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椭圆的简单几何性质教学设计

时间:2011-12-30


<<椭圆的几何性质>>教学设计 <<椭圆的几何性质>>教学设计 椭圆的几何性质>>
山西省运城中学 赵彦明

一、教学分析: 教学分析: 教学分析
(一)教学内容分析 教学内容分析 内容 椭圆是生活中常见的曲线,是学生学习第二章所接触到的第一个重要的圆锥 曲线,研究它的几何性质,对于后续学习圆锥曲线有着重要的指导作用,也为研 究双曲线和抛物线奠定了基础。 (二)教学对象分析 教学对象分析 本节课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上,根据方程研究曲线 的性质。按照学生的认知特点,改变了教材中原有安排顺序,引导学生从观察课 前预习所作的图形入手,从分析对称开始,循序渐进进行探究。 (三)教学环境分析 教学环境分析 因为本节内容比较抽象,再者学校条件的有限所以利用电脑模拟动点运动, 增强直观性,激励学生的学习动机,培养学生的观察能力、 数学想像能力和抽象思 维能力。

二、教学目标 教学目标
(一)知识与技能 掌握椭圆的简单的几何性质,学会由已知椭圆的标准方程求椭圆的几何性质 的一般方法与步骤。 (二)过程与方法 二 通过实际活动培养学生发现、观察、归纳的能力;培养分析、抽象、概括的 能力,加强数形结合等数学能力的培养;经历几何问题代数化的过程,感受解析 几何研究问题的思路和方法。 (三)情感与态度 通过有关椭圆几何性质的实际应用的介绍,激发学生研究椭圆的几何性质的积 极性。

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三、教学重难点及教具 教学重难点及教具 重难点
(一)教学重点 教学重点:由标准方程分析出椭圆的几何性质 重点 (二)教学难点:椭圆离心率几何意义的理解 教学难点 ,投影仪,幻灯片,学生每人一个 (三)教学用具:电脑,课件(媒体资料) 教学用具: 用具 椭圆形纸板(同桌相同) ,直尺

四、教学方法过程及整合点 教学方法过程及整合点 方法
(一)教学方法:讲授法、启发法、讨论法、情境教学法、小组合作交流 教学方法: 方法 (二)教学过程: 教学过程: 过程 1.创设情境,欣赏倾听 创设情境, 这节课我们继续研究有关椭圆的相关知识,在进入本节课的知识之前,我

们先看一段视频短片: (整合点:播放中央电视台新闻中关于国家大剧院外部景观介绍的视频短片) 整合点:播放中央电视台新闻中关于国家大剧院外部景观介绍的视频短片) ﹝设计意图:提高学生的学习兴趣﹞ 设计意图:提高学生的学习兴趣﹞ 提出问题: 提出问题:为什么国家大剧院最终会选择了椭球形设计呢? ﹝设计意图:激发学生的求知欲,引入课题﹞ 设计意图:激发学生的求知欲,引入课题﹞ 教师指出其根本原因是椭球形非常美观,这源于椭圆的美!那么椭圆到底美在何 处?它又具有哪些特性?让我们一起来研究一下——椭圆的几何性质,以方程 x2 y2 + = 1(a > b > 0) 为研究对象。 a2 b2 (板书 板书)12.1.2 椭圆的几何性质 板书 2.探究问题,观察发现 探究问题, 从哪几方面研究研究椭圆的几何性质呢?学生纷纷讨论之后老师确定从椭圆的

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对称性、顶点、范围、离心率来探究。 探究一: 探究一:椭圆的对称性 问题 1:你能找到椭圆纸板的中心吗? ﹝设计意图:让学生直观感知,操作确认,更深入认识椭圆的对称性﹞ 设计意图:让学生直观感知,操作确认,更深入认识椭圆的对称性﹞ 直观感知,操作确认,更深入认识椭圆的对称性 学生活动: 学生活动:用手中的纸板折纸——把椭圆纸板折叠,使两部分完全重合,两条折 痕的交点,即为椭圆纸板的中心,两条折痕为对称轴。实物演示部分可以由学生 同桌两两一组共同完成(整合点:学生通过实物投影仪展示活动成果,教师通过 (整合点:学生通过实物投影仪展示活动成果,教师通过 通过实物投影仪展示活动成果 几何画板演示 “椭圆的对称性.gsp” 椭圆的对称性.gsp” .gsp ) 得出结论:椭圆具有对称性。 ①两条折痕为对称轴——椭圆是轴对称图形,它关于 x 轴和 y 轴对称; ②实物演示:椭圆绕中心旋转 180 o 后与原椭圆重合——椭圆也是中心对称图形, 这时坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆 椭圆 的中心。 的中心 问题 2:从方程看如何判断椭圆的对称性? 设计意图: ﹝ 设计意图 : 经历几何问题代数化的过程,感受解析几何研究问题的思路和方 法。﹞ 法。﹞ 学生讨论:设 P(x,y),则 P 点关于 x 轴、y 轴和坐标原点的对称点分别 是(x,-y)、(-x,y)、(-x,-y)若曲线关于 x 轴对称,则 P 点关于 x 轴对 称点也在曲线上,即(x,-y)满足方程。同理可以推出另外两种情况。 问题 3 :通过上面研究同学们归纳出方程要满足什么条件曲线才具有这些对称 性? ﹝设计意图: 为培养学生观察、分析、归纳问题的能力。为进一步的学习打下良好 设计意图: 为培养学生观察、分析、归纳问题的能力。为进一步的学习打下良好 的基础。﹞ 的基础。﹞

