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高一数学必修4同步练习:3-1-3二倍角的正弦、余弦、正切公式

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3-1-3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 一、选择题 1 1.2-sin215° 的值是( 6 A. 4 3 C. 2 [答案] D ? 1 1-cos?2×15° cos30° 3 [解析] 原式=2- = 2 =4. 2
?π ? 12 2.若 sinα=13,α∈?2,π?,则 tan2α 的值为( ? ?

) B. 6- 2 4

3 D. 4

)

60 A.119 60 C.-119 [答案] B

120 B.119 120 D.-119

?π ? 12 [解析] ∵sinα=13,α∈?2,π?, ? ?

5 ∴cosα=-13. 12 ∴tanα=- 5 . 2tanα 120 ∴tan2α= . 2 = 1-tan α 119 π 3.若 x=12,则 cos2x-sin2x 的值等于( 1 A.4 1 B.2 )

2 C. 2 [答案] D

3 D. 2

π [解析] 当 x=12时,cos2x-sin2x=cos2x π π 3 =cos(2×12)=cos6= 2 . 4 4.已知 sinθ=5,sinθcosθ<0,则 sin2θ 的值为( 24 A.-25 4 C.-5 [答案] A 4 [解析] ∵sinθ=5>0,sinθcosθ<0, ∴cosθ<0. 3 ∴cosθ=- 1-sin2θ=-5. 24 ∴sin2θ=2sinθcosθ=-25.
?π ? 3 5.已知 sin?4-x?=5,则 sin2x 的值为( ? ?

)

12 B.-25 24 D.25

)

7 A.25 14 C.25 [答案] A

16 B.25 19 D.25

?π ? ?π ? [解析] sin2x=cos?2-2x?=cos2?4-x? ? ? ? ? ?π ? 9 7 =1-2sin2?4-x?=1-2×25=25. ? ?

1? ? 2 6.已知向量 a=?cosθ,2?的模为 2 ,则 cos2θ 等于( ? ? 3 A. 2-2 1 C.-2 [答案] C [解析] |a|= 1 2 1 cos2θ+4= 2 ,则 cos2θ=4, 1 B.-4 1 D.2

)

1 所以 cos2θ=2cos2θ-1=-2. 2 7.已知等腰三角形底角的余弦值为3,则顶角的正弦值是( 4 5 A. 9 4 5 C.- 9 [答案] A [解析] 令底角为 α,则顶角 β=π-2α, 2 5 ∵cosα=3,∴sinα= 3 , ∴sinβ=sin(π-2α)=sin2α 5 2 4 5 =2sinαcosα=2× 3 ×3= 9 .
?π ? 1 ?2π ? 8.若 sin?6-α?=3,则 cos? 3 +2α?的值是( ? ? ? ?

)

2 5 B. 9 2 5 D.- 9

)

7 A.-9 1 C.3 [答案] A

1 B.-3 7 D.9

?π ?π ?? ?π ? [解析] ∵sin?6-α?=cos?2-?6-α?? ? ?? ? ? ? ?π ? 1 =cos?3+α?=3, ? ? ? ?2π ? ?π ? ∴cos? 3 +2α?=2cos2?3+α?-1 ? ? ? ?1? 7 =2×?3?2-1=-9. ? ?

π 9.(2009· 广东高考)函数 y=2cos2(x-4)-1 是( A.最小正周期为 π 的奇函数 π B.最小正周期为2的奇函数 C.最小正周期为 π 的偶函数 π D.最小正周期为2的偶函数 [答案] A [解析] =π. 3-sin70° 10.(2011 宁夏、海南高考) =( 2-cos210° 1 A.2 C.2 [答案] C [解析] 2 B. 2 3 D. 2 )

)

π π 2π y=2cos2(x-4)-1=cos(2x-2)=sin2x 为奇函数 T= 2

3-sin70° 3-sin70° 6-2sin70° = = =2. 2 2-cos 10° 1+cos20° 3-sin70° 2- 2

二、填空题

11. =________. 2π 1-tan 8 3 [答案] 2 3 3 π [解析] 原式=2× =2tan(2×8) π 1-tan28 3 π 3 =2tan4=2. 5 12.在△ABC 中,cosA=13,则 sin2A=________. 120 [答案] 169 12 [解析] ∵0<A<π,∴sinA= 1-cos2A=13. 120 ∴sin2A=2sinAcosA=169. 2 13.设 cos2θ= 3 ,则 cos4θ+sin4θ 的值是________. 11 [答案] 18 [解析] cos4θ+sin4θ=(cos2θ+sin2θ)2-2cos2θsin2θ 1 1 =1-2sin22θ=1-2(1-cos22θ) 1 1 1 1 ? 2? 11 =2+2cos22θ=2+2×? ?2=18. ? 3? 14.2002 年北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数 学家赵爽的弦图为基础设计的. 弦图是由四个全等直角三角形与一个 小正方形接成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为 1,大 π 2tan8

π 3tan8

正方形的面积为 25,直角三角形中较小的锐角为 θ,那么 cos2θ 的值 等于________.

