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《二次函数的图象和性质》综合测试题1

时间:2015-05-22


《二次函数的图象和性质》综合检测题
一.选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1、抛物线 y=x2-2x+1 的对称轴是( A.直线 x=1 B.直线 x=-1 ) C.直线 x=2 D.直线 x=-2

2、 (2008 年武汉市)下列命题: ①若 a ? b ? c ? 0 ,则 b2 ? 4ac ? 0 ; ②若 b ? a ? c ,则一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两个不相等的实数根; ③若 b ? 2a ? 3c ,则一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两个不相等的实数根; ④若 b2 ? 4ac ? 0 ,则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是 2 或 3. 其中正确的是( A.只有①②③ ) . B.只有①③④ C.只有①④ ) D. 只有②③④.

3、对于 y ? 2( x ? 3) 2 ? 2 的图象下列叙述正确的是( A.顶点坐标为(-3,2) C.当 x ? 3 时 y 随 x 增大而增大 B.对称轴为 y=3

D.当 x ? 3 时 y 随 x 增大而减小

4、 (2008 年湖北省仙桃市潜江市江汉油田)如图,抛物线 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的对称轴是直线 x ? 1 ,且经过点 P (3,0) ,则 a ? b ? c 的值为( A.0 B.-1 C.1
y
3



D.2

P
–1 O 1 3

x

5、函数 y=ax2(a≠0)的图象经过点(a,8),则 a 的值为( A.± 2 B.-2 C.2 D.3
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1 6、自由落体公式 h= gt2(g 为常量),h 与 t 之间的关系是( 2



A.正比例函数 C.二次函数 7、下列结论正确的是( A.y=ax2 是二次函数

B.一次函数 D.以上答案都不对 )

B.二次函数自变量的取值范围是所有实数 C.二次方程是二次函数的特例 D.二次函数的取值范围是非零实数 8、 下列函数关系中, 可以看作二次函数 y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 模型的是 ( A.在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B.我国人口年自然增长率为 1%,这样我国人口总数随年份的变化关系 C. 竖直向上发射的信号弹, 从发射到落回地面, 信号弹的高度与时间的关系 (不 计空气阻力) D.圆的周长与圆的半径之间的关系 9、对于任意实数 m,下列函数一定是二次函数的是( A. y ? (m ? 1) 2 x 2 C. y ? (m 2 ? 1) x 2 B. y ? (m ? 1) 2 x 2 D. y ? (m 2 ? 1) x 2 ) )

10 、二次函数 y=x2 图象向右平移 3 个单位,得到新图象的函数表达式是 ( ) B.y=x2-3 D.y=(x-3)2 第Ⅱ卷(非选择题,共 80 分) 二、填空题(每小题 4 分,共 40 分) 11、某工厂第一年的利润是 20 万元,第三年的利润是 y 万元,与平均年增长率 x 之间的函数关系式是 。

A.y=x2+3 C.y=(x+3)2

12、已知二次函数的图像关于直线 y=3 对称,最大值是 0,在 y 轴上的截距是- 1,这个二次函数解析式为 。

13、某学校去年对实验器材投资为 2 万元,预计今明两年的投资总额为 y 万元,
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年平均增长率为 x。则 y 与 x 的函数解析式 14、m 取 的二次函数.



时,函数 y ? (m 2 ? m) x 2 ? mx ? (m ? 1) 是以 x 为自变量

15、 (2006· 浙江)如图 1 所示,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向上,图象经 过点(-1,2)和(1,0)且与 y 轴交于负半轴.

第(1)问:给出四个结论:①a>0;②b>0;③c>0;④a+b+c=0,其中正确的结 论的序号是 第(2)问:给出四个结论:①abc<0;②2a+b>0;③a+c=1;④a>1.其中正确的结 论的序号是 .

16、杭州体博会期间,嘉年华游乐场投资 150 万元引进一项大型游乐设施,若不 计维修保养费用,预计开放后每月可创收 33 万元,而该游乐设施开放后,从第 1 个月到第 x 个月的维修保养费用累计为 y(单位:万元) ,且 y=ax2+bx,若维 修保养费用第 1 个月为 2 万元, 第 2 个月为 4 万元;若将创收扣除投资和维修保 养费用称为游乐场的纯收益 g(单位:万元) ,g 也是关于 x 的二次函数. (1)y 关于 x 的解析式 (2)纯收益 g 关于 x 的解析式 (3)设施开放 收回投资? 17、已知:二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,OA=OC,则由抛物线的特征 ; ; 个月后,能

个月后,游乐场纯收益达到最大?

写出如下含有 a、b、c 三个字母的等式或不等式:① ③abc>0;④a-b+c>0. 正确的序号是 .