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学生讨论得出:以-x 代 x,方程不变,则曲线关于 y 轴对称;以-y 代 y,方 程不变,则曲线关于 x 轴对称;同时以-x 代 x、以-y 代 y,方程不变,则曲线 关于原点对称。 (板书)椭圆的对称性:椭圆关于 x 轴,y 轴和原点对称。 板书) 探究二: 探究二:椭圆的顶点 问题 4: 椭圆与它的对称轴有交点吗?若有,那么椭圆与它的对称轴有几个交 点?你能求出交点的坐标吗? 学生易得: 学生易得:椭圆与对称轴有交点,有四个交点。 易得 问题 5:从方程看如何求出椭圆的顶点? ﹝设计意图:体验用代数的方法研究几何问题过程﹞ 设计意图:体验用代数的方法研究几何问题过程﹞ 令 x=0 则有 y=b 或 y=-b;同理可得 x=a 或 x=-a
2 2 教 师 指 出 : 其 实 , 我 们 把 椭 圆 x 2 + y 2 = 1(a > b > 0) 与 坐 标 轴 的 交 点

a

b

A1 (?a,0), A2 (a,0), B1 (0,?b), B2 (0, b) 就叫做椭圆的顶点。
其中线段 A1A2、B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴。显然长轴长|A1A2|=2a,短轴长 |B1B2|=2b,a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长 短半轴长 长半轴长和短半轴长 长半轴长 短半轴长,此时长轴在 x 轴上。 椭圆的顶点 ) 顶点” (整合点:教师通过 ppt 演示 “椭圆的顶点” 整合点:教师通过 (板书)椭圆的顶点: A1 (? a,0), A2 (a,0), B1 (0,?b), B2 (0, b) 。 板书) 探究三 椭圆的范围 探究三:椭圆的范围 问题 6:请同学们拿起手中的作业纸,思考如果在一张矩形纸上作椭圆,要求所 作椭圆尽可能最大,应如何做? ﹝设计意图: 让学生通过动手操作更深入认识椭圆的范围﹞ 设计意图: 让学生通过动手操作更深入认识椭圆的范围﹞ 学生活动: 学生活动:分小组讨论,并动手解决本问题,尽量使回答准确、精练。 得出结论:椭圆是有范围的。 教师引导学生动手动脑,将具体实例抽象成数学图形,数学问题,在平面直角坐 标系内来研究:如下图,﹝设计意图:利用“椭圆的顶点.ppt”课件展示,使学生直观 ﹝设计意图:利用“椭圆的顶点.ppt”课件展示,
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感性认识椭圆范围所在区域﹞

学生得出:椭圆位于直线 x = ± a, y = ±b 所围成的矩形内。 : 问题 7:如何从数的角度(也就是方程)来验证我们刚才从直观(也就是形)得 来的结论呢? ﹝设计意图:体验用代数的方法研究几何问题过程,体会数形结合的思想﹞ 设计意图:体验用代数的方法研究几何问题过程,体会数形结合的思想﹞ (整合点:用多种方法探究,汇报研究成果并用实物投影展示或到黑板板书。) 整合点:用多种方法探究,汇报研究成果并用实物投影展示或到黑板板书。 学生可能有如下方法:

