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高一年级数学学科必修2第二章质量检测试题试卷

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高一年级数学学科必修 2 第二章质量检测试题试卷
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.下列命题中为真命题的是

()

A.平行直线的倾斜角相等

B.平行直线的斜率相等

C.互相垂直的两直线的倾斜角互补

D.互相垂直的两直线的斜率互为相反

2. 在同一直角坐标系中,表示直线 y ? ax 与 y ? x ? a 正确的是

()

y

y

y

y

O

x

Ox

O

x

O

x

12.已知点 P(1,1) 和直线 l : 3x ? 4y ? 20 ? 0 ,则过 P 与直线 l 平行的直线方程是

,过点 P 与 l 垂直的

直线方程是

.

13.直线 l 经过直线 3x ? 2y ? 6 ? 0 和 2x ? 5y ? 7 ? 0 的交点,且在两坐标轴上的截距相等,则直线 l 的方程是

_____ _.

14. 圆 心 在 直 线 2x ? y ? 7? 0上 的 圆 C 与 y 轴 交 于 两 点 A( 0?, 4,) B(0, ?2) , 则 圆 C 的 方 程





15.已知点 M (a,b) 在直线 3x ? 4y ? 15 上,则 a2 ? b2 的最小值为 16.经过 A(2,?1) 和直线 x ? y ? 1相切,且圆心在直线 y ? ?2x 上的圆的方程为_____________
_________ __________ .

A.

B.

C.

D.

3.已知点 A(1, 2) 、 B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线 l 的方程是

()

A. 4x ? 2 y ? 5 B. 4x ? 2 y ? 5 C. x ? 2 y ? 5 D. x ? 2 y ? 5

4.如果直线 ax ? 2y ? 2 ? 0 与直线 3x ? y ? 2 ? 0 平行,那么系数 a 为

()

A. ? 3 2

B. ? 6

C. ? 3

D. 2 3

5.过直线 3x ? y ?1 ? 0与 x ? 2y ? 7 ? 0 的交点,且与第一条直线垂直的直线 l 的方程是( )

A. x ? 3y ? 7 ? 0 B. x ? 3y ?13 ? 0 C. 2x ? y ? 7 ? 0 D. 3x ? y ? 5 ? 0

6.与圆 x2 ? y2 ? 4 y ? 2 ? 0 相切,并在 x 轴、 y 轴上的截距相等的直线共有 (



A.6 条

B.5 条

C.4 条

D.3 条

7.直线 x ? 2 被圆(x ? a)2 ? y 2 ? 4 所截得的弦长等于 2 3 ,则 a 的值为

()

A、-1 或-3

B、 2或 ? 2 C、1 或 3

D、 3

8.已知 O1 : x 2 ? y 2 ? 4x ? 6 y ? 0 和 O2 : x 2 ? y 2 ? 6x ? 0 交于 A, B 两点,则 AB 的垂直平分线的方程是
()

A. x ? y ? 3 ? 0 B. 2x ? y ? 5 ? 0 C. 3x ? y ? 9 ? 0 D. 4x ? 3y ? 7 ? 0

9.两点 A(a ? 2, b ? 2) 、B (b ? a, ? b) 关于直线 4x ? 3y ? 11对称,则

()

A. a ? ?4, b ? 2 B. a ? 4, b ? ?2 C. a ? 4, b ? 2 D. a ? 2, b ? 4

10.空间直角坐标系中,点 A(?3, 4, 0) 和点 B(2, ?1, 6) 的距离是

()

A. 2 43

B. 2 21

C. 9

D. 86

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
把答案填第Ⅱ卷题中横线上

11.直线 y ? 2x 关于 x 轴对称的直线方程为

.

金台区高一年级数学学科必修 2 第二章质量检测试题参赛试卷



总分人

题号



19

20

21

22

23

总分

得分

复核人

第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上)

11.________________________

12._______________________

13._________________________

14.______________________

15._________________________

16._______________________

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17.(12 分)求经过点 A(1,2) 且到原点的距离等于 1 的直线方程.

x2+y2-4x-4y+7=0 相切,求光线 L 所在直线的方程.
18. (14 分) 已知一曲线是与两个定点 O(0, 0) 、 A(3, 0) 距离的比为 1 的点的轨迹,则求此曲线的 2
方程.

19.(14 分) 求垂直于直线 3x ? 4y ? 7 ? 0 ,且与两坐标轴构成周长为 10 的三角形的直线方程

21(15 分)圆 x2 ? y 2 ? 8 内有一点 P(?1, 2) , AB 为过点 P 且倾斜角为? 的弦, (1)当? =1350时,求 AB ; (2)当弦 AB 被点 P 平分时,求出直线 AB 的方程; (3)设过 P 点的弦的中点为 M ,求点 M 的坐标所满足的关系式.

