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2015-2016年高中数学 1.2子集、全集、补集学案 苏教版必修1

时间:2015-12-01


2015-2016 年高中数学 1.2 子集、全集、补集学案 苏教版必修 1

1.如果集合 A 中的每一个元素都是集合 B 中的元素,那么集合 A 叫做集合 B 的子集, 记作 A? B 或 B? A. 例如:A={0,1,2},B={0,1,2,3},则 A、B 的关系是 A? B(或 B? A). 2.如果 A? B,并且 A≠B,那么集合 A 叫做集合 B 的真子集,记作 A ? B 或 B ? A. 例如:A={1,2}, B={1,2,3},则 A、B 的关系是 A ? B(或 B ? A). 3.若 A? B 且 B? A,则称集合 A 与集合 B 相等,记作 A=B. 例如:若 A={0,1,2},B={x,1,2},且 A=B,则 x=0. 4.没有任何元素的集合叫空集,记为?. 2 例如:方程 x +2x+3=0 的实数解的集合为?. 5.若 A 是全集 U 的子集,由 U 中不属于 A 的元素构成的集合,叫做 A 在 U 中的补集, 记作?UA,即?UA={x|x∈U,且 x?A}. 例 1:若 U={1,2,3,4,5},A={2,4,5},则?UA={1,3}. 例 2:若 U={x|x>0},A={x|0<x≤3},则?UA={x|x>3}.,

一、对子集概念的理解 理解子集的概念,应注意以下几点: (1)“A 是 B 的子集”的含义是:集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素. (2)当 A 不是 B 的子集时,一般记作“A? B” . (3)任何一个集合都是它本身的子集. (4)规定空集是任意一个集合的子集,即??A.当然空集是任意一个非空集合的真子集. (5)在子集的定义中,不能理解为子集 A 是集合 B 中的部分元素所组成的集合,要注意 空集对概念的影响;子集和真子集均有传递性. 二、对补集概念的理解 (1)要正确应用数学的三种语言表示补集:①普通语言:设 S 是一个集合,A 是 S 的一 个子集,由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合叫做 S 中子集 A 的补集;②符号语言:?SA

={x|x∈S,且 x?A};③图形语言: (2)理解补集概念时, 应注意补集?SA 是对给定的集合 A 和 S(A? S)相对而言的一个概念, 一个确定的集合 A,对于不同的集合 S,补集不同.如:集合 A={正方形},当 S={菱形} 时,?SA={内角不等于 90°的菱形};当 S={矩形}时,?SA={邻边不相等的矩形}. (3)补集的几个特殊性质:A∪?SA=S,?SS=?,?S?=S,?S(?SA)=A. 三、重要结论 (1)空集是任何集合的子集. (2)空集是任何非空集合的真子集.
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(3)任何一个集合都是它自身的子集. (4)若 A? B,B? C,则 A? C. (5)若 A ? B,B ? C,则 A ? C. (6)若 A ? B,B? C,则 A ? C. (7)若 A? B,且 B? A,则 A=B.

基 础 巩 固 1.已知集合 A={x|-1<x<2},B={x|-1<x<1},则(B) A.A ? B B.B ? A C.A=B D.A∩B=? 解析:直接判断集合间的关系. ∵A={x|-1<x<2},B={x|-1<x<1},∴B ? A. 2 2.(2014?浙江卷)设全集 U={x∈N|x≥2},集合 A={x∈N|x ≥5},则?UA=(B) A.? B.{2} C.{5} D.{2,5} 解析:先求集合 A,再求?UA. 因为 A={x∈N|x≤- 5或 x≥ 5}, 所以?UA={x∈N|2≤x< 5},故?UA={2}. 2 3.已知集合 U=R,集合 M={x|x -4≤0},则?UM=(C) A.{x|-2<x<2} B.{x|-2≤x≤2} C.{x|x<-2 或 x>2} D.{x|x≤-2 或 x≥2} 2 解析:∵M={x|x -4≤0}={x|-2≤x≤2}, ∴?UM={x|x<-2 或 x>2}. 4.设集合 A={x||x-a|<1,x∈R},B={x||x-b|>2,x∈R},若 A? B,则实数 a、b 必满足(D) A.|a+b|≤3 B.|a+b|≥3 C.|a-b|≤3 D.|a-b|≥3 解析:A={x|a-1<x<a+1},B={x|x<b-2 或 x>b+2},∵A? B,∴a+1≤b-2 或 a -1≥b+2,即 a-b≤-3 或 a-b≥3,即|a-b|≥3. 5.下列命题正确的序号为④. ①空集无子集; ②任何一个集合至少有两个子集; ③空集是任何集合的真子集; ④?U(?UA)=A. 解析:空集?只有它本身一个子集,它没有真子集,而一个集合的补集的补集是它本身. 2 6.若全集 U={x∈R|x ≤4},A={x∈R||x+1|≤1},则?UA=________. 解析:U={x|-2≤x≤2},A={x|-2≤x≤0}, ∴?UA={x|0<x≤2}. 答案:{x|0<x≤2} 7.集合 A={x|-3<x≤5},B={x|a+1≤x<4a+1},若 B ? A,则实数 a 的取值范围是 ________. 解析:分 B=?和 B≠?两种情况. 答案:{a|a≤1} 2 8.已知集合 A={x|ax -5x+6=0},若 A 中元素至少有一个,则 a 的取值范围是 ________.

