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名思教育专题考案(2)数列板块

时间:2015-05-27


名思教育专题考案(2)数列板块
题型示例 某厂试制新产品,为生产此项产品需增加某些设备,购置这些设备需一次付款 25 万元,若租 用这些设备每年初需付租金 3.3 万元,若一年期存款的年利率为 9.8%,试讨论哪种方案的收益更 大(设备寿命为 10 年). 解 从 10 年后的价值考虑,购置设备的 25 万元,10 年后的价值为:M1=25(1+9.8%)10≈ 63.674(万元),每年初付租金 3.3 万元的 10 年后的总价值为: M2=3.3 × (1+9.8 % )10+3.3 × (1+9.8 % )9+ … +3.3 × (1+9.8 % )=3.3 × 1.098 ×

1.09810 ? 1 ≈ 1.098

57.197(万元). 即租用设备方案的收益更大. 点评 优化方案的问题,即为获得利润最大的方式. 一、选择题(8×3′=24′) 1.农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2003 年某地区农民人均收入 3 150 元(其中工资 性收入为 1800 元,其他收入为 1350 元),预计该地区自 2004 年起的 5 年内,农民的工资性收 入将以每年 6%的年增长率增长,其他收入每年增加 160 元,根据以上数据,2008 年该地区农 民人均收入介于 ( ) A.4200 元~4400 元 B.4400 元~4600 元 C.4600 元~4800 元 D.4800 元~5000 元 2.已知数列 1,1,2,…它的每一项由一个等比数列和一个首项为 0 的等差数列对应项相加而得, 那么这个数列的前 10 项和为 ( ) A.467 B.557 C.978 D.1068 3.凸多边形各内角度数成等差数列,最小角为 120°,公差为 5°,则边数 n 等于 ( ) A.16 B.9 C.16 或 9 D.12 4.首项是 2,公比是 3 的等比数列,从第 n 项到第 N 项的和为 720,则 n,N 的值分别是( A.n=2,N=6 B.n=2,N>6 C.n=3,N=6 D.n=3,N>6 5.已知等差数列{an}的各项均为正数,公差 d≠0,设 P=

)

a 3 ? a9 , Q ? a5 ? a7 ,则 P 与 Q 的 2

大小关系是 ( ) A.P>Q B.P<Q C.P=Q D.无法确定 6.一个机器猫每秒前进或后退一步,程序设计人员让机器猫以每前进 3 步,然后再后退 2 步的规 律移动;如果将此机器猫放在数轴的原点上,面向正的方向,以 1 步的距离为 1 个单位长,令 P(n) 表 示 第 n s 时 机 器 猫 所 在 的 位 置 的 坐 标 , 且 P(0)=0, 那 么 下 列 结 论 中 错 误 的 是 ( ) A.P(3)=3 B.P(5)=1 C.P(101)=21 D.P(103)<P(104) 7.已知{an}是首项为 50,公差为 2 的等差数列,{bn}是首项为 10,公差为 4 的等差数列.设 以 ak,bk 为相邻两边的矩形内最大圆的面积为 Sk,若 k≤21,那么 Sk 等于 ( ) 2 2 2 2 A.π (2k+1) B.π (k+12) C.π (2k+3) D.π (k+24) 8.一个正数组成的等比数列前 7 项之和是 2,其后 14 项之和是 12,则再后面 21 项之和 是 ( ) A.110 B.108 C.104 D.112

二、填空题(4×4′=16′) 9.若 A、B、C 成等差数列,则直线 Ax+By+C=0,必过点 . 10.已知 f(x)为一次函数,若 f(3)=15,且 f(2)、f(5)、f(14)成等比数列,则 f(1)+f(2)+… +f(n)= . 11.大楼共 n 层(n 为奇数),现每层指定一人,共 n 人集中到第 k 层开会,要使 n 位参会 人员上、下楼梯所走路程总和最短(假定相邻两层楼梯长相等,为 a),则 k= . 2 12.有一堆物品,某层放 n 个,而它的上一层比它少放(2n-1)个(n≥2),已知这堆物品底层放 100 个,顶层放 16 个,这堆物品共有 个. 三、解答题(3×12′=36′) 13.如图,△OBC 的三个顶点坐标分别为(0,0)、(1,0)、(0,2), 设 P1 为线段 BC 的中点,P2 为线段 CO 的中点,P3 为线段 OP1 的 中点,对于每一个正整数 n,Pn+3 为线段 PnPn+1 的中点,令 Pn 的坐 标为(xn,yn),an=

1 yn+yn+1+yn+2. 2
图1

(1)求 a1,a2,a3 及 an; (2)证明 yn+4=1-

yn ,n∈N*; 4

(3)若记 bn=y4n+4-y4n,n∈N*,证明{bn}是等比数列. 14.某企业 2003 年的纯利润为 500 万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降.若不 进行技术改造,预测从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元.今年初该企业一次性投入资 金 600 万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资金的情况下,第 n 年(今 1 年为第一年)的利润为 500(1+ n )万元(n 为正整数). 2 (1)设从今年起的前 n 年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 An 万元,进行技术改造 后的累计纯利润为 Bn 万元(须扣除技术改造资金),求 An,Bn 的表达式; (2)依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过不进行 技术改造的累计纯利润? 15.△ABC 中,内角 A、B、C 成等比数列,且 b2-a2=ac,求 A、B、C. 四、思考与讨论(2×12′=24′) 16.设 a>0,a≠1,f(x)=loga(x+ x 2 ? 1 )(x≥1). (1)求 f(x)的反函数 f-1(x)及其定义域; (2)设 bn=f-1(n),Sn=b1+b2+…+bn,试求证当|log2a|<1 时,对于 n∈N*,有 Sn<2n-(

2 n ). 2

17.试判断,能否构造一个实数等比数列{an},使其满足下列三个条件:①a1+a6=11;②a3·a4= ③至少存在一个自然数 m,使 公式;若不能,请说明理由.

32 ; 9

2 4 am-1,a 2 依次成等差数列.若能, 请写出这个数列的通项 m ,am+1+ 3 9


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