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2012高考数学第一轮复习数列的求和

时间:2011-07-13


1 1.等差数列?an ?中,a3 ? 8,a7 ? 20.若数列{ }的前n项 an an ?1 4 和为 ,则n的值为? C ? 25 A. 14 B. 15 C. 16

D. 18

  2.若等差数列?an ?的通项公式an ? 2n ? 1,则由 a1 ? a2 ? ... ? an bn ? 所确定的数列?bn ?的前n项和为 ? C ? n 1 1 1 1 A. n ? n ? 2 ? B. n ? n ? 4 ? C. n ? n ? 5 ? D. n ? n ? 7 ? 2 2 2 2

n?3 ? 2n ? 1? 解析:因为等差数列?an ?的前n项和为S n ? 2 ? n ? n ? 2 ?,所以bn ? n ? 2,所以数列?bn ?的前n项和为 n?3 ? n ? 2 ? 1 Tn ? ? n ? n ? 5 ?. 2 2

? 1 ? 3.设函数f ? x ? ? x ? ax的导函数f ? ? x ? ? 2x ? 1, ? 则 ? f ?n? ? ? 数列(n ? N* )的前n项和为 ? A ?
m

A.

n n ?1

B.

n?2 n ?1

C.

n n ?1

D.

n ?1 n

解析:因为函数f ? x ? ? x m ? ax的导函数f ? ? x ? ? 2x ? 1, 1 所以m ? 2,a ? 1,所以f ? n ? ? n ? n,所以 ? f ?n? 1 1 1 ? ? , n? n ? 1? n n ? 1
2

? 1 ? 1 n 所以数列 ? ? .  ?的前n项和为Sn ? 1 ? n ?1 n ?1 ? f ?n? ?

  4.在等比数列?an ?中,a1 ? 1,a10 ? 3. 若? ai ? ak ?ak ?1 ? ?an,则? ai ? 81   ? .
i ?k i ?2 n 9

解析:a2 a3a4 a5 a6 a7 a8 a9 ? ? a1a10 ? ? 34 ? 81.
4

? ? a2 a9 ?? a3a8 ?? a4 a7 ?? a5 a6 ?

  5.已知等差数列?an ?中,前n项的和为210,其中前4项的

14 . 和为40,后4项的和为80,则n的值为   
解析: a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 40,an ? an?1 ? an?2 ? an?3 ? 80, 由 得 ? a1 ? an ? ? ? a2 ? an?1 ? ? ? a3 ? an?2 ? ? ? a4 ? an?3 ? ? 120, n(a1 ? an ) 30n 所以a1 ? an ? 30.又Sn ? ? ? 210,所以n ? 14. 2 2

用公式求和

例1: (2010? 陕西卷)已知?an ? 是公差不为零的等差数列,

?1? 求数列?an ?的通项公式;2? 求数列?2 ?
2

a1 ? 1,且a1,a3,a9成等比数列.

an

?的前n项和S .
n

解析: ?由题意知,公差d ? 0.因为a1,a3,a9成等比数列, ?1 所以a ? a1a9,即 ?1 ? 2d ? ? ?1 ? 8d ? ? 1,解得d ? 1或d ? 0 (舍去).故an ? n. 2 ? 2 ?由?1? 知,an ? 2n.由等比数列的前n项和公式得Sn 2(1 ? 2n ) ? 2 ? 22 ??? 2n ? ? 2n ?1 ? 2. 1? 2

拓展练习 :等差数列?an ?中,a4 ? 10且a3,a6,a10成 1 等比数列,求数列?an ? 前20项的和S20 .

解析:设数列?an ?的公差为d,则a3 ? a4 ? d ? 10 ? d, a6 ? a4 ? 2d ? 10 ? 2d,a10 ? a4 ? 6d ? 10 ? 6d .
2 由a3,a6,a10成等比数列,得a3a10 ? a6,

即?10 ? d ??10 ? 6d ? ? ?10 ? 2d ? 当d ? 0时,S 20 ? 20a4 ? 200.