方法 1:由 且 ,则有

利用两个实数的平方和为 1,结合不等式知识得 。那么它的范围就是直线

所围成的区域。

方法 2:从

中解出

,利用

可得 y 的取值范

围,同样可得 x 的取值范围。

方法 3:把



分别看作是一个函数,

只需求 范围。

的定义域、值域即可,然后利用对称性可得

(板书)教师指出椭圆的范围:-a≤x≤a, 板书) -

-b ≤ y ≤ b

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探究四 椭圆的离心率 探究四:椭圆的离心率 椭圆的简单的几何性质中,比较抽象的难于理解的就是椭圆的离心率问题。为 了能将抽象的问题形象化,利于学生的理解与接受,设计如下的课堂活动,让全 体学生参与到课堂中来,在自己的探究中获得学习的乐趣,学习的快乐,并且可 以使不同程度的学生都有所收获。 问题 8:请同学们举起手中的椭圆,大家观察它们的形状有何不同?圆的形状 都是相同的,而椭圆却有些比较“扁”,有些比较“圆”,用什么样的量来刻画 椭圆“扁”的程度呢? ﹝设计意图:在同学们参与到课堂活动中的时候,在自己举起自己手的椭圆的时 设计意图: 候希望得到大家的关注想与大家交流,同时,在其他同学们举起手中的椭圆的时 候,他们也会更加去关注其他同学手中的椭圆的形状,进而与自己手中的椭圆进 候,他们也会更加去关注其他同学手中的椭圆的形状,进而与自己手中的椭圆进 行比较。在比较的过程中就会发现椭圆形状的变化,引起思考。﹞ 有的同学手中的椭圆形纸板扁长,有的同学手中的椭圆形纸板稍圆,有的同学 手中的椭圆更接近于圆形。 本过程中,由具体的同学们的手中的椭圆形状的变化到抽象的平面直角坐 标系中椭圆形状的变化的过程中,几何画板的强大功能会发挥巨大的作用。在几 何画板中展示椭圆的形状变化的同时, 还可以让学生观察到椭圆中 a,b,c 三个参 量的变化,进而对椭圆的离心率充分了解。观看课件演示,加深对离心率问题的 直观认识。 (整合点:展示“椭圆的离心率.gsp”几何画板,取椭圆的长轴长不变,拖 整合点:展示“椭圆的离心率.gsp”几何画板,取椭圆的长轴长不变, 离心率.gsp 动两焦点改变它们之间的距离,再画椭圆,由学生观察出椭圆形状的变化。 动两焦点改变它们之间的距离,再画椭圆,由学生观察出椭圆形状的变化。) 教师指出:在刚才的演示中,我们发现在椭圆长轴长不变的前提下,两个焦点离 开中心的程度不一样,可以用离心率来描述

1) 概念:椭圆焦距与长轴长之比。

2) 定义式:

问题 9:那么离心率与椭圆的扁圆程度有什么关系呢? ﹝设计意图:学生通过观察动画更容易找出椭圆图形随 e 的变化而变化的规 设计意图: 律,他到突破难点的效果﹞ 律,他到突破难点的效果﹞
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再一次演示几何画板。学生发现 不变时,c 变大,即离心率变大时,椭圆 越扁;c 变小即离心率变小时,椭圆越圆。

从式子

上看: 时的特例。

,椭圆变圆,直至成为极限位置圆,此时

也可认为圆为椭圆在

椭圆变扁,直至成为极限位置线段 在 时的特例。

,此时也可认为线段为椭圆

(板书)椭圆的离心率: 板书 3.反思构建,性质应用 反思构建, 反思构建



2 2 1)求椭圆 9x +25y =225 的长轴和短轴的长,离心率、交点和顶点的坐标。

2

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2)下列各组椭圆中,哪一个更接近于圆?

x2 y2 (1)4x + 9y = 36 与 + =1 25 20 x2 y2 2 2 (2)9x + 4y = 36 与 + =1 12 16
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3)请你动手用尺子测量一下你手中的椭圆的长轴长和短轴长,写出该椭圆的标 准方程。 由于每个同学手里的椭圆长轴与短轴长度不一样, 因此在这个过程中学生都热情 非常高的参与到这个测量的活动中来,进而写出其手中的椭圆的标准方程。 本过程两个方面考察学生对于椭圆及其几何性质的掌握,应用 2)更是突出了 对学生的实际动手能力和观察能力的培养。 4.课堂小结,竞争合作 课堂小结, 请你谈谈通过这节课的学习,你学习到了什么?并且请各组成员互相评价。 5.首尾呼应, 解决问题 首尾呼应, 我们对于椭圆的几何性质的探索由来已久,现在椭圆的几何性质也正在被广 泛的应用于各种设计中,国家大剧院是其中最典型的代表之一。当然,国家大剧

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院之所以会选择了椭球形的设计,还有其他方面的考虑,例如很多科技方面的因 素,感兴趣的同学可以自己课下查找一些资料,对这个问题全面了解。 6.课后作业,巩固提高 课后作业, 1)求出你的椭圆的焦点、顶点的坐标,离心率,并通过测量将焦点坐标标在 你的椭圆上; 2)完成焦点在 y 轴上的椭圆的几何性质的研究。 探究活动:课后查阅资料尝试找到椭圆的几何性质在现实生活中的其他应用。 探究活动

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