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高中数学必修4平面向量知识点总结

时间:2018-06-26


高中数学必修 4 知识点归纳
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平面向量

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一.向量的基本概念与基本运算 1 向量的概念:
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①向量:既有大小又有方向的量 向量一般用 a , b , c ??来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字母
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? ? ?

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表示,如: A B 几何表示法 A B , a ;坐标表示法 a ? xi ? yj ? ( x , y )
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向量的大小即向量的模(长

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度) ,记作| A B | 即向量的大小,记作| a |
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向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为 0 的向量,记为 0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行 零向量 a = 0 ? | a |=0
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由于 0 的方向是任意的,且规定 0 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否 有“非零向量”这个条件. (注意与 0 的区别) ③单位向量:模为 1 个单位长度的向量 向量 a 0 为单位向量 ? | a 0 |=1 ?
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④平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量 任意一组平行向量都可以移到同一直线上 方向相同
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或相反的向量,称为平行向量 记作 a ∥ b 由于向量可以进行任意的平移(即自由向量),平行向量总可以
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平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 ?
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数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共 线向量中的“共线”与几何中的“共线” 、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是 不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合,记为 a ? b 大小相等,方向相
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同? ( x 1 , y 1 ) ? ( x 2 , y 2 ) ? ? 2 向量加法
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? x1 ? x 2
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? y1 ? y 2

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求两个向量和的运算叫做向量的加法

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设 A B ? a , B C ? b ,则 a + b = A B ? B C = A C

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(1) 0 ? a ? a ? 0 ? a ; (2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则” : (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条 对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 三角形法则可推广至多个向量相加:
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(2) 三角形法则的特点是“首尾相接” ,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就
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当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法则.向量加法的

??? ??? ???? ? ? ???? ??? ? ??? ? A B ? B C ? C D ? ? ? P Q ? Q R ? A R ,但这时必须“首尾相连” .
3 向量的减法
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? 记作 ? a ,零向量的相反向量仍是零向量
关于相反向量有:

① 相反向量:与 a 长度相等、方向相反的向量,叫做 a 的相反向量
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(i) ? ( ? a ) = a ; (ii) a +( ? a )=( ? a )+ a = 0 ;

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(iii)若 a 、 b 是互为相反向量,则 a = ? b , b = ? a , a + b = 0 ②向量减法:向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差,

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记作: a ? b ? a ? ( ? b ) 求两个向量差的运算,叫做向量的减法
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③作图法: a ? b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量( a 、 b 有共同起点) 4 实数与向量的积:
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①实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作λ a ,它的长度与方向规定如下:
? ? (Ⅰ) ? a ? ? ? a ;

?

?

(Ⅱ) ? ? 0 时, a 的方向与 a 的方向相同; ? ? 0 时, a 的方向与 a 的方向相反; ? ? 0 当 λ 当 λ 当 时, ? a ? 0 ,方向是任意的

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②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5 两个向量共线定理:
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向量 b 与非零向量 a 共线 ? 有且只有一个实数 ? ,使得 b = ? a 6 平面向量的基本定理:
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如果 e 1 , e 2 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数

? ? ?

?

? 1 , ? 2 使: a ? ? 1 e 1 ? ? 2 e 2 ,其中不共线的向量 e 1 , e 2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
7 特别注意:
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(1)向量的加法与减法是互逆运算

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(2)相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件 况

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(3)向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合) ,而向量平行则包括共线(重合)的情
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(4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关

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学习本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理几何问题,特别 是处理向量的相关位置关系,正确运用共线向量和平面向量的基本定理,计算向量的模、两点的距离、向 量的夹角,判断两向量是否垂直等 由于向量是一新的工具,它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等
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结合起来进行综合考查,是知识的交汇点 例 1 给出下列命题: ① 若| a |=| b |,则 a = b ;

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?