20.(15 分) 自点 A(-3,3)发出的光线 L 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在直线与圆

(2)当过点 A(1,2) 且与 x 轴不垂直时,可设所求直线方程为 y ? 2 ? k(x ?1) ,

即: kx ? y ? k ? 2 ? 0 ,由题意有 | ?k ? 2 | ? 1 ,解得 k ? 3 ,

k2 ?1

4

故所求的直线方程为 y ? 2 ? 3 (x ?1) ,即 3x ? 4 y ? 5 ? 0 . 4
综上,所求直线方程为 x ? 1或 3x ? 4 y ? 5 ? 0 .

高一年级数学学科必修 2 第二章质量检测试题试卷

试卷说明

学校:卧龙寺中学

命题人 吴亮 李丰明

一、命题意图

2. 解答第 21 题:圆 x2 ? y 2 ? 8 内有一点 P(?1, 2) , AB 为过点 P 且倾斜角为? 的弦, (1)当? =1350时,求 AB ;
(2)当弦 AB 被点 P 平分时,求出直线 AB 的方程; (3)设过 P 点的弦的中点为 M ,求点 M 的坐标所满足的关系式.

解析几何是新课标中方程与几何部分的重点内容,其中既有一些几何图形基础,也蕴含了丰富的 数形结合的思想方法,新课程标准要求重视数学之间的联系应用,培养和发展数学联系意识,所以本 章内容一定会成为高考中的热点与重点。
本套试题依据“重视基础,考察能力,体现导向,注重发展”的命题原则。注重学生的基础能力, 同时考察学生的应用能力,体现了新课程标准数学应用的理念,更考察了学生在数学方面的运用能力 以及核心知识的掌握情况,难度中等,对数学学科在新课程的理念下有很好的检测作用。
二、试卷结构特点
本试题是对高一数学必修 2 第二章“解析几何”的单元检测,满分 150 分,时间 120 分钟,分 为Ⅰ卷和Ⅱ卷,共有试题 21 道,其中 10 道选择题,共 50 分;6 道填空题,共 30 分;5 道解答题, 共 70 分。难度为中等水平,既有基础能力题,也有拔高扩展题。用基础题考察学生对知识的掌握能 力,也同时用拔高题来提高学生的应变能力,为学生对数学意识的培养和在数学方面的应用打好一个 基础。
三、典型试题例说 1.解答第 17 题:求经过点 A(1,2) 且到原点的距离等于 1 的直线方程.
【分析】此题看似简单,但学生极易做错,因为学生只考虑到斜率存在情况,而没有考虑到斜率不存在的情况,因 此此题入手容易,得满分难。
解:(1)当过点 A(1,2) 的直线与 x 轴垂直时,则点 A(1,2) 到原点的距离为 1, 所以 x ? 1为所求直线方程.

【分析】此题意在使学生理解数形结合的应用思想,要在几何图中勾画函数方 程的思想,用函数方程来解决各种问题,正是体现了新课程标准下的“学有价值的数学”的理念。

仍要留意不要被斜率不存在所蒙蔽。

解:(1)过点 O 做 OG ? AB 于 G ,连结 OA ,当? =1350 时,直线 AB 的斜率为-1,

0? 0?1

故直线 AB 的方程 x+y-1=0,∴OG=d=

?

2,

2

2

又∵r= 2 2 ,∴ OA ? 8 ? 1 ? 15 ? 30 ,∴ AB ? 2 OA ? 30 , 222

(2)当弦 AB 被 P 平分时, OP ? AB ,此时 KOP= ? 1 , 2

∴ AB 的点斜式方程为 y ? 2 ? 1(x ?1),即x ? 2 y ? 5 ? 0 . 2

?y ? 2 ? k(x ? 1)

(3)设

AB 的中点为

M (x,

y)



AB 的斜率为

K, OM

?

AB

,则

? ? ??

y

?

?

1 k

x

,

消去 K,得: x 2 ? y 2 ? 2 y ? x ? 0 ,当 AB 的斜率 K 不存在时也成立,故过点 P 的弦的中点的轨迹方程为:

x2 ? y2 ? 2y ? x ? 0.

参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A

C

B

B

B

D

C

C

C

D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

11. y ? ?2x .

12. 3x ? 4y ?1 ? 0 或 4x ? 3y ? 7 ? 0 .