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?6? 解析:若 a=0,则 A=? ?符合要求; ?5? 25 若 a≠0,则Δ =25-24a≥0? a≤ . 24 ? ? 25? 答案:?a?a≤ ? 24? ? ?

能 力 提 升 9.已知集合 A={x|x -3x+2=0},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件 A? C? B 的集合 C 的个数为(D) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析:∵A={1,2},B={1,2,3,4,},∴C 中必须含有 1,2,即求{3,4}的子集的 2 个数,即 2 =4 个. 2 10.已知集合 P={x|x =1},集合 Q={x|ax=1},若 Q? P,那么 a 的值是(D) A.1 B.-1 C.1 或-1 D.0,1 或-1 解析:P={-1,1},Q? P,则有 Q=?或 Q={-1}或 Q={1}三种情况. 2 11.设 U={0,1,2,3},A={x∈U|x +mx=0}.若?UA={1,2},则实数 m=-3. 解析:∵?UA={1,2},∴A={0,3},故 m=-3. 12.已知:A={1,2,3},B={1,2},定义某种运算:A*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2 ∈B},则 A*B 中最大的元素是________,集合 A*B 的所有子集的个数为________. 4 解析:A*B={2,3,4,5},故最大元素为 5,其子集个数为 2 =16 个. 答案:5 16 个 2 13.设 A={1,3,a},B={1,a -a+1},若 B ? A,则 a 的值为________. 答案:-1 或 2
2 2 14.含有三个实数的集合可表示为?a, ,1?,也可表示为{a ,a+b,0}.求 a+a + 2

? ?

b a

? ?

a +?+a

+a 的值. 解析:由题可知 a≠0,b=0, 2 即{a,0,1}={a ,a,0}, 2 所以 a =1? a=±1, 当 a=1 时,集合为{1,1,0},不合题意,应舍去; 当 a=-1 时,集合为{-1,0,1},符合题意. 故 a=-1, 2 3 2 011 2 012 ∴a+a +a +?+a +a =0. ? ? ? 1 ? n 1 15.已知集合 M=?x?x=m+ ,m∈Z?,N={x?x= - , 6 ? 2 3 ? ? ? ? ? ? p 1 n∈Z},P=?x?x= + ,p∈Z?,试探求集合 M、N、P 之间的关系. 2 6 ? ? ? 1 1 n 1 1 1 p 1 1 解析:m+ = (6m+1), - = (3n-2)= [3(n-1)+1], + = (3p+1),N=P. 6 6 2 3 6 6 2 6 6 而 6m+1=3?2m+1,∴M ? N=P. 16.已知集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若 B? A,求实数 m 的取值 范围. 解析:①若 B=?,则应有 m+1>2m-1,即 m<2. m+1≤2m-1, ②若 B≠?,则 m+1≥-2, ? 2≤m≤3. 2m-1≤5 综上即得 m 的取值范围是{m|m≤3}. 2 17.已知集合 A={x|x -2x-3=0},B={x|ax-1=0},若 B ? A,求 a 的值.
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2 011

2 012

? ? ?

解析:A={x|x -2x-3=0}={-1,3}, 若 a=0,则 B=?,满足 B ? A. ?1? 1 1 1 若 a≠0,则 B=? ?.由 B ? A,可知 =-1 或 =3,即 a=-1 或 a= . a a a 3 ? ? 1 综上可知:a 的值为 0,-1, . 3 2 2 2 18.设集合 A={x|x +4x=0},B={x|x +2(a+1)x+a -1=0},若 B? A,求实数 a 的取值范围. 解析:因为 A={-4,0},所以分两类来解决问题: (1)当 A=B 时,得 B={-4,0}. 2 2 由此可得 0 和-4 是方程 x +2(a+1)x+a -1=0 的两个根, 2 ? ?a -1=0, ? 故 解得 a=1. ?-2(a+1)=-4. ? (2)当 B ? A 时,则又可以分为: ①若 B≠?时,则 B={0}或 B={-4}, 2 2 Δ =4(a+1) -4(a -1)=0,得 a=-1; ②若 B=?时,Δ <0,解得 a<-1. 综上所述,实数 a 的取值范围是 {a|a≤-1 或 a=1}.

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