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② 若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 A B ? D C 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件; ③ 若 a = b , b = c ,则 a = c , ④ a = b 的充要条件是| a |=| b |且 a // b ; ⑤ 若 a // b , b // c ,则 a // c , 其中正确的序号是
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解:①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同. ② 正确.∵ A B ? D C ,∴ | A B | ? | D C | 且 A B // D C , 又 A,B,C,D 是不共线的四点,∴ 四边形 ABCD 为平行四边形;反之,若四边形 ABCD 为平行四 边形,则, A B // D C 且 | A B | ? | D C | , 因此, A B ? D C . ③ 正确.∵ a = b ,∴ a , b 的长度相等且方向相同;

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又 b = c ,∴ b , c 的长度相等且方向相同, ∴ a , c 的长度相等且方向相同,故 a = c . ④ 不正确.当 a // b 且方向相反时,即使| a |=| b |,也不能得到 a = b ,故| a |=| b |且 a // b 不是

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? ? a = b 的充要条件,而是必要不充分条件.

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⑤ 不正确.考虑 b = 0 这种特殊情况. 综上所述,正确命题的序号是②③. 点评:本例主要复习向量的基本概念.向量的基本概念较多,因而容易遗忘.为此,复习一方面要构 建良好的知识结构,另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想. 例 2 设 A、B、C、D、O 是平面上的任意五点,试化简: ① A B ? B C ? C D ,② D B ? A C ? B D

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③ ?OA ? OC ? OB ? CO

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解:①原式= ( A B ? B C ) ? C D ? A C ? C D ? A D ②原式= ( D B ? B D ) ? A C ? 0 ? A C ? A C

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③原式= ( O B ? O A ) ? ( ? O C ? C O ) ? A B ? ( O C ? C O ) ? A B ? 0 ? A B

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例 3 设非零向量 a 、 b 不共线, c =k a + b , d = a +k b 解:∵ c ∥ d

?

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?

?

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?

(k?R),若 c ∥ d ,试求 k

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∴由向量共线的充要条件得: c =λ d 即 k a + b =λ ( a +k b ) 又∵ a 、 b 不共线

?

?

(λ ?R)

?

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?

?

∴(k?λ ) a + (1?λ k) b

?

?

?
= 0

?

∴由平面向量的基本定理 ?

?k ? ? ? 0 ?1 ? k ? ? 0

? k ? ?1

二.平面向量的坐标表示 1 平面向量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i , j 作为基底 由
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平面向量的基本定理知, 该平面内的任一向量 a 可表示成 a ? x i ? yj , 由于 a 与数对(x,y)是一一对应的, 因此把(x,y)叫做向量 a 的坐标,记作 a =(x,y),其中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做在 y 轴上的坐标 (1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量 2 平面向量的坐标运算:
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(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关
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(1) 若 a ?

?

? x1 , y 1 ? , b

?

? ? ? ? x 2 , y 2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ? ??? ?

(2) 若 A ? x 1 , y 1 ?, B ? x 2 , y 2 ? ,则 A B ? (3) 若 a =(x,y),则 ? a =( ? x, ? y) (4) 若 a ? (5) 若 a ?

? x2

? x1 , y 2 ? y 1 ?

?

?

? ?

? x1 , y 1 ? , b ? x1 , y 1 ? , b
?

? ?

? ? ? ? x 2 , y 2 ? ,则 a // b ? x1 y 2 ? x 2 y 1 ? 0 ? ? ? ? x 2 , y 2 ? ,则 a ? b ? x1 ? x 2 ? y1 ? y 2

若 a ? b ,则 x 1 ? x 2 ? y 1 ? y 2 ? 0 3 向量的运算向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量(内积)及其各运算的坐标表示和性质 ?
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?

运 算 类 型 向 量 的 加 法

几何方法

坐标方法

运算性质

1 平行四边形法则
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2 三角形法则
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? ? a ? b ? ( x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 )

? ? ? ? a ?b ?b ?a
? ? ? ? ? ? ( a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )

??? ??? ? ? ???? AB ? BC ? AC
三角形法则

向 量 的

? ? a ? b ? ( x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 )

? ? ? ? a ? b ? a ? (?b )

减 法

??? ? ??? ? AB ? ? BA

??? ??? ? ? ??? ? OB ? OA ? AB
向 量 的 乘 法

? a 是一个向量,
满足:

?

? a ? (? x, ? y )

? ( ? a ) ? ( ?? ) a

?

?

