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北京市海淀区2014届高三上学期期末考试数学文试题_图文

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海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学 (文) 2014.1

参考答案及评分标准
阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 A 5 C 6 B 7 D

8 B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分) 9. 2 12. {1, 2, 4} 10. 16 13. 50,1015 11. 7 14. ? 1 ;①②③

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.(本小题共 13 分)

π cos π π 0 2 ? 2sin ? ? 2 ? 2 . ------------------------3 分 解:(Ⅰ) f ( ) ? π π 4 4 2 2 sin ? cos ? 4 4 2 2
(Ⅱ)由 sin x ? cos x ? 0 得 x ? kπ ? 因为 f ( x) ?

π ,k ? Z . 4

cos2 x ? 2sin x sin x ? cos x cos2 x ? sin 2 x ? ? 2sin x sin x ? cos x
? cosx ? sin x

------------------------------------5 分

π ? 2 sin( x ? ) , 4
所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? 2 π . 因为函数 y ? sin x 的对称轴为 x ? kπ+

-------------------------------------7 分 -------------------------------------9 分

π , k ? Z , ------------------------------11 分 2 π π π 又由 x ? ? kπ+ , k ? Z ,得 x ? kπ+ , k ? Z , 4 2 4 π 所以 f ( x ) 的对称轴的方程为 x ? kπ+ , k ? Z .-----------------------------------13 分 4

5

16.(本小题共 13 分) 解:(Ⅰ)由上图可得 0.01 ? a ? 0.19 ? 0.29 ? 0.45 ? 1 , 所以 a ? 0.06 . ----------------------------------4 分

(Ⅱ)设事件 A 为“甲队员射击,命中环数大于 7 环”,它包含三个两两互斥的事件:甲队员射 击,命中环数为 8 环,9 环,10 环. 所以 P( A) ? 0.29 ? 0.45 ? 0.01 ? 0.75 . (Ⅲ)甲队员的射击成绩更稳定. 17.(本小题共 14 分) 解:(Ⅰ)因为底面 ABCD 是菱形, 所以 CD // AB . ----------------------------1 分 ----------------------------------9 分 ---------------------------------13 分

P

又因为 CD ? 平面 PAB , -------------------3 分 所以 CD // 平面 PAB . --------------------------4 分 (Ⅱ)因为 PA ? PB ,点 E 是棱 AB 的中点, 所以 PE ? AB .

C

D
A

E

B

----------------------------------5 分

因为平面 PAB ? 平面 ABCD ,平面 PAB ? 平面 ABCD ? AB , PE ? 平面 PAB , ----------------------------------7 分 所以 PE ? 平面 ABCD , 因为 AD ? 平面 ABCD , 所以 PE ? AD . (Ⅲ)因为 CA ? CB ,点 E 是棱 AB 的中点, 所以 CE ? AB . 由(Ⅱ)可得 PE ? AB , 所以 AB ? 平面 PEC , 又因为 AB ? 平面 PAB , 所以平面 PAB ? 平面 PEC . 18.(本小题共 13 分) 解:(Ⅰ) f '( x) ? ( x ? a ? 1)e x , x ? R . 因为函数 f ( x ) 是区间 [?3, ??) 上的增函数, -------------------------------2 分 --------------------------------14 分 --------------------------------10 分 ---------------------------------11 分 --------------------------------13 分 ------------------------------------9 分 ------------------------------------8 分

6

所以 f '( x ) ? 0 ,即 x ? a ? 1 ? 0 在 [?3, ??) 上恒成立.------------------------------3 分 因为 y ? x ? a ? 1 是增函数, 所以满足题意只需 ?3 ? a ? 1 ? 0 ,即 a ? 2 . (Ⅱ)令 f '( x ) ? 0 ,解得 x ? ? a ? 1 -------------------------------5 分 -------------------------------6 分

f ( x ) , f ' (x的情况如下: )

x
f '( x ) f ( x)

( ??, ?a ? 1)
?


?a ? 1
0 极小值

( ?a ? 1, ??)

?


--------------------------------------10 分 ①当 ?a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时, f ( x ) 在 [0,2] 上的最小值为 f (0) , 若满足题意只需 f (0) ? e2 ,解得 a ? e ,
2

所以此时, a ? e ;
2

--------------------------------------11 分

②当 0 ? ?a ? 1 ? 2 ,即 ?3 ? a ? ?1 时, f ( x ) 在 [0,2] 上的最小值为 f ( ? a ? 1) , 若满足题意只需 f (?a ? 1) ? e2 ,求解可得此不等式无解, 所以 a 不存在; ------------------------12 分

③当 ?a ? 1 ? 2 ,即 a ? ?3 时, f ( x ) 在 [0,2] 上的最小值为 f (2) , 若满足题意只需 f (2) ? e2 ,解得 a ? ?1 , 所以此时, a 不存在. 综上讨论,所求实数 a 的取值范围为 [e2 , ??) . 19. (本小题共 14 分) 解:(Ⅰ)由题意可得 c ? 1 , 又由题意可得 所以 a ? 2 , 所以 b ? a ? c ? 3 ,
2 2 2