=-1;②ac+b+1=0;

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18、 (2006· 武汉)已知抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为直线 x=-1,与 x 轴 的一个交点为 (x1, 0) , 且 0<x1<1, 下列结论: ①9a-3b+c>0; ②b<c; ③3a+c>0, 其中正确结论两个数有 。
9 ,这个二次函数的 2

19、已知抛物线经过点(1,0) , (-5,0) ,且顶点纵坐标为 解析式 。

20、 (2006· 武汉)已知二次函数的图象开口向下,且经过原点.请写出一个符合条 件的二次函数的解析式 三、解答题(共 40 分) 1 5 21、 (6 分)请画出函数 y=-2x2+x-2的图象,并说明这个函数具有哪些性质.
1 2 x +x+2 指出 4



22、 (8 分)已知二次函数 y=-

(1)函数图像的对称轴和顶点坐标; (2)把这个函数的图像向左、向下平移 2 个单位,得到哪一个函数的图像?

23、 (6 分)已知 y 是 x 的二次函数,当 x=2 时,y=-4,当 y=4 时,x 恰为方程 2x2-x-8=0 的根,求这个函数的解析式。

24、(10 分)某商场以每件 42 元的价钱购进一种服装,根据试销得知:这种服 装每天的销售量 (件),与每件的销售价 (元/件)可看成是一次函数关系:

(1)写出商场卖这种服装每天的销售利润

与每件的销售价 之间的函数关

系式(每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差); (2)通过对所得函数关系式进行配方,指出:商场要想每天获得最大的销售 利润,每件的销售价定为多少最为合适;最大销售利润为多少?
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25、(2008 年金华市)跳绳时,绳甩到最高处时的形状是抛物线.正在甩绳的甲、 乙两名同学拿绳的手间距 AB 为 6 米,到地面的距离 AO 和 BD 均为 0.9 米,身 高为 1.4 米的小丽站在距点 O 的水平距离为 1 米的点 F 处, 绳子甩到最高处时刚 好通过她的头顶点 E.以点 O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系, 设此抛物 线的解析式为 y=ax2+bx+0.9. (1)求该抛物线的解析式; (2)如果小华站在 OD 之间,且离点 O 的距离为 3 米,当绳子甩到最高处时刚好 通过他的头顶,请你算出小华的身高; (3)如果身高为 1.4 米的小丽站在 OD 之间,且离点 O 的距离为 t 米, 绳子甩到 最高处时超过 她的头顶,请结合图像,写出 t 的取值范围 ..
y E A O

.

·

B D x

F

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参考答案 一、1、A;提示:因为抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴方程是:y=知抛物线中的 a=1,b=-2 代入,求得 x=1,故选项 A 正确. 另一种方法:可将抛物线配方为 y=a(x-h)2+k 的形式,对称轴为 x=h,已知 抛物线可配方为 y=(x-1)2,所以对称轴 x=1,应选 A. 2、B; 3、A、顶点坐标为(-3,2) 4、A 5、C.将(a,8)代入得 a3=8,解得 a=2 6、C;是二次函数 7、B.二次函数自变量的取值范围是所有实数 8、C;竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间 的关系(不计空气阻力) 9、C. y ? (m 2 ? 1) x 2 对于任意实数 m 都是二次函数 10、D;本题考查的是抛物线的平移.先画出 y=x2 的草图,图象向右平移 3 个单位对称轴为 x=3,选项D中的二次函数的对称轴为 x=3. 二、11、函数关系式是 y ? 20(1 ? x) 2 ,即 y ? 20x 2 ? 40x ? 20( x ? 0) 12、由图像的对称轴和函数的最大值,可知顶点坐标是(3,0),设 y=a(x- 3)2,
1 1 把 x=0,y=-1 代入,得 9a=-1 ,a=- ,∴y=- (x-3)2 9 9 b ,将已 2a

13、设今年投资额为 2(1+x)元,明年投资为 2(1+x)2 元 ∴由题意可得.y=2(1+x)+2(1+x)2=2x2+6x+4 14、若函数 y ? (m 2 ? m) x 2 ? mx ? (m ? 1) 是二次函数,则
m 2 ? m ? 0 .解得 m ? 0 ,且 m ? 1 .

因此, 当m ? 0, 且 m ? 1 时, 函数 y ? (m 2 ? m) x 2 ? mx ? (m ? 1) 是二次函数.
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15、解: (1)①,④; 16、 (1)y=x2+x;

(2)②,③,④.

