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3.1 不等关系与不等式(2)

时间:2017-04-12


3.1 不等关系与不等式(第2课时)

-2-

问题 1:等式的性质有哪些?请大家用符号表示出来.
①对称性: a ? b ? b ? a ; ②传递性 a ? b, b ? c ? a ? c ; ③加法法则: a ? b ? a ? c ? b ? c ; ④乘法法则: a ? b, c ? 0 ? ac ? bc .

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问题 2:根据等式的这些性质,你能猜想不等式的类似性质吗? 请大家加以探究.
(1)如果 a ? b ,那么 b ? a ;如果 b ? a ,那么 a ? b .即 a ?b ?b?a. (2)如果 a ? b, b ? c ,那么 a ? c .即

a ? b, b ? c ? a ? c .
(3)如果 a ? b ,那么 a ? c ? b ? c . (4)如果 a ? b, c ? 0 ,那么 ac ? bc ;如果 a ? b, c ? 0 ,那么 ac ? bc .

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问题 3:上面得到的结论是否正确,需要我们给出证明.因为证明的不等式,是描述两个数之 间的大小关系,可以用什么方法比较呢? 可以用作差法比较

其原理是什么呢?

a ?b ? 0 ? a ? b; a ?b ? 0 ? a ? b; a ?b ? 0 ? a ? b.

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问题 4:请大家用作差法证明性质(4).
证明:因为 a ? b, c ? 0 , 所以 ac ? bc ? c(a ? b) ? 0 , 所以 ac ? bc . 同理可证如果 a ? b, c ? 0 ,那么 ac ? bc .

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问题 5:利用上面的性质,证明不等式的下列性质: (5)如果 a ? b, c ? d ,那么 a ? c ? b ? d ;
证明:(5)因为 a>b,
所以 a+c>b+c.① 因为 c ? d , 所以 b+c>b+d. ②

由①、②得,a+c>b+d.

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(6)如果 a ? b ? 0, c ? d ? 0 ,那么 ac ? bd ;

a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ? (6) ? ? ac ? bd ; c ? d , b ? 0 ? bc ? bd ?
(7)如果 a ? b ? 0 ,那么 a ? b , (n ? N , n ? 2) ;
n n

(7)因为 a ? b ? 0 ,由性质(6)可得 a ? b , (n ? N , n ? 2) ;
n n

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(8)如果 a ? b ? 0 ,那么 n a ? n b , (n ? N , n ? 2) ;
(反证法)假设 n a ? n b ,
n

则:若

a ? a ?

n n

b ?a?b b ?a?b

n

这都与 a ? b 矛盾,

∴n a ? n b .

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c c 例题 1.已知 a ? b ? 0, c ? 0 ,求证: ? . a b 1 a ? b ? 0 ab ? 0 , ? 0. 证明:因为 ,所以 ab 1 1 ? b? 于是 a ? ,即 ab ab 1 1 ? . a b
由 c ? 0 ,得

c c ? . a b

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问题 7:请大家思考还有其它证明方法吗? 请大家尝试一下.
c c bc ? ac c(b ? a ) ? 证明:因为 ? ? , a b ab ab
又因为 a ? b ? 0 ,所以 b ? a ? 0, ab ? 0 .

c(b ? a ) c c ? 0 ,所以 ? . 又 c ? 0 ,所以 ab a b 问题 8:用作差法比较两个数的大小,一般经历哪几个步骤?
作差—变形—定号—结论,四个步骤

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变式训练 1:下列结论的正误,正确的打“√” ,错误的打“×” (



1 1 ? . a b 1 1 ②若 a ? b ,则 ? . a b 1 1 ③若 ? ,则 a ? b . a b
①若 b ? a ? 0 ,则 ④若 a ? c ? b ? d ,则 a ? b, c ? d .
2 2 ⑤若 a ? b ? 0 ,则 a ? b ? 0 .

( ( ( ( ( (

) ) ) ) ) )

⑥若 a ? b ,则 a ? b .

答案:√、×、×、×、×、√

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变式训练 2:设 x<y<0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)· (x+y)的大小.
方法一 (x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y) =(x-y)[x2+y2-(x+y)2]=-2xy(x-y), ∵x<y<0,∴xy>0,x-y<0,∴-2xy(x-y)>0, ∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).

方法二 ∵x<y<0,∴x-y<0,x2>y2,x+y<0. ∴(x2+y2)(x-y)<0,(x2-y2)(x+y)<0, ?x2+y2??x-y? x2+y2 ∴0< 2 2 = 2 2 <1, ?x -y ??x+y? x +y +2xy ∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).

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π π β 变式训练 3:设 α∈?0,2?,β∈?0,2?,那么 2α- 的取值范围是( 3 ? ? ? ? 5π? ? A. 0, 6 ? ? C.(0,π) π 5π? ? B. -6, 6 ? ? π ? ? D. -6,π ? ?

)

β π 解析:由题设得 0<2α<π,0≤ ≤ , 3 6 π β π β ∴- ≤- ≤0,∴- <2α- <π. 6 3 6 3

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[反思小结,观点提炼]
本节课学习了不等式的性质, 并用不等式的性质证明了一些简单的不等式, 还研究了如何比较两个实数(代数式)的大小——作差法.


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