2

整理得10d 2 ? 10d ? 0,解得d ? 0或d ? 1. 当d ? 1时,a1 ? a4 ? 3d ? 10 ? 3 ? 1 ? 7, 20 ?19 于是S20 ? 20a1 ? d ? 20 ? 7 ? 190 ? 330. 2

错位相减法求和

1 例2:设各项为正数的等比数列?an ?的首项a1 ? , 2 前n项和为S n,且210 S30 ? ? 210 ? 1? S20 ? S10 ? 0.

?1? 求 ?an ?的通项公式;2 ? 求的前n项和Tn . ?

解析: ?由210 S30 ? ? 210 ? 1? S 20 ? S10 ? 0, ?1 得210 ? S30 ? S 20 ? ? S 20 ? S10 , 即210 (a21 ? a22 ??? a30 ) ? a11 ? a12 ??? a20, 可得210 ?q10 (a11 ? a12 ??? a20 ) ? a11 ? a12 ??? a20 . 1 因为an ? 0,所以210 q10 ? 1,解得q ? . 2 1 所以an ? a1q n ?1 ? n ,n ? 1, 2, ? 2 ? 2 ?因为?an ? 是首项、公比都为的等比数列, 1 1 (1 ? n ) 2 2 ? 1 ? 1 ,则nS ? n ? n . 故S n ? n 1 2n 2n 1? 2

1 2 n 故数列?nSn ?的前n项和Tn ? (1 ? 2 ??? n) ? ( ? 2 ??? n ), 2 2 2 Tn 1 1 2 n ?1 n 则 ? (1 ? 2 ?? ? n) ? ( 2 ? 3 ??? n ? n ?1 ). 2 2 2 2 2 2 前两式相减得 Tn 1 1 1 n ? (1 ? 2 ??? n) ? ( ? 2 ??? n ) ? n ?1 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) n(n ? 1) 2 2 ? n , ? ? 1 4 2n ?1 1? 2 n(n ? 1) 1 n 即Tn ? ? n ?1 ? n ? 2. 2 2 2

拓展练习2: (2010? 广州调研)设Sn为数列?a n ?的前n项和, 对任意的n ? N*,都有S n ? ? m ? 1? ? man (m为常数,且 m ? 0).

?1? 求证:数列?an ? 是等比数列; ? 2 ? 设数列?an ?的公比q ? f ? m ?,数列?bn ?

解析: ? 证明:当n ? 1时,a1 ? S1 ? ? m ? 1? ? ma1, ?1 解得a1 ? 1. 当n ? 2时,an ? Sn ? Sn ?1 ? man ?1 ? man, 即?1 ? m ? an ? man ?1. an m 因为m为常数,且m ? 0,所以 ? an ?1 1 ? m m 所以数列?an ? 是首项为1,公比为 的等比数列(n ? 2). 1? m

m ,b1 ? 2a1 ? 2. ? 2 ?由?1? 得,q ? f ? m ? ? 1? m bn ?1 1 1 因为bn ? f ? bn ?1 ? ? ,所以 ? ? 1, 1 ? bn ?1 bn bn ?1 即 1 1 ? ? 1(n ? 2), bn bn ?1

1 1 所以{ }是首项为 ,公差为1的等差数列, bn 2 1 1 2n ? 1 所以 ? ? ? n ? 1?? ? 1 , bn 2 2 即bn ? 2 (n ? N * ). 2n ? 1

2 2n ?1 ,则 ? 2n ? 2n ? 1?, ? 3?由? 2 ? 知,bn ? 2n ? 1 bn 2 2 23 2 4 2n 2n ?1 所以Tn ? ? ? ??? ? , b1 b2 b3 bn ?1 bn 即Tn ? 21 ?1 ? 22 ? 3 ? 23 ? 5 ??? 2n ?1 ? ? 2n ? 3? ? 2n ? ? 2n ? 1?, ① 则2Tn ? 22 ?1 ? 23 ? 3 ? 24 ? 5 ??? 2n ? ? 2n ? 3? ? 2 n ?1 ? ? 2n ? 1?,② ② ? ①得Tn ? 2n ?1 ? ? 2n ? 1? ? 2 ? 23 ? 24 ??? 2n ?1, 23 ?1 ? 2n ? 1? 故Tn ? 2 ? ? 2n ? 1? ? 2 ? 1? 2 ? 2n ?1 ? ? 2n ? 3? ? 6.
n ?1

裂项相消法求和

例3: 010? (2 广州一模)已知数列?an ? 满足对任意的n ? N *, 都有an ? 0,且a1 ? a2 ??? an ? (a1 ? a2 ??? an ) 2 .