? ? ? >0 时, ? a 与 a 同向; ? ? ? <0 时, ? a 与 a 异向; ? ? ? =0 时, ? a = 0
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? ? ? (? ? ? )a ? ? a ? ?a

? (a ? b ) ? ?a ? ?b
? ? ? ? a ∥b ? a ? ?b

?

?

?

?

向 量 的 数 量 积

? ? a ? b 是一个数

? ? a ? b ? x1 x 2 ? y 1 y 2

? ? ? ? a ?b ? b ?a
? ? ? ? ? ? (? a ) ? b ? a ? (? b ) ? ? (a ? b ) ? ? ? ? ? ? ? (a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c

? ? ? ? a ? 0 或 b ? 0 时, ? ? a ? b =0
? ? ? ? a ? 0 且 b ? 0 时,
? ? ? ? ? ? a ? b ? | a || b | cos ? a , b ?

?2 ? 2 ? a ? | a | , | a |?
? ? ? ? | a ? b |? | a || b | ? ? ?

x ? y
2

2

? ? ? ? ? ? ? ? 解:因为 a ? (1, 2 ), b ? ( x ,1), u ? a ? 2 b , v ? 2 a ? b ? ? 所以 u ? (1, 2 ) ? 2 ( x ,1) ? (2 x ? 1, 4 ) , v ? 2 (1, 2 ) ? ( x ,1) ? (2 ? x , 3) ? ? 又因为 u // v 所以 3(2 x ? 1) ? 4(2 ? x ) ? 0 ,即 10 x ? 5
解得 x ?

例 1 已知向量 a ? (1, 2 ), b ? ( x ,1), u ? a ? 2 b , v ? 2 a ? b ,且 u // v ,求实数 x 的值

?

?

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1 2

例 2 已知点 A ( 4 , 0 ), B ( 4 , 4 ), C ( 2 , 6 ) ,试用向量方法求直线 AC 和 OB ( O 为坐标原点)交点 P 的坐 标
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解:设 P ( x , y ) ,则 O P ? ( x , y ), A P ? ( x ? 4, y ) 因为 P 是 A C 与 O B 的交点 所以 P 在直线 A C 上,也在直线 O B 上

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

????

即得 O P // O B , A P // A C

由点 A ( 4 , 0 ), B ( 4 , 4 ), C ( 2 , 6 ) 得, A C ? ( ? 2, 6), O B ? (4, 4) 得方程组 ?

????

??? ?

?6( x ? 4) ? 2 y ? 0 ?4 x ? 4 y ? 0

解之得 ?

?x ? 3

?y ? 3 故直线 A C 与 O B 的交点 P 的坐标为 (3, 3)
三.平面向量的数量积

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1 两个向量的数量积:
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已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? ,则 a ·b =︱ a ︱· b ︱cos ? ︱ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积) 规定 0 ? a ? 0
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?

?

? ?

?

?

?

?

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? ? ? ? a ?b ? 2 向量的投影:︱ b ︱cos ? = ? ∈R,称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称为射影 |a |
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3 数量积的几何意义: a ·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积
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? ?

?

?

?

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4 向量的模与平方的关系: a ? a ? a
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? ?

?2

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? 2 ?| a |

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5 乘法公式成立:
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?

? ? ? ? ?2 ?2 ? a?b ? a?b ? a ?b ? a

??
2

?

2

?2 ? b ; ? ? ? ? 2a ? b ? b
2

?a ? b ?
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?

?

?2 ? ? ?2 ? ? a ? 2a ? b ? b ? a

2

6 平面向量数量积的运算律:
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①交换律成立: a ? b ? b ? a

? ?

? ?
? ?

②对实数的结合律成立: ? ? a ? ? b ? ? a ? b

?

? ?

?
?

? ? ? a ? ?b

? ??? ? R ?
?

③分配律成立: a ? b ? c ? a ? c ? b ? c ? c ? a ? b 特别注意: (1)结合律不成立: a ? b ? c (2)消去律不成立 a ? b ? a ? c

?

?

?

?

?

? ? ?

? ?

?

?

?

?

? ?

? ? ?a ?b ??c ;
? ?

? ?

?

? ?

? ?

