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高一数学必修四第二章平面向量复习学案

时间:2013-03-28

高一数学必修四第二章平面向量复习学案
编稿 谭绍玲 审稿 张善成 一. 知识要点梳理 (一)向量的基本概念: 1.向量的定义: 既有_____又有_____的量叫做向量.向量的______也即向量 的长度,叫做向量的_____. 2.零向量: 模为_____的向量叫做零向量,记作_______.零向量没有确定的 方向。 3.单位向量: 模等于______________的向量叫做单位向量,记作_______. ??? ? (与 AB 共线的单位向量是_________); (二)向量之间的关系: 共线向量(平行向量):方向______________的非零向量叫做共线向量. 规定:_______与任意向量共线.其中模长相等方向相同的向量叫做 ____________;模长相等且方向相反的向量叫做___________; (三)向量的线性运算: 1.向量的运算: 加法运算律,及其几何意义 . 减法运算及其几何意义 . 数乘运算的运算法则,运算律,及其几何意义 . (四)两个定理: 1.向量共线定理:向量 b 与非零向量 a 共线 ? 有且只有一个实数λ,使得 ___________. 推论:平面上三点 A,B,C 共线 ? 存在实数α,β,使_____________ 其中α+β=____, O 为平面内任意一点. 2.平面向量基本定理: 如果 e1 ,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于 这一平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数 ?1 , ? 2 ,使

a =_____________________. 推论:①中点公式:若 M 是线段 AB 的中点, O 为平面内任意一点,
则 OM =_____________ ②在△ABC 中, 若 G 为重心,则 GA ? GB ? GC

=___________ (五)向量的坐标表示及运算 1. 平面向量的正交分解及其坐标表示: 2. 平面向量的坐标运算:

a ? xi ? y j ? ( x, y) .

若 a =(x1,y1), b =(x2,y2),λ∈R,则

a ? b =__________________;

a ? b =__________________ ;

? a =___________________.

3. 向量平行的坐标表示: 4. 向量模的公式:

a // b ?______________________ .

设 a =(x,y),则 a ? ______________________

5. 若已知点 A(x1,y1), B(x2,y2) , 则向量 AB =____________;
? x 0 ? __________ 若 M(xO,yO)是线段 AB 的中点,则有中点坐标公式 ? ? y 0 ? __________

(六)平面向量的数量积 1.平面向量数量积的定义:两个非零向量 a, b ,其夹角为θ ,则 ? ? a ? b =_____________________叫做 a 和 b 的数量积.其中______________叫 做 向量 b 在 a 方向上的投影. 2.数量积的坐标运算:设 a =(x1,y1), b =(x2,y2), a ? b =__________________; 3.两个向量垂直的充要条件:设两个非零向量 a, b ,则有 向量式: a ⊥ b ?______ 坐标式: a ⊥ b ? ___ 4.几个重要性质: ? ? ?2 ? ? ? 2 ① a ? a ? a ? a ; ②若 a 与 b 同向,则 a ? b =________;若 a 与 b 反向, ? ? 则 a ? b =________; ③两个非零向量 a, b ,其夹角为θ ,则 cos ? =______________.④ ? ? ? ? a ?b ? a ? b (七)向量中一些常用的结论: 1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用;
? ?

? ? ? ? ? ? ? ? || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | ,特别地,当 a、 同向或有 b 2. ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? | a ? b |?| a | ? | b | ? || a | ? | b ||?| a ? b | ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b 当 a、 反向或有 0 ? | a ? b |?| a | ? | b | ? || a | ? | b ||?| a ? b | ; ? ? ? ? ? ? ? ? || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | (这些和实数比较类似). b 当 a、 不共线 ?
3. 在 ?ABC 中 , ① 若 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , C ? x3 , y3 ? , 则 其 重 心 的 坐 标 为

??? ? ??? ??? ??? ? ? ? ② PG ? 1 ( PA ? PB ? PC ) ? G 为 ?ABC 的 重 心 , 特 别 地 ??? 3??? ??? ? ? ? ? PA ? PB ? PC ? 0 ? P 为 ?ABC 的重心; ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ③ PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ? P 为 ?ABC 的垂心; ???? ??? ? AC AB ??? ? ???? )(? ? 0) 所在直线过 ?ABC 的内心(是 ?BAC 的角平分 ? ④向量 ? ( | AB | | AC | 线所在直线);

?x ?x ?x y ?y ?y ? G? 1 2 3 , 1 2 3 ? 。 3 3 ? ?

二. 典例剖析
专题一:平面向量及其线性运算 例 1.下列命题中正确的是( ) ??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? A. OA ? OB ? AB B. AB ? BA ? 0 ? ??? ? ? ??? ??? ??? ???? ? ? ? C. 0 ? AB ? 0 D. AB ? BC ? CD ? AD 变式训练 1.下列命题正确的是( A.单位向量都相等 ) )

B.若 a 与 b 是共线向量, b 与 c 是共线向量,则 a 与 c 是共线向量( ? ? C. | a ? b | ?| a ? b | ,则 a ? b ? 0 ? ? D.若 a0 与 b0 是单位向量,则 a0 ? b0 ? 1 例 2.如图所示,OADB 是以向量 OA = a 又 BM

, OB = b 为邻边的平行四边形,

= 3 BC , CN = 3

1

1

CD

,试用 a 、 b 表示 OM , ON , MN .
B D M C O A N

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? OA ? a, OB ? b, OC ? c, OD ? d , OE ? e ,设 t ? R , 变式训练 2:已知
条直线上?