(2)纯收益 g=33x-150-(x2+x)=-x2+32x-150 (3)g=-x2+32x-150=-(x-16)2+106,即设施开放 16 个月后游乐场的纯收 益达到最大. 又在 0<x≤16 时, g 随 x 的增大而增大,当 x≤5 时,g<0;而当 x=6 时,g>0, 所以 6 个月后能收回投资. 17、正确的序号为①②③④. 从图象中易知 a>0,b<0,c<0,③正确;抛物线顶点纵坐标为-1,∴ ①对;当 x=-1 时 y=a-b+c,由图象知(-1,a-b+c)在第二象限,∴ a-b+c>0,④正确;设 C(0,c) ,则 OC=|c|,∵ OA=OC=|c|,∴ A(c,0)代入抛物线得 ac2+bc+c=0, 又 c≠0,∴ac+b+1=0,故②正确. 18、这是一道没给图象的题,由已知条件可以大致画出如下图所示的图象, ∵ 0<x1<1, ∴ 点(1,a+b+c)在第一象限,又对称轴为直线 x=-1,∴ (-3, 9a-3b+c ) 在 第 二 象 限 , 故 ①9a-3b+c>0 正 确 ; ∵ -
b =-1 , ∴ b=2a , ∴ 2a

b-a=2a-a=a>0.∴ b>a>c,故②不正确;把 b=2a 代入 a+b+c>0 得 3a+c>0, ∴ ③ 正确;故答案为 2 个.

19、解:∵点(1,0) , (-5,0)是抛物线与 x 的两交点, ∴ 抛物线对称轴为直线 x=-2, ∴ 抛物线的顶点坐标为(-2,
9 ) , 2

设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c,则有

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∴ 所求二次函数解析式为

20、如果设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c,因为图象开口向下,所以 a 为负数,图象过原点,即 c=0,满足这两个条件的解析式有无数个. 解:y=-x2+3x. 1 5 三、21、分析:由以上探索求知,大家已经知道函数 y=-2x2+x-2的图象 的开口方向、对称轴和顶点坐标.根据这些特点,可以采用描点法作图的方法作 1 5 出函数 y=-2x2+x-2的图象,进而观察得到这个函数的性质. 解:(1)列表:在 x 的取值范围内列出函数对应值表; x … - 2 y … - 1 62 - 1 - 4 - 1 22 - 2 - 1 22 - 4 - 1 62 … 0 1 2 3 4 …

(2)描点:用表格里各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点. 1 5 (3)连线:用光滑的曲线顺次连接各点,得到函数 y=-2x2+x-2的图象. 说明:(1)列表时,应根据对称轴是 x=1,以 1 为中心,对称地选取自变量 的值,求出相应的函数值。相应的函数值是相等的. (2)直角坐标系中 x 轴、y 轴的长度单位可以任意定,且允许 x 轴、y 轴选取 的长度单位不同。所以要根据具体问题,选取适当的长度单位,使画出的图象美 观. 则可得到这个函数的性质如下: 当 x<1 时,函数值 y 随 x 的增大而增大;当 x>1 时,函数值 y 随 x 的增大 而减小; 当 x=1 时,函数取得最大值,最大值 y=-2.
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22、解:(1)配方,y=-

1 2 1 (x -4x+4-4)+2=- (x-2)2+3 4 4

∴图像的对称轴是直线 x=2,顶点坐标为(2,3) 。 (2)把这个函数的图像向左、向下平移 2 个单位,顶点成为(0,1),形状不变, 得到函数 y=-
1 x+1 的图像。 4

23、解:本题不便求出方程 2x2-x-8=0 的根,设这个方程的根为 x1、x2, 则当 x=x1,x=x2 时,y=4,可设 y=a(2x2-x-8)+4 把 x=2,y=-4 代入,得-4=a(2× 22-2-8 )+4 得 a=4,所求函数为 y=4(2x2-x-8)+4=8x2-4x-28 24、分析:商场的利润是由每件商品的利润乘每天的销售的数量所决定。 在这个问题中, 每件服装的利润为 ( 那么就能得到一个 与 ) , 而销售的件数是 ( +204) ,

之间的函数关系,这个函数是二次函数.

要求销售的最大利润,就是要求这个二次函数的最大值. 解:(1)由题意,销售利润 =( -42)(-3 与每件的销售价 =-3
2

之间的函数关系为 8568

+204),即

+

(2)配方,得

=-3(

-55)2+507

∴当每件的销售价为 55 元时,可取得最大利润,每天最大销售利润为 507 元. 25、解: (1)由题意得点 E(1,1.4), B(6,0.9), 代入 y=ax2+bx+0.9 得

?a ? b ? 0.9 ? 1.4 ? ?36a ? 6b ? 0.9 ? 0.9

?a ? ?0.1 解得 ? ?b ? 0.6

∴所求的抛物线的解析式是 y=-0.1x2+0.6x+0.9. (2)把 x=3 代入 y=-0.1x2+0.6x+0.9 得 y=-0.1× 32+0.6× 3+0.9=1.8 ∴小华的身高是 1.8 米 (3)1<t<5

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