?1? 求a1、a2的值; ? 2 ? 求数列?an ?的通项公式an;

1 1 }的前n项和为S n,不等式S n ? log a ?1- a ? ? 3? 设数列{ an a n ? 2 3 对任意的正整数n恒成立,求实数a的取值范围.

解析: ? 当n ? 1时,有a13 ? a12 . ?1 由于an ? 0,所以a1 ? 1. 当n ? 2时,有a ? a2 ? ? a1 ? a2 ? .
3 1 3 2

将a1 ? 1代入上式,由于an ? 0,所以a2 ? 2.

? 2 ?由于a13 ? a32 ??? an3 ? (a1 ? a2 ??? an )2,



2 3 3 则有a13 ? a3 ??? an ? an ?1 ? (a1 ? a2 ??? an ? an ?1 ) 2,② 3 ② ? ①,得an ?1 ? (a1 ? a2 ??? an ? an ?1 ) 2 ? (a1 ? a2 ??? an ) 2 . 3 由于an ? 0,所以an ?1 ? 2(a1 ? a2 ??? an ) ? an ?1.③

2 同样有an ? 2(a1 ? a2 ??? an ?1 ) ? an (n ? 2).④ 2 2 ③ ? ④,得an ?1 ? an ? an ?1 ? an ,所以an ?1 ? an ? 1.

由于a2 ? a1 ? 1,即当n ? 1时都有an ?1 ? an ? 1,

所以数列?an ? 是首项为1,公差为1的等差数列,故an ? n. 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), ? 3?由? 2 ? 知,an ? n,则 an an ? 2 n(n ? 2) 2 n n ? 2 1 1 1 1 1 所以Sn ? ? ? ?? ? ? a1a3 a2 a4 a3a5 an ?1an ?1 an an ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) 2 3 2 2 4 2 3 5 2 n ?1 n ?1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 ? ( ? ) ? (1 ? ? ? )? ? ( ? ). 2 n n?2 2 2 n ?1 n ? 2 4 2 n ?1 n ? 2

1 因为Sn ?1 ? Sn ? ? 0,所以数列?Sn ? 单调递增, (n ? 1)(n ? 3) 1 所以 ? Sn ?min ? S1 ? . 3 1 要使不等式Sn ? log a ?1 ? a ? 对任意正整数n恒成立, 3 1 1 只要 ? log a ?1 ? a ?.因为1 ? a ? 0,所以0 ? a ? 1, 3 3 1 1 所以1 ? a ? a,即0 ? a ? .所以,实数a的取值范围是(0, ). 2 2

1 反思小结:不等式Sn ? log a ?1 ? a ? 对任意正整数n恒 3 1 成立,等价于Sn的最小值都大于 log a ?1 ? a ?,本题实 3 质就是要求Sn的最小值,这时很自然就会想到要讨论 Sn的单调性.

1 拓展练习3:已知数列?an ?的前n项和为Sn,且满足a1 ? , 2 an ? 2Sn Sn ?1 ? 0(n ? 2). 1 ?1? 数列{ }是否为等差数列?并证明你的结论; Sn 1 1 ? 2 ? 求Sn和an;3? 求证:S ? S ? S ??? S ? ? . ? 2 4n
2 1 2 2 2 3 2 n

1 1 解析: ?由S1 ? a1 ? ,得 ? 2;当n ? 2时, ?1 2 S1 1 1 an ? Sn ? Sn ?1 ? ?2Sn Sn ?1,所以 ? ? 2, Sn Sn ?1 1 即{ }是以2为首项,公差为2的等差数列. Sn 1 1 ? 2 ?由?1? 得 ? 2 ? ? n ? 1??2 ? 2n,则Sn ? . Sn 2n 1 当n ? 2时,an ? ?2S n S n ?1 ? ? ; 2n? n ? 1? 1 当n ? 1时,a1 ? . 2

?1 (n ? 1) ?2 ? 所以an ? ? . 1 ?? (n ? 2, n ? N *) ? 2n(n ? 1) ? 1 1 1 3? 证明:当n ? 1时,S12 ? ? ? ,成立. ? 4 2 4 ?1 2 2 当n ? 2时,S12 ? S 2 ? S32 ??? S n 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? (1 ? 2 ? 2 ??? 2 ) 4 4 ? 22 4 ? 32 4 ? n2 4 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [1 ? ? ??? ] ? (1 ? 1 ? ) ? ? . 4 1? 2 2 ? 3 ( n ? 1)n 4 n 2 4n 1 1 2 2 所以S12 ? S 2 ? S32 ? ? ? S n ? ? . 2 4n ?

