答案解析

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解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型 总论:常用的八种方法 1、定义法 2、韦达定理法 3、设而不求点差法 4、弦长公式法 5、数形结合法 6、参数法(点参数、K 参数、角参数) 7、代入法中的顺序 8、充分利用曲线系方程法 七种常规题型 (1)中点弦问题 (2)焦点三角形问题 (3)直线与圆锥曲线位置关系问题 (4)圆锥曲线的有关最值(范围)问题 (5)求曲线的方程问题 1.曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 2.曲线的形状未知-----求轨迹方程 (6) 存在两点关于直线对称问题 (7)两线段垂直问题 常用的八种方法 1、定义法 (1)椭圆有两种定义。第一定义中,r1+r2=2a。第二定义中,r1=ed1 r2=ed2。 (2)双曲线有两种定义。第一定义中, r1 ? r2 ? 2a ,当 r1>r2 时,注意 r2 的最小值为 c-a:第二定义中,r1=ed1,r2=ed2,尤其应注意第二定义的应用,常常将 半径与“点到准 线距离”互相转化。 (3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用 定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化 为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线 问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不 要忽视判别式的作用。 3、设而不求法 解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解 决,这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问 题,常用“点差法”,即设弦的两个端点 A(x1,y1),B(x2,y2),弦 AB 中点为 M(x0,y0),将点 A、 B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不 求”法,具体有: (1) x a 2 2 ? y2 b2 ? 1(a ? b ? 0) 与直线相交于 A、B,设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 x0 ? y0 k ? 0 。(其中 K 是直线 AB 的斜率) a2 b2 (2) x a 2 2 ? y2 b2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与直线 l 相交于 A、B,设弦 AB 中点为 M(x0,y0)则有 x0 a2 ? y0 b2 k ? 0 (其中 K 是直线 AB 的斜率) (3)y2=2px(p>0)与直线 l 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 2y0k=2p,即 y0k=p. (其中 K 是直线 AB 的斜率) 4、弦长公式法 弦长公式:一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦 AB 长的方法是:把直线方程 代入圆锥曲线方程中,得到型如 的方程,方程的两根设为 , ,判别 式为△,则 1? k 2· △ ,若直接用结论,能减少配方、开 |a| 方等运算过程。 5、数形结合法 解析几何是代数与几何的一种统一,常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来 考虑问题,在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性,尤其是将某些代数 式子利用其结构特征,想象为某些图形的几何意义而构图,用图形的性质来说明代数性质。 如“2x+y”,令 2x+y=b,则 b 表示斜率为-2 的直线在 y 轴上的截距;如“x2+y2”,令 x2 ? y 2 ? d ,则 d 表示点 P(x,y)到原点的距离;又如“ y ? 3 ”,令 y ? 3 =k,则 k x?2 x?2 表示点 P(x、y)与点 A(-2,3)这两点连线的斜率…… 6、参数法 (1)点参数利用点在某曲线上设点(常设“主动点”),以此点为参数,依次求出其他 相关量,再列式求解。如 x 轴上一动点 P,常设 P(t,0);直线 x-2y+1=0 上一动点 P。 除设 P(x1,y1)外,也可直接设 P(2y1-1,y1) (2)斜率为参数 当直线过某一定点 P(x0,y0)时,常设此直线为 y-y0=k(x-x0),即以 k 为参数,再按命题 要求依次列式求解等。 (3)角参数 当研究有关转动的问题时,常设某一个角为参数,尤其是圆与椭圆上的动点问题。 7、代入法中的顺序 这里所讲的“代入法”,主要是指条件的不同顺序的代入方法,如对于命题:“已知条件 P1,P2 求(或求证)目标 Q”,方法 1 是将条件 P1 代入条件 P2,方法 2 可将条件 P2 代入条件 P1, 方法 3 可将目标 Q 以待定的形式进行假设,代入 P1,P2,这就是待定法。不同的代入方法常会 影响解题的难易程度,因此要学会分析,选择简易的代入法。 八、充分利用曲线系方程法 一、定义法【典型例题】 例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 2 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐 标为______________ (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标 为 。 分析:(1)A 在抛物线外,如图,连 PF,则 PH ? PF ,因而易发现, 当 A、P、F 三点共线时,距离和最小。 (2)B 在抛物线内,如图,作 QR⊥l 交于 R,则当 B、Q、R 三点共线时, 距离和最小。 QA H P B F 解:(1)(2, 2 ) 连 PF,当 A、P、F 三点共线时, AP ? PH ? AP ? PF 最小,此时 AF 的方程为 y ? 4 2 ? 0 (x ?1) 即 y=2 2 (x-1),代入 y2=4x 得 P(2,2 2 ),(注:另一交点为( 1 ,? 2 ), 3?1 2 它为直线 AF 与抛物线的另一交点,舍去) (2)(

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