7 [答案] 25
?1 ? [解析] 设直角三角形的两直角边长分别为 a,b,则有 4×?2ab? ? ?

+1=25, ∴ab=12. 又 a2+b2=25,即直角三角形的斜边 c=5.
? ?ab=12, 解方程组? 2 2 ?a +b =25, ? ?a=3, ?a=4, ? ? ? 得 或? ? ? ?b=4 ?b=3,

4 7 ∴cosθ=5.∴cos2θ=2cos2θ-1=25. 三、解答题 3π? ? 12 15.已知 cosα=-13,α∈?π, 2 ?,求 sin2α,cos2α,tan2α 的值.
? ?

3π? ? 12 [解析] ∵cosα=-13,α∈?π, 2 ?, ? ? ∴sinα=- 1-cos2α=-
? 12? 1-?-13?2 ? ?

5 =-13. ∴sin2α=2sinαcosα
? 5 ? ? 12? 120 =2×?-13?×?-13?=169, ? ? ? ? ? 5? 119 cos2α=1-2sin2α=1-2×?-13?2=169, ? ?

sin2α 120 tan2α=cos2α=119. π 2 π 3π 16.已知 cos(x-4)= 10 ,x∈(2, 4 ). (1)求 sinx 的值. π (2)求 sin(2x+3)的值. π 3π π π π [解析] (1)因为 x∈(2, 4 ),所以 x-4∈(4,2), π 于是 sin(x-4)= π 7 2 1-cos2?x-4?= 10 ,

π π 则 sinx=sin[(x-4)+4] π π π π =sin(x-4)cos4+cos(x-4)sin4 7 2 2 2 2 4 = 10 × 2 + 10 × 2 =5. π 3π (2)因为 x∈(2, 4 ), 故 cosx=- 1-sin2x=- 24 sin2x=2sinxcosx=-25, 7 π cos2x=2cos2x-1=-25,所以 sin(2x+3) 4 3 1-?5?2=-5,

24+7 3 π π =sin2xcos3+cos2xsin3=- 50 .
?π ? 5 π cos2x 17.已知 sin?4-x?=13,0<x<4,求 的值. ?π ? ? ? cos?4+x? ? ?

π? π? ? ? π [解析] ∵x∈?0,4?,∴4-x∈?0,4?.
? ? ? ? ?π ? 5 又∵sin?4-x?=13, ? ? ?π ? 12 ∴cos?4-x?=13. ? ? ?π ? 又 cos2x=sin?2-2x? ? ? ? ?π ? ?π ? =2sin?4-x?cos?4-x? ? ? ?

5 12 120 =2×13×13=169.
?π ?π ?? ?π ? cos?4+x?=sin?2-?4+x?? ? ? ? ? ?? ?π ? 5 =sin?4-x?=13, ? ?

120 169 24 cos2x ∴ = 5 =13. ?π ? cos?4+x? 13 ? ? π 18.设函数 f(x)=2cosxsin(x+3)- 3sin2x+sinxcosx,当 x∈[0, π 2]时,求 f(x)的最大值和最小值. [分析] 一般地, 对形如 y=Asin2x+Bcos2x+Csinxcosx 的函数利 用二倍角公式及其变形公式, 可将函数式化为 y=Asin2x+Bcos2x+C 的形式,进而可化为 y= A2+B2sin(2x+φ)+C 的形式,经过变形后

再研究函数性质,就比较容易了. [解析] 1 3 f(x) = 2cosx( 2 sinx + 2 cosx) - 3 sin2x + sinxcosx =

2sinxcosx+ 3(cos2x-sin2x) =sin2x+ 3cos2x π =2sin(2x+3). π π π 4π ∵x∈[0,2],∴2x+3∈[3, 3 ], 3 π ∴- 2 ≤sin(2x+3)≤1, 从而- 3≤f(x)≤2 π 故当 x∈[0,2]时,f(x)max=2,f(x)min=- 3.


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