数列求和综合问题

1 2 3 例4:已知函数f ? x ? ? x ? x.数列?an ?的前n项和为S n, 2 2 点(n,Sn )(n ? N * )在函数y ? f ? x ?的图象上. an ?1? 令bn ? n?1 ,Tn是数列?bn ?的前n项和,求Tn; 2 a a 1 2 ? 令cn ? n ? n ?1 ,证明:n ? c1 ? c2 ??? cn ? 2n ? . 2 ? an ?1 an 2

解析: ? 因为点(n,S n )在函数y ? f ? x ?的图象上, ?1 1 2 3 1 2 3 所以S n ? n ? n.所以an ? S n ? S n ?1 ? ( n ? n) 2 2 2 2 1 3 2 ?[ ? n ? 1? ? ? n ? 1?] ? n ? 1( n ? 2,n ? N * ). 2 2 而a1 ? S1 ? 2适合上式, an n ?1 所以an ? n ? 1(n ? N ),所以bn ? n ?1 ? n ?1 , 2 2 3 4 n n ?1 所以Tn ? 2 ? ? 2 ??? n ? 2 ? n ?1 , 2 2 2 2
*

1 2 3 n n ?1 则 Tn ? ? 2 ??? n ?1 ? n .两式相减,得 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n ?1 Tn ? 2 ? ? 2 ??? n ?1 ? n 2 2 2 2 2 1 n 1? ( ) 2 ? n ? 1 ? 3 ? n ? 3 ,所以T ? 6 ? n ? 3 . ? 1? n 1 2n 2n 2n ?1 1? 2

an an ?1 n ? 1 n ? 2 ? ? ? ? 2 ? 证明:因为cn ? an ?1 an n ? 2 n ?1 n ?1 n ? 2 ? ? 2, n ? 2 n ?1 所以c1 ? c2 ??? cn ? 2n. ?2 又cn ? an an ?1 n ? 1 n ? 2 1 1 ? ? ? ? 2? ? , an ?1 an n ? 2 n ?1 n ?1 n ? 2

所以c1 ? c2 ??? cn 1 1 1 1 1 1 ? 2n ? [( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )] 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 1 1 1 ? 2n ? ? ? 2n ? . 2 n?2 2

反思小结:本题是数列与函数、不等式结合的综合题, 考查用错位相减法和裂项相消法求数列的和,以及用 放缩的方法证明不等式.第 ?1?问是先求出数列?an ?的通 项公式,再观察数列?bn ?的特征,确定用错位相减法求 n ?1 n ? 2 与 互为倒数,故cn ? 2,因 n ? 2 n ?1 而左边部分好证;另外,n ? 1与n ? 2相差1,因此联想到 和;第 ? 2 ?问注意到 1 1 1 n ?1 n ? 2 我们熟悉的 ? ? 这一式子,将 与 n? n ? 1? n n ? 1 n ? 2 n ?1 都分离常数,这样,问题就迎刃而解了.

拓展练习4: 09? (20 山东卷)等比数列?an ?的前n项和为S n . 已知对任意的n ? N*,点(n,S n )均在函数y ? b x ? r (b ? 0 且b ? 1,b,r均为常数)的图象上.

?1? 求r的值;
n ?1 (n ? N* ),求数列?bn ?的前n项 ? 2 ?当b ? 2时,记bn ? 4an 和Tn .