? ? ? ? ? ? ? ? 3a ? c, 2b ? d , e ? t (a ? b) ,那么 t 为何值时,C, D, E 三点在一 如果

变式训练 3:已知向量 a ? 2e1 ? 3e2 , b ? 2e1 ? 3e2 , c ? 2e1 ? 9e2 ,其中 e1 、

e2 不共线,求实数 ? 、 ? ,使 c ? ? a ? ? b .

专题二:平面向量的坐标运算 例1. 已知△ABC 的三个顶点为 A(1,2),B(4,1),C(3,4) ⑴求 AB 边上的中线 CM 的长; ⑵在 AB 上取一点 P,使过 P 且平行与 BC 的直线 PQ 把 ?ABC 的面积分成 4:5 两部分,求 P 点的坐标.

变式训练 1.在直角坐标系 x、 中, y 已知点 A(0, 1)和点 B(-3, 若点 C 在∠AOB 4), 的平分线上,且| OC |=2,求 OC 的坐标.

例 2. 已知 a ? (1, 2) , b ? (?3,2) ,当 k 为何值时,
(1) ka ? b 与 a ? 3b 垂直?

?

?

?

?

?

? ? ka ? b 与 a ? 3 b 平行?平行时它们是同向还是反向? (2)

??? ? ??? ? ??? ? 变式训练 2.已知向量 OA ? (k ,12), OB ? (4,5), OC ? (?k ,10) ,且 A、B、C 三点共线, 则 k= _______ .

专题三:平面向量的数量积的应用 (一)与长度,距离有关的问题
例 1 已知向量 a与b 的夹角为 60 , | b |? 4,(a ? 2b).(a ? 3b) ? ?72 ,求向量 a 的模.
?

? ?

?

?

? ?

?

?

例 2.已知向量 a ? (cos? , sin ? ) ,向量 b ? ( 3,?1) 则 | 2a ? b | 的最大值,最小值分别是 ( )A. 4 2 ,0 B. 4, 4 2 C. 16, 0 D. 4,0

变式训练:已知 a ? (2,1) 与 b ? (1,2) ,要使 a ? tb 最小,则实数 t 的值为___________.

?

?

?

?

(二)与垂直有关的问题

? ? ? ? ? ? ? ? π 例 1.已知 | a |? 2, | b |? 1, a 与 b 的夹角为 ,若向量 2a ? kb 与 a ? b 垂直, 求 k.
3

例 2. 已知向量 a =(sin ? ,1), b =(1,cos ? ),- ? (1) 若 a ⊥ b ,求 ? ;
? ?

2

?? ?

?
2



(2) 求| a + b |的最大值.

? 1 3 ? 变式训练: .平面向量 a ? ( 3, ?1), b ? ( , ) , 若存在不同时为 0 的实数 k 和 t , 2 2

? ? ? ? ? ? ? ? x ? a ? (t 2 ? 3)b , y ? ?ka ? tb , 且 x ? y ,试求函数关系式 k ? f (t ) . 使

(三)与夹角有关的问题
例 1.三角形 ABC 中,A(5,-1)、B(-1,7)、C(1,2), 求:(1)BC 边上的中线 AM 的长; (2)∠CAB 的平分线 AD 的长; (3)cos∠ABC 的值.

变式训练:如图,在直角△ABC 中,已知 BC ? a ,若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点, 问 PQ BC 的夹角 ? 取何值时 BP? CQ 的值最大?并求出这个最大值. 与

(四)与三角函数有关的问题 ? ? 例 1.已知 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,其中 0 ? ? ? ? ? ? .

? ? ? ? (1)求证: a ? b 与 a ? b 互相垂直;
(2)若 ka ? b 与 a ? k b 的长度相等,求 ? ? ? 的值( k 为非零的常数).
?

?

?

?

变式训练:已知二次函数 f(x) 对任意 x∈R,都有 f (1-x)=f (1+x)成立,
1 设向量 a =(sinx,2), b =(2sinx, ), c =(cos2x,1), d =(1,2). 2
? ? ? ?

b d (1)分别求 a · 和 c · 的取值范围; b d (2)当 x∈[0,π]时,求不等式 f( a · )>f( c · )的解集.
? ? ? ?

?

?

?

?

当堂检测: 1.已知下列命题中: ? ? ? ? (1)若 k ? R ,且 kb ? 0 ,则 k ? 0 或 b ? 0 , ? ? ? ? ? ? (2)若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 (3)若不平行的两个非零向量 a, b ,满足 | a |?| b | ,则 (a ? b) ? (a ? b) ? 0 ?? (4)若 a 与 b 平行,则 a? ?| a | ? | b | 其中真命题的个数是( ) b A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2.若三点 A(2,3), B(3, a), C (4, b) 共线,则有( A. a ? 3, b ? ?5 B. a ? b ? 1 ? 0
?

) D. a ? 2b ? 0
?
? ?

C. 2a ? b ? 3
?

3.设 0 ? ? ? 2? ,2.已知向量 a ? (1, 2) , b ? (?2,3) , c ? (4,1) ,若用 a 和 b 表
? ?

示 c ,则 c =____. ? ? ? ? ? ? a ?1 b ? 2 a 与 b 的夹角为 60 0 ,若 (3a ? 5b) ? (ma ? b) ,则 m 的值 4.若 , , 为 . ??? ??? ??? ? ? ? AB ? CB ? CD ? 5.若菱形 ABCD 的边长为 2 ,则 _________. 6.若 a = (2,3) , b = (?4,7) ,则 a 在 b 上的投影为________________.
1 1 7.已知两个向量 OP ? ?cos? , sin? ?,OP2 ? ?2 ? sin ? , 2 ? cos ? ? ,则向量 P P2 长度
? ? ? ?

的最大值是( ) A. 2 B. 3

C. 3 2

D. 2 3


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