13. 3x ? 4y ? 0 或 x ? y ?1 ? 0

14. (x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 5

15. 3

16. (x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17.(12 分) (1)当过点 A(1,2) 的直线与 x 轴垂直时,则点 A(1,2) 到原点的距离为 1,所以 x ? 1为所求直线方

程.

…………5 分

(2)当过点 A(1,2) 且与 x 轴不垂直时,可设所求直线方程为 y ? 2 ? k(x ?1) ,

即: kx ? y ? k ? 2 ? 0 ,由题意有 | ?k ? 2 | ? 1 ,解得 k ? 3 ,

k2 ?1

4

…………10 分

故所求的直线方程为 y ? 2 ? 3 (x ?1) ,即 3x ? 4 y ? 5 ? 0 . 4
综上,所求直线方程为 x ? 1或 3x ? 4 y ? 5 ? 0 .

…………12 分

18.(14 分) 解:在给定的坐标系里,

设点 M (x, y) 是曲线上的任意一点,则 | OM | ? 1 . | AM | 2

…………4 分

由两点间的距离公式,点 M 所适合的条件可以表示为

x 2 ? y 2 ? 1 , …………8 分

(x ? 3)2 ? y 2 2

两边平方,得 x2 ? y 2 ? 1 ,化简整理有: x2 ? y2 ? 2x ? 3 ? 0 , (x ? 3)2 ? y 2 4

化为标准形式: (x ?1)2 ? y2 ? 4 ,

…………12 分

所以,所求曲线是以 C(-1,0)为圆心,2 为半径的圆

…………14 分

19.(14 分)解:由所求直线能与坐标轴围成三角形,则所求直线在坐标轴上的截距不为 0,故可设该直线在 x 轴、 y 轴上的截距分别为 a, b ,又该直线垂直于直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 ,且与两坐标轴构成周长为 10 的三角形,故有

?b

? ?

a

?

4 3



??| a | ? | b | ? a 2 ? b2 ? 10

…………9 分

解得:

???a ? ???b

? ?

5 2 10 3



???a ? ???b

? ?

?5 2
? 10 3



所以所求直线方程为 4x ? 3y ?10 ? 0 或 4x ? 3y ?10 ? 0 .

…………12 分 …………14 分

20. (15 分)

解法一:,已知圆的标准方程是:(x-2)2+(y-2)2=1, 它关于 x 轴的对称圆的方程是(x-2)2+(y+2)2=1. 设光线 L 所在的直线的方程是 y-3=k(x+3)(其中斜率 k 待定),

…………5 分

由题设知对称圆的圆心 C′(2,-2)到这条直线的距离等于 1,即 d= |5k?5| =1. …………10 分
1?k 2

整理得:12k2+25k+12=0,解得 k= - 3 或 k= - 4 .

4

3

…………13 分

故所求直线方程是 y-3= - 4 (x+3),或 y-3= - 4 (x+3),

3

3

即 3x+4y+3=0 或 4x+3y+3=0.

…………15 分

解法二:已知圆的标准方程是:(x-2)2+(y-2)2=1, 设光线 L 所在的直线的方程是:y-3=k(x+3)(其中斜率 k 待定), 由题意知 k≠0,则 L 的反射点的坐标是(- 3(1?k ) ,0),因为光线的入射角等于反射角,
k
所以反射光线 L? 所在直线的方程为 y= -k(x+ 3(1?k ) ),
k
即 y+kx+3(1+k)=0.这条直线与已知圆相切,故圆心到直线的距离为 1,即 d= |5k?5| =1.以下同解法一
1?k 2

21(15 分)解:(1)过点 O 做 OG ? AB 于 G ,连结 OA ,当? =1350 时,直线 AB 的斜率为-1,

0? 0?1

故直线 AB 的方程 x+y-1=0,∴OG=d=

?

2,

2

2

…………2 分

又∵r= 2 2 ,

∴ OA ? 8 ? 1 ? 15 ? 30 ,∴ AB ? 2 OA ? 30 , 222

…………5 分

(2)当弦 AB 被 P 平分时, OP ? AB ,此时 KOP= ? 1 , 2

∴ AB 的点斜式方程为 y ? 2 ? 1(x ?1),即x ? 2 y ? 5 ? 0 . 2

…………10 分

?y ? 2 ? k(x ? 1)

(3)设

AB 的中点为

M (x,

y)



AB 的斜率为

K, OM

?

AB

,则

? ? ??

y

?

?

1 k

x

,

消去 K,得: x 2 ? y 2 ? 2 y ? x ? 0 ,当 AB 的斜率 K 不存在时也成立,故过点 P 的弦的中点的轨迹方程为:

x2 ? y2 ? 2y ? x ? 0.

…………15 分


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