不能得到 b ? c ?

(3) a ? b =0 不能得到 a = 0 或 b = 0 7 两个向量的数量积的坐标运算:
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? ?

? ?

?

?

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已知两个向量 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x 2 , y 2 ) ,则 a ·b = x1 x 2 ? y1 y 2

?

?

? ?

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8 向量的夹角:已知两个非零向量 a 与 b ,作 O A = a , O B = b ,则∠AOB= ? ( 0
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?

?

??? ?

?

??? ?

?

0

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? ? ? 180 )叫做
0

向量 a 与 b 的夹角

?

?
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? ? ? ? a ?b cos ? = co s ? a , b ? ? ? ? = a ? b
?

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1 ?
0
2 2

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x2 ? y2
?

2

2

?

?

当且仅当两个非零向量 a 与 b 同方向时,θ =0 ,当且仅当 a 与 b 反方向时θ =180 ,同时 0 与其它任何非 零向量之间不谈夹角这一问题
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0

?

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9 垂直:如果 a 与 b 的夹角为 90 则称 a 与 b 垂直,记作 a ⊥ b
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?

?
0

?

?

?

?
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10 两个非零向量垂直的充要条件:
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? ? ? ? a ⊥ b ? a · b =O ? x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 平面向量数量积的性质
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例 1 判断下列各命题正确与否: (1) 0 ? a ? 0 ; (2) 0 ? a ? 0 ; (3)若 a ? 0, a ? b ? a ? c ,则 b ? c ; ⑷若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c 当且仅当 a ? 0 时成立; (5) ( a ? b ) ? c ? a ? ( b ? c ) 对任意 a , b , c 向量都成立; (6)对任意向量 a ,有 a

?

? ?

?

? ?

? ?
?

?

?

? ?

? ?

?

?

?

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?

?

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?2

? ? ?

?

? ? a

2
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解:⑴错; ⑵对; ⑶错; ⑷错; ⑸ 错;⑹对

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例 2 已知两单位向量 a 与 b 的夹角为 120

?

?
?

0

,若 c ? 2 a ? b , d ? 3 b ? a ,试求 c 与 d 的夹角
0

?

?

? ?

?

?

?

?

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解:由题意, a ? b ? 1 ,且 a 与 b 的夹角为 120 所以, a ? b ? a b co s 1 2 0 ? ?
0

?

?

?



? ?

? ?

1



? ? c

2

2 ?2 ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? c ? c ? (2a ? b ) ? (2a ? b ) ? 4a ? 4a ? b ? b ? 7 ,
7,
? 13

? ? c ?

同理可得? d ?

而 c ? d ? ( 2 a ? b ) ? (3 b ? a ) ? 7 a ? b ? 3 b 设 ? 为 c 与 d 的夹角,

? ?

?

?

?

?

? ?

?

2

?2 17 ? 2a ? ? , 2

?

?

则 cos ? ?

17 2 7 13

? ?

17

91

? ? ? ? ? arccos
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17

91

182
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182
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点评:向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑

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? ? ? ? ? ? ? ? 例 3 已知 a ? ? 4, 3 ? , b ? ? ? 1, 2 ? , m ? a ? ? b , n ? 2 a ? b ,按下列条件求实数 ? 的值
(1) m ? n ; (2) m // n ; (3) m ? n

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?

?

?

?

?

?
?

解: m ? a ? ? b ? ? 4 ? ? , 3 ? 2 ? ? , n ? 2 a ? b ? ? 7 , 8 ?

?

?

?

?

?

? ? 52 ? (1) m ? n ? ? 4 ? ? ? ? 7 ? ?3 ? 2 ? ? ? 8 ? 0 ? ? ? ? ; 9

(2) m // n ? ? 4 ? ? ? ? 8 ? ?3 ? 2 ? ? ? 7 ? 0 ? ? ? ?

?

?

1 2
2



? ? (3) m ? n ?

? 4 ? ? ? 2 ? ?3 ? 2 ? ? 2
2 ? 2 11
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?

7 ?8
2

2

? 5 ? ? 4 ? ? 88 ? 0

? ? ?

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5
点评:此例展示了向量在坐标形式下的基本运算
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