解析: ?因为对任意的n ? N *,点(n,S n )均在函数y ? ?1 b x ? r (b ? 0且b ? 1,b,r均为常数)的图象上, 所以S n ? b n ? r. 当n ? 1时,a1 ? S1 ? b ? r; ? ? b ? 1? b n ?1. 因为b ? 0且b ? 1,所以,当n ? 2时,数列?an ? 是以b为公 比的等比数列. a2 又a1 ? b ? r,a2 ? b ? b ? 1?,所以 ? b, a1 b(b ? 1) 即 ? b,得r ? ?1. b?r 当n ? 2时,an ? S n ? S n ?1 ? b n ? r ? ? b n ?1 ? r ? ? b n ? b n ?1

? 2 ?由?1? 知,当b ? 2时,
an ? ? b ? 1? b n ?1 ? 2n ?1,bn ? 则Tn ? n ?1 n ?1 n ?1 ? ? n ?1 , 4an 4 ? 2n ?1 2 2 3 4 n ?1 ? 3 ? 4 ??? n ?1 , 22 2 2 2 1 2 3 4 n n ?1 则 Tn ? 3 ? 4 ? 5 ??? n ?1 ? n ? 2 . 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 n ?1 两式相减, Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ??? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ? (1 ? n ?1 ) 1 23 n ?1 3 1 n ?1 2 ? ? ? n ? 2 ? ? n ?1 ? n ? 2 . 1 2 2 4 2 2 1? 2 3 1 n ?1 3 n ? 3 所以Tn ? ? n ? n ?1 ? ? n ?1 . 2 2 2 2 2

本节内容是在等差数列、等比数列等特殊数列求和的基础上, 将两个(或几个)数列复合而成的数列求和,主要从四个方面 考查,一是直接用等差、等比数列求和公式来求;二是拆分 成等差、等比数列或其他特殊数列来求;三是倒序相加来求; 四是两边乘以同一个数后,用错位相减法来求.要求在熟记 特殊数列求和公式的基础上,观察数列的特征,选择恰当的 方法,有时还会要求分类讨论. 1.一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的数列一般 用错位相减法求和.其做法是:在等式两边同乘以等比数列的 公比,然后两式相减,右边中间的 ? n ? 1? 项变成等比数列,很 容易求和,同时注意第一个式子的首项和第二个式子的末项的 符号,最后将左边的系数除到右边即可.

2.在求S ? x ? 2x 2 ? 3x 3 ? 4x 4 ??? ? n ? 1??x n ?1这类问题 时要注意:①对x分类讨论;②项数是多少. 3.裂项相消法求和是先将通项(最后一项)分裂成两项 (或多项)的差,通过相加过程中,中间的项相互抵消, 1 1 1 最后剩下有限项求和.常见的裂项有: ? ? , n? n ? 1? n n ? 1 1 1 1 1 1 ? n ? 1 ? n, ? ( ? )等. ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 2n ? 1 2n ? 1 n ? n ?1 4.倒序相加求和法的依据是推导等差数列前n项和的方法, 即与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和(即a1 ? an ? a2 ? an ?1 ? ?),可采用把正着写的式子与倒过来写的 两个式子相加,就得到一个常数列的和.

4x 例如:设函数f ? x ? ? x ,求 4 ?2 1 2 2009 S ? f( )? f ( ) ??? f ( )的值. 2010 2010 2010 4x 可这样来解:因为f ? x ? ? x , 4 ?2 41? x 4 2 所以f ?1 ? x ? ? 1? x ? ? x , x 4 ? 2 4 ? 2?4 4 ?2 所以f ? x ? ? f ?1 ? x ? ? 1. 1 2 2009 因为S ? f ( )? f ( ) ??? f ( ), 2010 2010 2010 2009 2008 1 所以S ? f ( )? f ( ) ??? f ( ), 2010 2010 2010 2009 两式相加得2S ? 2009,所以S ? . 2

1.(2010?   茂名二模)已知等差数列?an ?中,a2 ? 6,a5 ? 15, 若bn ? a2n,则数列?bn ?的前5项的和等于(    ) A. 30 B. 45 C. 90 D. 186
解析:设等差数列?an ?的公差为d . 因为a5 ? a2 ? 3d ? 15,a2 ? 6,所以d ? 3, 所以an ? a2 ? ? n ? 2 ??d ? 3n, 答案:C 所以b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? a5 ? a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? 90.