------------------------------13 分

----------------------------------1 分

c 1 ? , a 2
----------------------------------2 分 ----------------------------------3 分 ---------------------------------4 分

所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

7

所以椭圆 C 的右顶点 A(2,0) , 代入圆 F 的方程,可得 r 2 ? 1 , 所以圆 F 的方程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 . (Ⅱ)法 1: 假设存在直线 l : y ? k ( x ? 2) ( k ? 0) 满足条件,

--------------------------------5 分

------------------------------6 分

-----------------------------7 分

? y ? k ( x ? 2), ? 由 ? x2 y 2 得 (4k 2 ? 3) x 2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 12 ? 0 ----------------------------8 分 ? ? 1 ? 3 ? 4
16k 2 , ---------------------------------9 分 4k 2 ? 3 8k 2 ?6k , 2 ), 可得中点 P ( 2 --------------------------------11 分 4k ? 3 4k ? 3 8k 2 ?6k 2 ? 1) 2 ? ( 2 ) ?1 由点 P 在圆 F 上可得 ( 2 4k ? 3 4k ? 3
设 B( x1 , y1 ) ,则 2 ? x1 ? 化简整理得 k 2 ? 0 又因为 k ? 0 , 所以不存在满足条件的直线 l . (Ⅱ)法 2: 假设存在直线 l 满足题意. 由(Ⅰ)可得 OA 是圆 F 的直径, 所以 OP ? AB . 由点 P 是 AB 中点,可得 | OB |?| OA |? 2 . 设点 B( x1 , y1 ) ,则由题意可得 -----------------------------7 分 ------------------------------8 分 --------------------------------9 分 --------------------------------10 分 -------------------------------11 分 --------------------------------14 分 --------------------------------13 分

x12 y12 ? ?1. 4 3

又因为直线 l 的斜率不为 0,所以 x12 ? 4 , 所以 | OB |2 ? x12 ? y12 ? x12 ? 3(1 ?

x12 x2 ) ? 3 ? 1 ? 4 ,-------------------------------13 分 4 4

这与 | OA |?| OB | 矛盾,所以不存在满足条件的直线 l . --------------------------14 分 20. (本小题共 13 分) 解:(Ⅰ)只有 y ? [ x ] 是 N 函数. (Ⅱ)函数 g ( x ) ? [ln x ] ? 1 是 N 函数. 证明如下: ----------------------------3 分

8

显然, ?x ? N* , g ( x) ? [ln x] ? 1? N* . 不妨设 [ln x] ? 1 ? k , k ? N* , 由 [ln x] ? 1 ? k 可得 k ? 1 ? ln x ? k , 即 1 ? ek ?1 ? x ? e k .

---------------------------------------4 分

因为 ?k ? N* ,恒有 ek ? ek ?1 ? ek ?1 (e ? 1) ? 1 成立, 所以一定存在 x ? N* ,满足 ek ?1 ? x ? ek , 所以设 ?k ? N* ,总存在 x ? N* 满足 [ln x] ? 1 ? k , 所以函数 g ( x ) ? [ln x ] ? 1 是 N 函数. (Ⅲ)(1)当 b ? 0 时,有 f (2) ? [b ? a 2 ] ? 0 , 所以函数 f ( x) ? [b ? a x ] 都不是 N 函数. (2)当 b ? 0 时,① 若 a ? 0 ,有 f (1) ? [b ? a] ? 0 , 所以函数 f ( x) ? [b ? a x ] 都不是 N 函数. ------------------10 分 ② 若 0 ? a ? 1 ,由指数函数性质易得 ---------------------------9 分 ---------------------------------------8 分

b ? ax ? b ? a ,
所以 ?x ? N* ,都有 f ( x) ? [b ? a x ] ? [b ? a] 所以函数 f ( x) ? [b ? a x ] 都不是 N 函数. -----------------11 分 ③ 若 a ? 1 ,令 b ? a m?1 ? b ? a m ? 2 ,则 m ? log a

2 , b ? (a ? 1)

所以一定存在正整数 k 使得 b ? a k ?1 ? b ? a k ? 2 , 所以 ?n1 , n2 ? N* ,使得 b ? ak ? n1 ? n2 ? b ? a k ?1 , 所以 f (k ) ? n1 ? n2 ? f (k ? 1) . 又因为当 x ? k 时, b ? a x ? b ? a k ,所以 f ( x) ? f (k ) ; 当 x ? k ? 1 时, b ? a x ? b ? a k ?1 ,所以 f ( x) ? f (k ? 1) , 所以 ?x ? N* ,都有 n1 ?{ f ( x) | x ? N*} , 所以函数 f ( x) ? [b ? a x ] 都不是 N 函数.------------------13 分
9

综上所述,对于任意实数 a , b ,函数 f ( x) ? [b ? a x ] 都不是 N 函数.

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