  010? 2.(2 山东卷)已知等差数列?an ? 满足a3 ? 7,a5 ? a7 ? 26,

?an ?的前n项和为Sn .
1 1? 求an及Sn;2 ? 令bn ? 2 (n ? N* ),求数列?bn ?的前n项 ? ? an ? 1 和Tn .
解析:1? 设等差数列?an ?的首项为a1,公差为d . ? 由于a3 ? 7,a5 ? a7 ? 26, 所以a1 ? 2d ? 7, 2a1 ? 10d ? 26,解得a1 ? 3,d ? 2. n? a1 ? an ? 由于an ? a1 ? ? n ? 1? d,Sn ? , 2 所以an ? 2n ? 1,Sn ? n ? n ? 2 ?.

? 2 ?因为an ? 2n ? 1,所以an 2 ? 1 ? 4n ? n ? 1?.
1 1 1 1 因此,bn ? ? ( ? ), 4n? n ? 1? 4 n n ? 1 故Tn ? b1 ? b2 ??? bn 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ??? ? ) 4 2 2 3 n n ?1 1 1 n ? (1 ? )? . 4 n ? 1 4? n ? 1? n 所以数列?bn ?的前n项和Tn ? . 4? n ? 1?

3.(2010? 四川卷)已知数列?an ? 满足a1 ? 0,a2 ? 2,且对 任意m、n ? N ,都有a2m?1 ? a2n ?1 ? 2am ? n ?1 ? 2 ? m ? n ? .
* 2

?1? 求a3,a5 2 ? 设bn ? a2n ?1 ? a2n ?1 (n ? N* ),证明: n ? 是等差数列; ? ?b ? 3? 设cn ? ? an ?1 ? an ? q n ?1 (q ? 0,n ? N* ),求数列?cn ?的
前n项和Sn .

解析: ?由题意,令m ? 2,n ? 1,可得a3 ? 2a2 ? a1 ? 2 ? 6. ?1 再令m ? 3,n ? 1,可得a5 ? 2a3 ? a1 ? 8 ? 20. 2 ? 证明:当n ? N *时,由已知(以n ? 2代替m)可得 ? a2 n ?3 ? a2 n ?1 ? 2a2 n ?1 ? 8, 即bn ?1 ? bn ? 8,所以?bn ? 是公差为8的等差数列. 于是 ? a2? n ?1??1 ? a2? n ?1??1 ? ? ? a2 n ?1 ? a2 n ?1 ? ? 8, ? ?

? 3?由?1?? 2 ? 可知?bn ? 是首项为b1 ? a3 ? a1 ? 6,公差为8的
等差数列, 则bn ? 8n ? 2,即a2 n ?1 ? a2 n ?1 ? 8n ? 2. a2 n ?1 ? a1 2 另由已知(令m ? 1)可得an ? ? ? n ? 1? . 2

a2 n ?1 ? a2 n ?1 那么an ?1 ? an ? ? 2n ? 1 2 8n ? 2 ? ? 2n ? 1 2 ? 2n. 当q ? 1时,S n ? 2 ? 4 ? 6 ??? 2n ? n ? n ? 1?; 当q ? 1时,S n ? 2?q 0 ? 4?q ? 6?q 2 ??? 2n?q n ?1. 两边同乘以q,可得 qSn ? 2?q ? 4?q 2 ? 6?q 3 ??? 2 ? n ? 1? q n ?1 ? 2n?q n . 上述两式相减得 于是cn ? 2nq n ?1.

?1 ? q ? Sn ? 2(1 ? q ? q 2 ??? q n ?1 ) ? 2nq n

1 ? qn ? 2? ? 2nq n 1? q 1 ? (n ? 1)q n ? nq n ?1 ? 2? . 1? q nq n ?1 ? (n ? 1)q n ? 1 所以Sn ? 2? . 2 (q ? 1) (q ? 1) ?n(n ? 1) ? 综上所述,Sn ? ? nq n ?1 ? (n ? 1)q n ? 1 . (q ? 1) 2 ?2? (q ? 1) ?

选题感悟:近年来,在选择、填空题中考查数列求和 多是由给出条件,求出首项和公差或公比后代入求和 公式直接求.比较多的题目利用了等差数列的性质: an ? am ? ? n ? m ? d,以及等比数列的性质:an ? am ?q n ? m, 这一点值得注意.比较多的大题在考查数列求和时,间 接地用公式求,或者与函数、不等式结合来考,利用函 数的性质、不等式的放缩来解决和的最值问题,这种趋 势更需引起重视


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